Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

61쪽

ex A ducta parallela eidem BE: er- go AH coincidit cum AD ; Z ideo occurrit sectioni oppositae in D. Postea quia in rectangulo AOPD diicitur ord nata ZX parallela ordinatis OA, DP . ergo sicut OP bifa.riam in G diuiditur, sic AD secabitur bifariam in H . Quod &c. DEFINITIO XyII. Tab. I l. FHura eisdem . in Ellipsi, & Oppo sitis sectionibus recta linea ZX per centrum G ordinatini applicata,nisecta , & media proportionalis exi- stens inter figurae latera EB, 8 BR. Vocetur. Secunda Diameter priori

PROPOSITIO XXVIII. Tab. III. Fig. 16. Datis duabus rectis lineis

is AB, CD in quolibet angulo AEc se mutuo bifariam in E secant hiis: Describi possunt quatuox hy

perbola: contrapositae, quarum diametri Transuersae Coniugatae sint duae rectae lineae datae, & latus Traiauersum quarumlibet binarum oppositarum sectionum sit medium proportionale inter tetera reliqua

rum.

Fiat CD ad BF,vt AB,CD, pariter- sue fiat AB ad DG , ut CD ad AB Postea fiant a sectiones oppositae ΚBL , & H AM, quarum transuersum latus sit AB, & rectum sit BF

62쪽

Compendiaria. Α

anguli inclinationum applicatastini ad diametrum sint aequales angulo AE D , silicet ordinatae , parallelae sint ipsi CD. Pariterque nant b se- b eabia, ctiones oppositae OCP , & RDS, . qualum transuersum latus sit CD ,

tionum appli tarum sint aequales an illo DE B, scilicet ordinatae parallelae sint ipsi AB. Fhctum erit Problema , Ut patet. Quod &c.

DEFINITIO XVIII. Vocen- tur quatuor sectiones ΚBL, H AM, OCP, & RDS iam dicto modo desi criptae coniugata .

PROPOSITIO XXIX Tab. II.

Walibet sectione conica CAD, cu- et ius ordinatim applicata CBD iaceat non quidem in circulo FPG basis Coni EF PG , sed in plano ellipsis ij. FCGD secante circulum FPG in ita recta FG . Dico describi posse ini finitos alios diuersos Conos, com- prehendentes eandem sectionem oti CAD,ita Vt ordinata CBD in circu- basis Coni iaceat,& perpendicu-- laris sit ad eiusde Circuli diametru .

Fiat recta linea a b aqualis di metro transuersae AB sectionis CA D.: & facto angulo d b a aequali: angulo DBA, secetur c b aequalis b d squalis BD. sitq; a r Squa

63쪽

iis lateri recto AR; & in typerbola, & ellipsi sit l, a , productio dianae tri b a aequalis lateri transuerso H A eiusde sectionis . Postea in quolibet

plano per c d extenso ducatur recta linea KI perpendicularis ada Iv.1ο d . Et I b ad b c , a sit ut b c ad . b h; & coniuncta recta linea I a oc- currat lineae KL , in Parabola pa- rallela ipsi b a: & in reliquis sectio nibus lineae ii K in puncto L : Zj in plano IK , c d extenso fiat citculiis I c Κ d diametro IK , qui tran- sibit per punctum c: eo quod b Ob . pei laris est ad diametrum IX, de media proportionalis est inter seg- menta eius I b, b Κ. Postea descrip- νω Cono, vertice L, basis circulo Ι c Κ d , secto Cono plano per ad c extenso efficiat sectionein conicam cad. Dico eam aequalem esse sectioni C AD , & si apte Una alteri superponatur , sibi Fnuzuo l congruent, ut scilicet a , supex A i cadat, & b super B, ob aequalita tem abscissarum ex diametris a b, A B: & punctum c super C, ob a qualitate m ordinatarum cb,& CB:& in- clinationes earumde in angulis equa libus a &AB Postea fiant abscis De AN, & an aquales & ducantur ordinatim applicatae no, NM. nem

64쪽

' vel vi qua-tum CB ad qua-tum s NM . Et in reliquis sectionibus d dbu. rareitanguIum liba ad rectangulum lina, vel HBA ad Η NA est,ut qua- dratum cb ad quadratum no ,' Vt quadratum CB ad qua-tum ΝΜ: ergo recta linea NM aequalis est ii o: & sitiat parallelae , & conueniunt in n, N in angulis aequaIibus ad di

metros. Igitur puncta o, & Μ conueniunt: & silc reliqua omnia pun- . Quare patet propositum . -

f PROPOSITIO XXX. rib. 1i

Fig. 23. Si a duobus punctis G, ii 1 ellipsis cuiuslibet FGHI in cono ABD genitae duae tangentes lineae, GK, Iic conueniant, & a concursu . Κ-ducatur quaelibet recta linea ΚFH secans sectionem. & trectam lineam GI tactus coniungentem . Dico lineam xFOH secari in conterminali s

