Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

221쪽

r 6 De aeque ponderant.& er i cmoqtie B centrum grauitatis spatij HL seu ipsi is S . Et quia spatiiim GH, ad ML sibi homogenetim, ii

seu It ad S se habet ut axis seu Vr altitudo ED ad DF e ergo spatia , , a GH & HL super aequales bases constituta erunt, &ideo unicurn paral- ly, Vel unicum par-pedu

lelogramum erit GLM , cuius axis EF bifariam 1 lectus erit in C eo quod aequalibus EA & CB adduntur aequales AC& BF 3 & proinde d C erit centrum grati itatis spatiorum homogeneoru i GH , & ΗL , siue R S penden- itium ex terminis librae A &B. igi- tur e aequilibrata qlitescet. Idipsum sequetur quomodocum- que spatia GH & HL reuoluantur & quamcumque figuram acquirant, id ultimodo eorum centra grauitatuna rii

ex eisdem punctis A , & B pende- eant . CSi postea R & S fuerint lineae l

idem sequetur. sed oportet sumere libram AB aequalem medietati ipsarum R, S. Quare &c

Corollarium . Colligitur ex constructione huius propositionis quod semper centrum grauitatis C totius alicuius grauis GM cadit in loco intermediri eiusdem rectae AB coniungentis centra arauitatum A & B partium eius G br& H L. Et in eadem recta linea AC coniungent

222쪽

A Centrum portionis GH , & Ci l entrum totius GM existit quoque irin eius productione CR centrum B grauitatis reliquae portionis HL vltra centrum C totius GM .

PROPOSITIO IV. rab. VI. Fig.

A, In qualibet figura plana ABC in apicem deficiente de axim BD h bente , siue triangula , siue multi

latera sue sectione conica . Dico quod centrum grauitatis figurae exi-itit in eius axe BD ; G e contra recta per vertice B & per centru grauitatis figurae ducta erit axis eius . Si enim hoc verum non est sit O

centrum grauitatis figura: ABC positum extra axim BD s de per puncta O & C ducantur rectae OY & cp parallelae ipsi BD ; & a inscriba- a . . tur figura X ex parallelogrammis aeque altis componia ad quam figura LUC minorem proportionem habe- at quam DC ad CY ; & sit N cen- rum grauitatis inscriptae figurae X , quod bcadet in BD axi omnium 1

par-morum conponentium figuram inscriptam, cum secet bifariam omisnes bases oppositas eorum& coniungatur recta No secans CP in , R , eritque figura ABC ad sibi inscriptam X in minori ratione quam

ex s.

223쪽

asa De aeq ne ponderant.

neolum ambientium inscriptam X ad eandem figuram X habebit minorem rationem quam NO ad OR . igitur illa congeries trilineorum ad figuram X erit ut No ad aliquanΣ OS maiorem quam OR . .& ideo in libra NS centrum grauit iis figurae

inscriptae X suspenditur in N , ¢rum totius ABC est punctum O e . Igitur centrum grauitatis reliquae portionis scilicet congeriei trilineorum erit piinctum S extra cauam fieturam ex trilineis composi- xlup tam quod est impossibilla. ergo cen- trum grailitatis figurae ABC non cadit extra axim BD . Quod &c. iSit postea N centrum grailitatis figurae ABC & a vertice per N ducatur recta BND . Dico BD secare bifariam basim AC de omnes ei parallelas . & proinde axim esse. Si enim hoc verum non est, alia recta BE ex vertice B ducia intra figuram separata a recta BD erit axis . ergo ex prima parte in E

B ut in G erit centrum grauitatis fi- gurae, quod infra verticem B cad

re debet; & ideo figura ABC habebit duo grauitatis centra G & Nquod e est absurdum . Quare &e.

PROPOSITIO V- Tab. VI. Fig. S. In quolibet triangulo B AC cuius axis BE sectus sit in F ut portio BF ersus verticem sit dupla reliquae FE. Dico

224쪽

. Dico punctum F esse centriini rauitatis trianguli. Ducatur recta CD secans bifarseam latus AB in D , quae secet: axim BE in H . erit a quoque CD axis trianguli. & quia tam , in axe BE

: P tis eiusdem trianguli ABC . ergo existet in H communi eorum sectione . d vero puncta F & Η coincidant sic ostendetur. Ducta EG p rallela ipsi CD.erit proportio e BH eiiLM ad HE, seu BD ad DG composita ex ratione aequalitatis BD ac D A & ex ratione AD ad DG , seu d ex ra- tione C A ad eius subduplam C

E ob parallelas GE, DC) igitur

BH ad HE habet rationem cupiam;& fuit BF dupla ipsitis FE . ergo i punctum H cadit super F. ideoque centrum grauitatis trianguli ABCerit punctum F . Quod &c.

