De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

91쪽

' Urinam, Primus. praesenti propositi sic secari M F, aeentro grauitatis annuli, ut pals terminata M. M, sit ad inrtem termia natam ad Rut FE,QP, cum dititidio excessu Dinsupra P, ad EP, cum dicto dimidio excessur In eadem ratione secaretur axis annuli lati , si rotatio fieret circa aliam utcunque distantem ab M F. Quod ζ mente statuamus figuram F A B D, dupli. cari ad partes FM, ut sit similis VTSBAFM,& rotationem fieri vel circa BD, visat annulus strictus, vel circa aliam ab ipsa distante that annulus latus . Nen aliter ac supra factum suilconcludetur , di cylindrum duplom sere solidi: M E, V. g. esse ce trum grauitatis annuli strictir ac in eadem rationes cari axem annuli Iri ab eius 'entrograuitatis

Cogitetur ain tam pupra figurani FABD,

quam supra rectangulum MD, existere.ylindricos rectos atquealtos, sectos diagonaliter plano transeunte per FD.& per latus oppositum ipsi M B. Cumprismata sint , ad truncos cylindriei super figura FABD, ut cylindrus ex MD, ad solida ex figura reis uoluta tam circa F o, quam circa M B: & cum ex Pr senti proposit. habeamus rationem cylindrici ad illa solida ex figura : habebimus etiam cubationes truncorum cylindriclexistentis super figura , ac sectimo in explicato.

92쪽

SCHOLIUM R

Vt patuit ex superioribus , adinvenimus centras quilibrii figurae F Α BD, appensae tam secandum FD, quam secundum BD. Ex quibus repertis sicile erit reperire figurae centrum grauitatio. si

93쪽

a nacta 'rimas per k, unum emtrum aequilibrii 'ducatur perpendicularis horizonti, &etia lia ducatur per in ubi se Deabunt, ibi erit': mirums aristatis piUictum. Hoc vero potest etiam alter colligi. p, enim v.g.

centrum grauitatis ipsius u A D, inualium est ex propositi ao. P riterex propos. et T. repertum est v. PH, centrum grauitatis iphus F Am Si ergo haec mente intelligamus coniuncta, & linea nectens sic secetur,' ut pars terminata ad H, sit ad partem terminatam ad G, reciproce, ut B A'D, ad F A D. Erit punctum sectionis, ex famosi, doctrinis Archimedis in aequepond. μntrum quaelitum. Reperto autem centro grauitatis sius FABD, sciemus etiam ubi erit centrLm Pavitatis cylindrici recti super ipsa existentis. 1

centrumgrat tu sobdi ex Prima duarta Libi ingularis circa a uiam, sie diuidit semiaeta mergum ab axi abscindendam, incipiendo a aemidis axis me fus basim, ut pars eversus merticem,sit ad reliquam, mi semidiameter ad dimidium excessus diffrentiae inter arcum qu drantis, s se diametrum ,supra disserentiam imurs miriametrum, est dimidium arcus quadrantu.

EP, sit aequalis semidiametro, & sic diuidatur in Q, ut E in sit ad QP, ve y P, ad dimidium

excessus D P, supra dissilentiam inter EP, &d misdiam

94쪽

δροσω inguia.diam Dico, Q. esse centrum grauitatis solidi ex F A B D, reuoluta circa F D. Quod enim E, siecentrum grauitatis solidi F A D S, patet manifeste. Quod etiam P. centrum grauitatis Midi BΑ-DST, liquet ex dictis. Tunc ergo Q, erit centrum grauitatas studi totius, quando erit reciproce Ead M, vi selidum ex B A D, ad solidum ex F A D. Sed Midam ex B Α D, esse ad lidum ex FAD, ut EP , ad dimidium excessus M , supra differentiam inter EP, dc dimidiam ED, elicitur ex progressu demonstrationis antecedent. in qua, cum ostensum sit esse cylindrum ex M D, ad selidum ex B A D, vi

x D. ad E P, & pariter eum ostensuis si te dictum

95쪽

74 nactiatus A imus. efindrum ex M D, ad solidum ex F A D, ut eadem y ad dictum dimidium excessus: sacile patebit, s Iidum eκ B AD, esse ad selidum ex , F AD, ut Eriad dictum dimidium exeessus: nempe ut Ecti' ' P, ex constructiones Quod&e.

