De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

101쪽

-sa diana MFAB, esse aequale solido ex F ABD, reuoluta cirea MF. Ergo cylindrus M L erit ad dictum solidum, ut FD, ad FQ. Et solidum ex FABD, circa MF, erit ad solidum ex eadem circa uti FQ, ad QD. Ex his ergo, & ex proposit. 4. lib.,Iicebit ded cere Q, . esse centrum aequilibris figurae FABD, appensae secundum axim FD, sieque secare FD, ut F Q, sit ad QD, ut composita ex FE, dimidiata FD,& E excessu ED, supra QD, compositam ex QS, , FD; M DP, ad quam ED, sit ut arcus quadrantis, ad excessum sui supra semidiametrum,addictam compositam,

Cum ex schol. a. sit solidum ex BAFD, circa M ad solidum ex eadem circa D, t F Q, ad Q D. Erit solidum ortum ex rotatione FABD, circa UT, ad solidum ex DBS T, circa Τ, ut F D. cum D id F Q. Nempe ut arcus semicirculi, una cum composita ex ipsius octava parte, & ex diffsrentia inter arcum quadrantis,&semidiametrum, ad compositam ex excessu arcus quadrantis supra ductam compositam,& ex arcu quadrantis.

. Et rucentro aequilibrii facile erit colligere ee, tragrauitatis duorum solidorum Cogitemus, e

102쪽

dem modo , quo explicatum fuit in schol. 3. proposit. figuram FABD, duplicari in B AFST, cum

rectangulo MΤr deinde cogitemus rectangulum. MT, rotari vel circa 'MB, vel circa aliam extra M B, utcunque positam, ut generentur ex rectangulo' vel cylindrus, vel tubus cylindricus; & ex duplicata. quarta,annulus strictus,vel latus. Cylindrum. vel tabam cylindricum duplum qsse annuli strieti, vel lati, .constat ex proposit. II. lib. 2. quia sunt ad inuicem,ut parallelogrammum ad figuram. Sed existentibus annulis proportionaliter analogis cum ipsa duplicata quarta, ut deducitur ex proposit. 1 9. miscell. hyperbiti ex schol. patebit M B, vel aliam illi parallelam

103쪽

84 nni us nivius extra ipsam, sic secari a centro grauitatis annulorum ut secatur FD, in Q, a centro grauitatis duplicatae . quartae B AFST. - . . Quod si mente cogitanteasguram BA F D, d - , plicari ad partes B M quo casu eubderet omni ua-' que aequalis figurae BMs UT, lic tinuersepolita . N ipsam B M F y r, ipsius vicem terentem, ritari vel circa M B, vel cima dictam ab ipsEad libituri,

stratemt nihilomitius ijsdem modis eoncluderat, ej - lindrum duplum sere solidi r& NM secari acehirograuitatis annuli stricti, ut sttatur ED, in a dicto centro; ita ut partes terminatae ad N, Versus. κ& E, versus D, sint homologae. Idem dicatur deeem tro grauitatis annuli lati. . a .

SCHOLIVM IV

Super saura B A ED, & super rectangulo M D, eatent cylindrici recti secti planodiagonaliter transeunte per BD, & per lanas oppristum ipsi MF.

Cum e1 propos t. ι o. lib. a. sint prismata,quae sunt dimidia parallelepipedi existentis super rectangulo, ad truncos cylindrici super figura , ut cylindrus ex rectangulo ad solida rotunda ex figura reuolaea vel ci ca BD, vel circa M F Habebistos cubationes di

104쪽

PROPOSIT IO XXXI

S. Secunda .emaria Lilii ingulam cum rectangulo sibi circumscripto roteturcirca axim. Erit cylindrus ad ybdum, mi duplum quadratum arcus quadrantis, ad quadratum arcus quadrantis, minus dimidio quadratismissiametri, i dimidio quadrati excesses arcus quadraniis se pro se

Figura B-D, eum rectangillo MD, rotetur circa so: &ex CD, arcu quadrantis auferatur CR, ηqualis semidiametro . Dico cylindrum

105쪽

dratum C D, ad quadratum C D, minus dimidio quadratorum CR, Rin nempe ad duplum recta gulum CRO,. cum dimidio quadratorum C R.,

, diametrum: nempe ve D C, ad CR: nempe ut quadratum DC, ad rectangulum DC R. Ergo lin. drus M T, duplus cylindri NT, erit ad solidum . BADST, 't duplum quadratum QC, adrectangu- Ium DC R. Pariter,quoniam ex coroll. t. proposita 23. est cylindrus CS, ad solidum A DS: nempe lindrus OX, ad solidulii FADS, ut, dimidium quadrati C DI ad excessium sit susea quadratum QR rnempe ad rectangulum CR cum dimidio quadrati R D, minus dimidio quadrati CR cum enim qua.dratum CD, diuidatur in quadrata C RRD, & in duo rectangula CR D , eritdimidium quadrati CD, dimidium quadratorum CR, RD, cum Vno rectan- gulo CRD; quae excedunt quadratum CR, rectaΠ-gulo CR , pIus dimidio quadrati RO, minus dimidio quadrati CR.) Ergo cylindrus M T, q*adruplus cylindri OX, erit ad solidiim FADS, ut duplum quadratum CD, ad rectangulum CRD, dimidio quadrati RD, minus dimidio quadrati CR. Ergo colligendo ambo consequentia, erit cyliadrus ML adtolidum B AFST, viduplum quadratum Criadrectangulum P CR, cum rectangulo CR D,&

106쪽

positum s

COROLLARIUM.

Ergo ter conuersionem rationis, erit cylindrus ad isti euestum supra dictum solidum , nempe ad sol dum genitum ex B AFM, reuoluta circa FD, ut duplum quadratum C D, ad quadratum C D, simul cum dimidio quadratorum C R, R D.

Sed solidum dictum idem est cum illo, quod orntur ex reuolutione B A F D, cirea M B. Ergo cylim drus M L erit ad solidum ex B A F D, circa M B, ut duphim quadratum C D, ad quadratum C D, cum dimidio quadratorum CR, R D. Quare facile concludetur arguendo ex aequalitate, esse solbdum ex BΑFD, circa ME , ad solidum BAFST, Vt quadratum CD, cum dimidio quadratorum CR,R D, ad quadratum CD, minita dimidio quadrato-xuM CR, R D. -:i: Quare si BD, sic intelligatur diuisa in Κ, ut sit Bh, ad Κ D, ut quadratum CD, cum dimidio quadratorum CR,RD, ad quadratum CD, minus dimidio quadratorum. CR, R D; facile concludet

107쪽

INtelligamus figuram B A F D, rotari cirra B in

Solidi geniti oportet centrum grauitatis assignare. Si pponamus ER, aequalem semidiametro , ME dimidiam Da. Dulidatur CD, in R, t sit C R, ad R D, ut E Q, ad excessum D P, supra. Q 'Ergo ex proposit. 17. R, erit eentrum aequilibrii trilian et D A F, appensi secundum CD. Et consequenter ex proposit.29. miscell. hyperb. erit centrum gra. uitatis annuli ex eo reuoluto circa CD Pariter est centrum grauitatis solidi ex BAD, circa BD. Secetur sic CR, in k, ut sit Ck, ad Κ R, ut ED, ad FP. Dico k, esse centrum quaesitum. Nam ex proposit. a . elicitur, esse solidum ex FAD,' circa CD, ad solidum ex BAD, circa BD, ut rectangulum EDP, ad rectangulum E PD; nempe ut D E, ad E P: nempe reciproce ut C Κ, ad Κ R.

Sed etiam nune habentes k . centrum grauit Issolidi dicti, & C, centrum grauisa is cylindri ex M D, circa B D, & pariter rationem solidi dicti ad excessum cylindri supra ipsum: in B C, etiam dabiatur centrum grauitatis dicti excessus cylindri. Cumque ille excessu undequaque aequetur solido ex B Α-FD, reisoluta circa MF, licet fit Insteise positus: habebimus consequenter , in quo puncto seceturo se a centro grauitatis dicti solidi. SCHO,

108쪽

Etiam ergo ex dictis,& nune,& in a. par. misceli geom. deducemus centra grauitatis dRorum trunco.

rum cyliodiici recti existetitis super B Λ F D, resecti

plano

109쪽

plano transeunte per B D, & per punerum in litem erecto a puncto F. Quod indicasse sussiciat.

Ast superficies vagula non modo potest combianari , Ut explicat suit in schol. proposie. a1. sed

etiam ahq modo , quem saud perperam existimamus contemplari. Cogitemus ergo figuram , B A D, constare utique ex duabus superficiebus ungulae, sed non duplicatae circa communem axim Α C, sed circa b sim: adeo ut BC, sit axis superficiei CB A, & qualis at cui quadrantis: pariter CD, sit axis superficiei CDA; AC, vero sit illa , quae erat basis; quae& potest esse cuiuscunque longitudinis: non sic NC, C D, quae semper sunt aequales singillatim arcui quadrantis . B AD, figurae, cedam duo trilinea F A D, ut prius: & tota figura F A B D, appelletur secunda quarta Lilij ungularis : ae pariter est dimidia r ctantuli Min sibi circuniscripti. Et iphus appensae tam secundum axim FD, quam secundum basim B D sic enim FD, BD, vocabuntur in possum.s habere centra aequil ibrij ex centris aequilibrij partium B Α D, F A D, & ex ratione ad inuicem earundem ; ut etiam explicatum uicin citat. schqlio. Sed haec eentra alijs modis venabimur simulque uademus notitiam nonnullorum solidotum. -

- . - - . . .