PROPOSITIO VI. Tab. VI. Fig.

6. 7. In qualibet figlira plana regu- lari , circulo aut ellipsi ABCD , sit centrum figurae punctum I. Dico in eis centrum grauitatis esse idein pu cluna I. In circulo , ellipsi, & in planisl aa ilateris ducantur duo aXeS angu-Os oppositos coniungentes AC , BD se mutuo secantes ad rectos anguis dos in a centro I figurae: pariterque in polygonis imparium. laterum du- .l I 6 can

225쪽

. v. ex

ico De tonderant. cantur duo catheti ΑC , BD ab angulis bissecantes latera ' Opposita . quae se mutuo secabunt b in I centrongurae, & quia quaelibet Ac , e BD secat bifariam omnes rectas applia catas parallelas basi vel recti Ab-ii tendenti angulum verticis. ergo tam AC quam BD est axis , & in d eis

existit centrum grauitatis figurae igitur in eorum communi, sectione I nempe in centro figurae existit Eentriina grauitatis unius cuiusque

figurae ABCD . PROPOSITIO VII. Tab. VI

Re. 8. In qualibet figura plana re cillinea ABCDE reperire centIumigrauitatis .

Diuidatur figura in triangula AEB , BEC, CDE , & ab angulo Ve ticali E communi ducantur rectar EF, EG, EH secantes bifariam bases oppositas, & dividantur singulae in I, K, L in proportione dupla erunt a

puncti I, Κ, L centra grauitatum is eorundem triangulorum, & coniuncta rem IK secetur in N ut ΚN ad NI sit reciproce ut triangulum ABE ad triangulum BEC . igitur rui erum . N erit centrum grauitatis quad-lateri ABCE - postea coniuneta NL secetur in O, ita ut Lo ad ON sit ut ABCE ad triangulum ECD . erit e O centrum grauitatis ta

226쪽

Arehimedis eo I

PROPOSITIO VIII. Tab. UL

n Prismatis & quibuslibet columnaribus figuris ACE reetis, quartian axes G H bifariam secti sint in I . Dico pimetum I esse e

rum centrum grauitatis

Quia GH ponitur axis Columnae ACE , ergo a GH transit per cen- tra, strauitatum basium , quae sint G& H , & per centra grauitaltim om- ni irni sectionum aequi sistanti lim ba- tibus. Postea innitatur Gyluitana ro ista super punctum H centrum gr. vitatis basis, existente axi GH perpendiculariter erecto ad horiaolai tena, b quiescet proculdubio co- limina , eo quod tota superlicics basis BCD eiusque partes premuntur perpendiculariter a partibus columnae aeque altis similirer positis & proportionalibus subiectis partibus ba-vS . quare centrum grauitatis columnae existet in eodem axe HG . Ducatur deinde planum LKM paraLlelum basibus per princium I semi-

partitionis, & reuoluta columnae, ut fulciatur a plano Ls M per-riter ad horiZontem erecto,ς quiescet qu que columna ideo centrum grauitatis eius existet in plano, LXM , sed erat in axe GH . ergo in commmuni eorum sectione I existet cen trum grauitatis columnae ACE. quod

227쪽

zor De aequeponderant. PROPOSITIO IX. Tab. EL FUGIO. II. Si duae figurae planae similes ABCD , & FGHI habuerint pui cta L & N similiter in eis posita, L sit centrum grauitatis figurae ABCD . Dico N esse quoque centrum grauitatis alterius figurae FGHI. Et primo in fi Iuris regularibus', icirculis, S: ellipsious centrum a grauitatis L est idem ac centrum figri rae . ergo punctum N similiter positum ac est L erit centrum figurae FGH , &ideo centrum gratiitam eiuS. Secundo in figuris non regularibus & parabolis ex punctis L,N ad Vertices, & ad omnes angulos aequales , figurarum coniungantur rectae lineae

vi sunt LA, NF &c ergo b circa aequales angulos LCD, NGI est LC . ad CD ut NG, ad GI; & ideo ob ctriangulorum similitudinem erit an ullis DLCaequalis anguloING, &

