De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

121쪽

i so Tractatus tritis cylindricos rectos aequealtos, sectos diagonalia ter plano transeunte per F D, & per latus oppositum M B. Habebimus cubationes truncorum cylindricie istentis super F ABD.

Figurae appensae tam secundum BD, quam secuniadum F D, repertum fuit centrum aequilibri j. Ex ijs ductis lineis parallelis BD, FD: ubi se secant, erie centrum grauitatis dictae figurae. Quod etiam aliter colligitur iungendo linea memtaliter G, & H, centra grauitatis figurarum BAD, F A D, supra reperta; & secando lineam ipsa nectem tem sic,ut sit reciprocὲ pars terminans ad H, ad partem terminantem ad G, ut BAD, ad FAD. Ex centro grauitatis ipsius B A F D. reperiemus centrum grauitatis cylindrici recti super ipsa ex, stentis. i

PROPOSITIO XXXII

Gutrumgrauitatis selidi ex Secunda maria Libi ingulis

ris circa axim reuoluta, centrum grauitatis asinare.

SEcunda Quarta Lilij vngillaris B A F D, rotetur circa axim F D. Solidi geniti B A F S T, opo

tet centrum grauitatis assignare. Solidi AFSD, eL se E, medium pun tum FD, centrum grauitatis, est

luce

122쪽

Iuee clarius. Diuidatur ED, in P, ut sit EP, ad P D , ut semidiameter cum excessu ipsius super dimi. dium arcus quadrantis ad dimidium arcus quadrantis . Cum P, sit centrum aequilibrij figurae BAD, appensae secundum DE, ut facile elicitur ex proposit i 6. &cum solidum BADST, sit proportionaliter analogum cum figura B A D ; erit etiam centrum gi auitatis solidi BADST. Diuidatur P Ε, in Q, ut sit E , ad QP, ut rectangulum DCR nempe rectangulum sub arcu quadrantis, & semidiametro ad rectangulum C R D, cum dimidio quadrati Rminus dimidio quadrati C R nempe ut rectangulum sub semidiametro, de excessu arcus quadrantis su-- Μ a pr

123쪽

BA F D, cum rectangulo MD, rotetur circa BD:& sic diuidatur E D, dimidia F D,l in P, ut sit EP, ad PD, ut semidiameter ad eXcessum arcus quam drantis supra ipsam: & fit PQ, ectaua pars FD. Dico cylindrum: MT, esse ad solidum FABSr, ut FD, ad D Q. Quoniam enim ex proposit. I i. est cylin. drus NX; duplus solidi DSBA: Ergo cylindrus M T, quadruplus cylindri erit octu plus dicti solidi. Nempe erit ad ipsudi,ut F D, ast m. Paruter, quoniam cylindrtis o T, est ad solidum F κλS T. ut arcus quadrantis, ad sui excessum supra semidiametrum, ex schol. proposit. ra. & in tali rationo est etiam ex constructione, ED, ad DP. Ergoc lit, rus MT, duplus lindri orera ad ipsum solidum, ut FD, ad DP..inaretalligendo ambo consequentia, ent cylindrus M T, ad soliduin FAB. S T, ut F D, ad D inod erat ostendisdum.

COROLLARIUM'

125쪽

4a dian BMFAB, esse aequale solido ex F ABD, reuoluta cirea MF. Ergo eylindrus ML erit ad dictum solidum, ut FD, ad FQ. Et solidum ex FABD, girca MF, erit ad solidum ex eadem circa SD, uti FQ, ad QD. Ex his ergo, & ex proposit. 4. lib.,licebit ded cere Q, . esse centrum aequilibrii figurae FABD, appensae secundum axim FD, seque secare FD, ut F Q, sit ad QD, ut composita ex FE, dimidiata F & E excessu ED, supra QD, compositam ex QP, , FD, ae D P, ad quam E D, sit ut arcus quadrantis, ad excessum sui supra semidiametrum,addictam compositam,

Cum ex schol. a. sit solidum ex B AF eirca M ad solidum ex eadem circa. B D, ut F Q, ad Q D. Erit solidum ortum ex rotatione F A B D, circa V Τ, ad solidum ex DBS T, circa I Τ, ut F

cum D Q, ad F Q. Nempe ut arcus semicirculi, una cum composita ex ipsius octava parte, & ex disserentia inter arcum quadrantis,&semidiametrum, ad compositam ex excessu arcus quadrantis supra ductam compositam,& ex arcu quadrantis.