. A vertice Coni A per duo puncta G, I ducantur duo latera coni AG E, AIC, quae occurrant circulo bais iss Coni in punctis C, E, & coniungatur recta linea AK, & prodit. plano trianguli AKH secet circu- tum basis in linea BD: pariterque producto plano trianguli AGI, se-' i cet circulum basis in CME : produ- tisque planis conum tangentibus A GK, AI K efficient in circulo basis in tangentes CL, EL . Et Primo tan- f

65쪽

gentes CL, EL sint parallelae eidem AK : & ideo inter se , & ipsi BD aequidistabunt: eo quod a BD est sectio communis planorum per par-las AK , CL extensorum . ergo bCE perp-ris ad circulum tangentes par-las est, & diameter circuli, secatque e bifariam BD parallelam tangenti CL : quare sint qilatuor rectae lineae AB, AM, A D, ΑΚ: &BD secatur bifariam a tribus ex eis& parallela est quartae AK : ergo dquatuor illae rectae lineae ab A discedentes efficientes sunt conterminalis proportionis, & ab eisdem secatur recta linea KH : ergo e vi HOad OF, ita est HK ad KF. Secundo Tangentes CL EL conueniant inpunecto L : & quia tria plancta A, ILL existunt in tribus planis, scilicet in tangente ACL, & in tangente AEL , atque in plano trianguli AD L et ergo in eorum communi sectione , qtiae recta linea est, existunt:& ideo in circulo rectas linea LBMD a concursu tangentium ducta , secatur in conterminali ratione a

quatuor lineis AL, AB, AM, AD & ab eisdem secatur recta linea KF

OH : ergo pariter g HO , ad OF , se habet ut HK ad KF . Quod &c. PROPOSITIO XXXI. Tab. II.

2S. 26. Si a duobus punctis G , I, cuilistibet Parabolae, aut hyperbolae

66쪽

Compendiaria. FI laesae I FGH ductae duae tangentes

Κ , KI conueniant , & a concirrsti ri ducatur qua libet recta linea ΚΗ secans. tactus coniungentem GI in

O , & sectionent in F, H . Dico H

iri secari in F, Ο, conterminali pro- portione. Per Verticem A Coni, & per lineam KF conum secantem duca- tur planum secans conum in trian- gulo ABD, & basim circularem ' , vel ellipticam MGNI in recta linea BD & quia tria puncta F, D ia- l cent in superficie conica, nec non in plano trianguli ABD , per ve ticem Coni ducti: ergo existunt in eorum communi sectione , quae est ' latus Coni, de trianguli per Vertit cena , & ideo per punctum F transi-; bit recta linea AD . Eadem ratione; recta linea AB . transibit per pim- .ctum. H. Postea ductis planis c0. num tangentibus per lineas GK , & IK se imituo secabunt in linea KA- per verticem coni A transiens , & eadem plana secabunt Circulum 1 , vel Ellipsi in basis MGNI, in lineis GL, IL, eas tanPentibus. Et siqui- dem tangentes GL, IL parallelae fuerint inter se a , & ipsis AK, BD parallela: erunt , & ideo. Vt in praecedenti dicium est GI diameter erit bifariam secans BD par-Iam tangentibus GL, IL & AK in Or &proinde, quatuor rectae lineae AB, : C a AO,

67쪽

AO, AD, ΑΚ essicientes erunt eon. terminalis proportionis, cum BD bifariam secetur a tribus ex eis , 8e parallela sit quartae AK. Si GL , IL conueniant in V no ptineto L . Tunc ex praecedenti erit BO ad OD, ut BL ad LD; & similitere quatuor lineae AKL , AB, AO , AD

erunt efiicientes conteraninalein proportionem . Cumque in utro

que casu ab ijsdem quatuor lineis AR, AB, AO, AD secetur recta linea KH in F, O, ergo d ibidem in conterminali ratione diuiditur. Quod . PROPOSITIO XXXII. Tab. V. RO 27. 28. 29. 3O. Si in Cono EFG ab eodem puncto It sectionis conicae ΗΔ diictae fuerint ad diametrum ABC ordinatim applicata H CK & H D sectionem tangens. Dico in Parabola Diametrum CD secari bifariam in Be in hyperbola vero e& ellipsi secari in conterminali ratione , ut AC ad CB, ita sit AD ad DB , & e Conuerso . Si in Cono EFG basis sectionis

conicae transit per centrum circuli

basis C tunc basis secitionis conicae HK diameter erit circuli FH G :& ideo duetis tangentibus circulum H O, KL, a parallelae erunt inter se, & ducta diametro FG p ralella tangen-tibus HO, KL . Et extensis planis Conum tangentibus per latera coni HE, ΚΕ se mutuo b