nci reliqui . Et sectis L f aequallis N F,Lg aqualis N G , & sic reliquae

compleatur figura f g i, erit haec Ἀ-valis ipsi FGI, & similis figurae ACD , cui similiter posita est. ergo punctum d L est sintiliter positum in concentricis figuris AC D & fg ii, &ex hypothesi erat L centrum grauia talis figurae AC .ergo extensis per L rectis AM, CO e quiescet figura insuper has lineas aequilibrata ; 1ed su

per eisdem rectis AM, CO quies

cunt

228쪽

cunt aequilibratae partes collatera- les figurae s g i , quae dimiles, proqi portionales , & similiter positae sunt ac partes laterales figurae ACD. igitur Centrum grauitatis figura: f g i in eadem communi sectione L earundem restarum A M, B O exi sit : verum s centrum grauitatis figurae FGI consiliit cum centira L

figurar fg i aequalis & similis illi; &

tale punctum est N similiter positum ac est L. igitur punetiim N est centrum grauitatis figurae F GI. od&cia i

PROPOSITIO X. TaLVI. Figoret. Si in pyramide, cono, conoide , mi sphaerio , aut solido pr0-naliter in apicem disciente ABCD . ducatur ἰa vertice A ad O centrum grauitatis basis BCD recta linea , AO , quae secet in I se euonem FGEparallelam basi ubicumque ductam . Dico punctum I esse centrum Fgrauitatis figura: FG E; .& AO axenae solidi - ι .E: primo selida figura a sit conus, hemisph rium aut conoides, constat BCD 3: EFG esse circulos, cumque o sit centrum tam grauitatis , qu ni figurae in citculo BCD se oalterius circuli EGF punctuima eri:

quoque centrum grauitatis .. I: Secundo solidum sit pyramis, &per rectam AO, & per coniunctas 16 OB .

et conoi d. s.

229쪽

zo ponderant.

OB, OD extendantur duo plana . quae essiciant triangula AOB, AOP . secantia i eliquunt planum EFG p e VI. sic rallelum basi pyramidis e in rectis II G parallelis ipsis O , & OD , paritetque in EG parallela, ipsi BD

cumniat sectiones aequidistantium planorum faetae a pla in iis per vertiacem A ductis ergo a tri-la I EG , OBD similia lunt , & ut OB ad BD ita est IE ad EG. idemque ostendi potest de reliquis extensis a punctis , - O, I ad perimetra figit rarum DCD , EFG . quare epulicta O, I similiterposita sitiat in eisdem figuris simili

bus;&erat punctunt O centa unae ini βημ'. grati itatis figurae BCD . igilax sputisectumI erit quoque centrum grauintatis figurae EFis . cumque recta Ao transeat per centrum grailita 'a ΔLν cuiuslibet lectionis aequi sistantis

PROPOSITIO XI. Tab.VI. 13. 1'. Si quaelibet figura solida ABCD in apicem A deficiens habuerit , axem AE Dico quod centrum grauitatis eiuslin aliquo puncto axis AE existit : & e conllerso. Nam si ptimum verum non est,ca. dat centrum grauitatis solidi ABC iD extra axim ut in F,' & a punctis& D in plano EAD ducantur rectae FG , DIL parallelae axi AE;

230쪽

A' bimessis et osa inscribatur figura gradata R composita ex prismatis aut cylindris aeque altis,ad quam solidiim ABCD

minorem pro Mionena habeat, quam

.ED ad DG . erit b gradata: figura: R centrum grauitatis in communiaxi AE , qui e transit per centra agrauitatum omnium basium pristin min , vel cylindrorum Componenti- nna gradatam figuram R. & ductata, recta IFO secet D Η in L . Ostela.. detur, ut in Prop.q., quod puncturi s aliquod O librae I FO pontum extra cauitatem fi rae differentialis figu- rarum ABCD & R est centriini grauitatis eiusdem solidi differentialis . quod ι est impossibile . quare cen- trum grauitatis F solidi ABCD cadit in aliqtio ptineto axis AE . Transeat postea recta AE per Icentrum grauitatis figurae ABCD. Dico AE esse e axim , scilicet transire per centra grauitatum basis &'mianim planarum sectionum basi aquidistantium is remm hoc verum non est, sit alia recta AN axis, &I i n ea erit: cen-

reum grauitatis figurae& proinde

in utraque linea AE & AN existit centrum grauitatis, quae cum cudant his ra verticem A intra figuram AB CD . Erunt duo distini a centra grauitatum in eadem figura quod e. est falsum . Quare dic. Gholium. Id ipsum etiam Ve-

te a