Cum verb habeamus centrum granitatis δε-lidi dicti ; de etiana E, centrum grauitatis cylindri MΥρ & pariter habeamus rationem solidi dicti ad excessum cylindri supra ipsum: habebimus etiam in f si, centrum grau itatis solidi ex MB AF, reuoluta circa FD. Cumque hoc solidum sit omniquaque aequale solido ex FABD, reuoluta circa MB: licetinuersὸ posito: habebimus consequenter in quo puncto secetur MB, a centro grauitatis solidi dicti ex FABD, circa MB.

Sed ex his , & ex nostris doctrinis susE explieatis itipari. a. nostri misceli. geomet.deducemus etiam cenis

ita aequilibrij duorum solidorum, quae nunc e plica buntur Super figura FABD, concipiatur cylindricus rectus quilibet,sectus plano diagonaliter traiti seunte per FD, & per punctum in latere erecto a puncto B. Si ambo trunci huius cylindrici intellia

gantur appensi secundum F habebimus ipsorum

96쪽

een tra aequilibrii. Etenim sunt prόportionaliterana- , logicum 'lidis rotundis ex FABD, reuoluta circa lF & circa M B. Dexter cum solido circa M B; sinister vero cum solido circa FD. Cum ergo assignata fuerint centra grauitatis solidorum rotundo. . rum ἔ erunt pariter auignata centra aequilibrij illo-

- Irum truncorum.

97쪽

s , inuis imus ΙNtelligamus figuram B A F D, rotari cirra BD.

Solidi geniti oportet centrum grauitatis assigna--re. SUpponamus E ', aequale semidiametro , ME rudiaudiam. .lis. Diuidatur: C D, in sit

Ergo ex proposit. t f. R, oit eentrum aequilibrii trilianet D A F, appensi secundum CD. Et consequenter ex mpose.as. rvice l. hyperbi. erit centrum grais inlatis annuli ex eo reuolisto circa CD. Pariter est centrum grauitatis solidi ex BA D, circa BD. Secetur sic CR, in k, ut sie Ck, ad Κ R, ut ED, ad Em Dico h, esse centrum quaesitum. Nam ex Proposit. . elicitur, esse solidum ex F A D ,' circa C D, ad solidum ex B A D, circa B D, ut recta gulum EDP, ad rectangulum E PD; nempe ut D E, ad E P: nempe reciproce ut C Κ, ad Κ R.

Sed etiam nunc habentes k , centrum grauis is solidi dicti, & C, centrum grauitatis cylindri ex M D, circa B D, & pariter rationem solich dicti ad excessum cylindri supra ipsum: in B C, etiam dabitur centrum grauitatis dilii excessus cylindri. Cumque ille excessusodequaque ar-tur salido ex B Α-FD, reuoluta circa MF, licet fit inverse postas: habebimus consequenter , in quo puncto secedirori a centrograuitatis dicti solidi. SCH si

98쪽

ntiam ergo ex nunc,&is , par miscellisi geom. deducemus centra grauitatis d*orum truns

rum cyliodita recti erustentis super B Λ F relecti

99쪽

dii axis,a suam re asit, . semidiameter, a exin arcus quadrantis se a imim.

BA F D, cum rectangulo MD, rotetur circa BD:& sic diuidatur E D, dimidia F D,l in P, ut sit EP, ad PD, ut semidiameter adeXcessum arcus quadrantis supra ipsam : & fit PQ, ectaua pars FD. Dico cylindrum M T, esse ad solidum FABST, ut FD, ad D Q. Quoniam enim proposit. I l. est cylin. drus NX; duplus solidi DS B A: Ergo cylindrus M T, quadruplus cylindri, erit octu plus dicti solidi. Nempe erit ad ipsudi,ut F D, ad QP. Paruter, quoniam cynndrtia ST, est ad solidum F ΑλST. ut arcus quadrantis, ad sui excessium supra semidiametrum, ea schol. proposit. ia. & in tali rationo est etiam ,ex constructione, ED ,ad D P .i Ergo cylindrus MT, duplus lindri or eruadipsum solidum, ut PD, ad DP. Quai etalligendo ibo consequentia, ent cylindrus M T, ad solidulii FAB. S T, ut F D,i ad D inod erat ostendinduar.

COROLLARIUM.

Ergo per conuersionem rationis , erit cybndrus ad sui excessum supra dictu-ri FD, ad

in P,