68쪽

Cois enhasar .l 'eabunt in recta ED parallela tan- penti HO,& FCG . At si Punctum C non est centietim circuli basis , tunc HK non erit eius diameter, &i ideo tangentes HO , KL conueniis

S ent cum diametro KG .extra circu-

liter ductis planis conum tangenti hus per H , & Κ contiement in com-s muni sectione EDO, ut prius diactum est. His pr*missis . Sia sunt' quatuor recitae EF, EC, EG, ED ,& recta FG quando parallela est ip-. si DE secatur bifariam e a tribus reliquis in primo casu: & quando FG,& ED conueniunt in O, tunc recta FO secatur in conterminali ratione , i ab iisdem quatuor lineis a puncto Ediscedentibiis, ob contingentes HO, KO:ergo in parabolaὴ Diameter μο CD , qui parallela est uni earum o. EF secabitur bifariam a tribus reliquis in B, C, D. At in hyperbola, i & ellipsi diameter AB a secabitur in . conterminali ratione ab ijsdem qua tuor lineis; & proinde AC ad CBl est ut AD ad BD. E conuerso iisdem positis . Sit in ' parabola CB aequalis BD & in reli-

luis AC ad Cu , ut AD ad DB .

ico H D tangere sectionem in H . Sin minus ducatur tangens sectio- nem in Η , quae conueniat cum diametro in N alibi quam in D. Ergo ex prima parte in paraboIa CN L-C 3 catlix

69쪽

CaDItur In contei minali ratione in in reliquis seectionibus. Quod antra hypothesim . Nonis mayod &c. oprietates tangentium Ities quas Appollonius methbclo 3lixa& abstrusa demostrauituli facilitate Fr. maurolicus ostς. nostrae pro-nes tanti viri genia um imitantur.

PROPOSITIO XXXIII. NL

II. Fig. 37. 32. Si a quolibet puntio C non verticali hyperboles, Ellipsis , aut Circuli BC ductae fuerint ad diametrum EBA ordinata CE , &Contingens CD . Dico rec-lum DFE , aequale esse qua-drato FB, &irec-lum FED ad qua-tum CE est ovi latus transuersum AB ad rectum latus BX. Quoniam propter contingentiam

a est AD ad DB , ut AE ad EB ,

ergo componendo ut duae AD , DB ad BD , ita sitiati ambae AE , EB ad EB . & semisses antecedentium ad easdem consequentes in cadem ratione erunt: estque in hyperbola ,

FE semissis ipsarum AE & EB, Nin ellipsi FD dimidium est duarunt dAD, DB; & in utrisque FB est semissis reliquarum . ergo in hiperbola ut FE ad EB , ita est FB ad BD, de per conuersionem rationis b EF

70쪽

C per cqnuersionem rationis ut BF ad FE ita erit DF ad FB. Quare tam in hyperbola, quam ellipsi &in Circulo e rectangui tum sub extremis DFE aequale est . Postea quia. ddisserentia duorum quadratorum RFB est rectangulum AEB: fuit autem rectangulum DFE aequale quadrato FB: ergo differentia qua- crati FE-rectanguli DFE est rei istangulum AEB: differt vero qua- dratum FE a rectangulo DFE in , preci angulo DEF: ergo rectangulumi AEB aequale est rectangulo DEF ;ῖ sed . rectangulum AEB ad quadra. 2 'tum CE habet eamdem rationem in a quam latus transuersum AB ad re-a . etum B X figurare ergo rectangulum D EF quod est aequale ipsi rectana gulo AEB ) habet ad quadratuin x CE eamdem rationem , quam habet 3 D, latus Transuersum ad rectum . Quod &colia, PROPOSITIO XXXIV. Tab st

a, .

II. Fig. 33. 3q, Si a quolibet puncto C non verticali hyperboles , Elim- sis, aut circuli CB duae rectae ductae fuerint ad secundam diametrum AB priori coniugatam, altera C e ordinata , reliqua C d sectionem contii as. Dico quod rectangulum e