. Et in centro aequilibrij facile erit colligere eentra grauitatis duorum solidonim . Cogitemus, eo

126쪽

dem modo , quo explicatum fuit in schol. 3. proposit. .as. figuram FABD, d licari in B AFST, cum

rectangulo M Tr deinde cogitemus rectangulum. MT, rotari vescirca MB, vel circa aliam extra M B, utcunque positam, ut generentur ex rectangulo' vel cylindrus, vel tubus cylindricus ; & ex duplicata. quarta,annulus strictus,vel latus. Cylindrum, vel tu- . bam cylindricum duplum qsse annuli vel lati, constat ex propositi II. lib. a. quia sunt ad inuicem,ut parallelogrammum ad figuram. Sed existentibus annulis proportionaliter analogis cum ipsa duplicata quarta, ut deducitur ex proposit. 19. miscell. hyperbi

ti ex schol. patebit M B, vel aliam illi parallelam

127쪽

- 384 . niatatus Visus extra ipsam,sic secari a centro grauitatis annulom ut secatur FD, in Q, a centro grauitatis duplicatae, quartae B AFST . . Quod si mente cogitantes fguram B AF D, diset plicari ad partes B M quo casu euladeret omniquaque aequalis figurae B MFUT, lic.tinuersepolita & ipsam B MFVT, ipsius vicem terentem, rotarii vel circa MB, vel circa dictam ab ipsEad libituiridia stantem inihilominus)jsdem modis conelii detur, cylindrum duplum fore solidi:& NM, secari a celitro grauitatis annuli stricti, ut secatur ED, in Q, idicto centro 3 ita ut partes terminatae ad N, Versus m& E, versus D, sint homologae. Idem dicatur de cen- tro grauitatis annuli isti. g

super laura B A ED, & super rectangulo M D, eatent cylindrici recti secti piataodiagonaliter transeunte per BD, & perlatus oppdsitum ipsi MF.

Cum e1 proposit. ι o. lib. a. sine pri sinata,quae sunt dimidia paralles epipedi existentis super rectangulo, ad truncos cylindrici super figura , ut cylindrus ex rectangulo ad solida rotunda ex fg ira reuolta: a vel ci ca BD, vel circa MF Habebimincubationes di

128쪽

. PROPOSIT IO XXXI .

Si Secundu harta Lilii inguiaris cum restauub sibi circumscripto rotetur circa axim. Erit cylindrus adsebdum, mi duplum quadratum arcus quadrantis, ad quadratum arcus quadrantis, minus dimidio quadrat emissiametri, ire dimidio quadrati excessus arcus quadraniis supra s- missiametrum '

Figura B AF D, eum rectangulo MD, rotetur circa s D: & ex CD, arcu quadrantis auferatur CR, qualis semilaiametro . Dico cylindrum

129쪽

dratum C D. ad quadratum C D, minus dimidio quadratorum CR, nempe ad duplum recta gulum CRO, Acum dimidio q-dratorum CR,

diametrum: nempe ve DC, ad CR: nempe ut qui dratum DC, ad rectangulum DC R. Ergo lini drus M Τ, duplus cylindri NT, erit ad solidum BADST, 't duplum quadratum DC, adrecta.g Ium DC R. Pariter,quoniam ex coroll.t. proposita 23. est cylindrus CS, ad solidum A DS: nempe lindrus OX, ad solidulii FADS, ut dimidium qu drati C ad excessium sui susea quadratum C rnempe ad rectangulum CR cum dimidio quadrati R D, minus dimidio quadrati CR cum enim qua.dratum CD, diuidatur in quadrata C R, R D, &in duo rectangula CRD, erit dii dium quadrati CD, dimidium quadratorum CR, RD, cum Vno rectangulo CRD; excedunt quadratum CR, rectangulo CRI', pIus dimidio quadrati RO, minus dimidio quadrati CR. Ergo cylindrus ML quadruplus cylindri OX, erit ad solidum FADS, ut duplum quadratum CD, ad rectangulum CRD, cum dimidio quadrati RI , minus dimidio quadrati CR. Ergo colligendo ambo consequentia, erit cylindrus M Ladioliduni BAFST, ut duplum quadratum Criadrectis gillum D C R, cum re angulo CR D,&

'. cum Duilirso by Corale

130쪽

.ύω Superficia: mnia. ' εν eum ditadio quadrati : RD, minus dimidio quadrati CR. Quae faciunt duo rectangilla CR D, curn dimidio quadratorum C R, R P. Quare patet propositum a

COROLLARIUM. .

Ergo Ier conuersionem rationis, erit cylindrus ad isti euestum supra dictum solidum , nempe ad soll- dum genitum ex B A FM, reuoluta circa FI , in duplum quadratum CD, ad quadratum CD, simul cum dimidio quadratorum CR, RI .

SCHOLIVM s

sed solidum dictum idem est cum illo, quod oritur ex reuolutione B A F D, circa M B. Ergo cylindrus M L erit ad solidum ex B A F D, circa M B, ut duplum quadratum C D, ad quadratum C D, cum dimidio quadratorum CR, R D. Quare facilE eoncludetur arguendo ex aequalitate, esse solbdum ex BAFD, circa ME , ad solidum BAFST, Vt quadratum CD, cum dimidio quadratorum CR, R in ad quadratum C D, minus dimidio quadrato-xum CR, R D. - . . Quare si BD, se intelligatur diuisa in Κ, ut sit Bh, ad Κ D, ut quadratum CD, cum dimidio quadratorum CR,RD, ad quadratum CD, minus

dimidio quadratorum. CR , R D s facile conclude: