De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

231쪽

Tractatui ermini. cireulus diametri O R, . parallelus F EG, saeans truncum H X V k, X A V, ut in schemate. niam punctum N, aeque remote distat tam ab Α, vertice solidi X A quam ab A, ut est centrum basis Η Α Κ, trunci H X V hi ergo ex proposit. T.

quadrata PN, LN, erunt aequalia quadrato ON. inare communi ablato quadrato PN, rectangulum O PR, erit aequale quadrato LN. Quare etiam armilla circularis orta ex reuolutione O P, circa A P. erit aequalis circulo radij LN. Et cum hoc semper Verum sit ubicunque sumatur punctum N: sequitur, quod cum magis, magisque appropinquando puncto A, deueniatur ad circumserentiam descriptam a puncto H, reuoluto circa A F, & ad ipsum punctum A ; ipsam circumferentiam aequalem fore puncto A.

232쪽

De su scis V .e. I s: seeundat probatur in schol. t. proposit. miscis. hypei b. Nam ibi supponimus ABC, esse vallibethuram eirca diametrum BD, & ipsam rotari circa FC, ad generandum annulum AB H G; quem probisimus aequalem tam secundum mistum, quam secundum partesproportionales quatuor solidis dispositis, ut in secundo schemate, sic, ut duo

233쪽

t is ructatus Primus

alia duo circa EA. Et probauimus se esse essiciua la, ut si sumantur F N, V N. aequales & tr amtur plana Κ R, EF, parallela circulix ACG,AXBrarmillam circularem LMQ, aequaleri sore duabus armillis circularibus , & duobus circulis in qu tuo solidis nimirum armillae EGE; cireulis L OM,N P Q1. & armillae R S F. ' Cumque hoc semper verum sit ; & magis appropinquando ipsis F, V, d,

ueniatur ad F, & V. Ergo etiam extrema horum solidorum erunt aequalia. are eircumferentia di metri BH, extremitas annuli ABCHG, eritatis qualis circumferentijs diametrorum CH, Τ D, &punctis Y, Z. Cum vero CH, TD, sint aequales ipsi BΗ, &- consequenter tam Arcumsi rentia di metii CH, quam diametri TD, sit aequalis circumferentiae diametri BH. Patet et rcumferentiam diametri BH, probatam fuisse aequalem duabus circunaseremijs, quarum unaquaeque est apsi aequalis. Ac proinde, utraque simul ipsa maior. Tertia pars pariter probatur. Supponamus A taDF C, esse quamlibet figuram circa diametrum B in ει ex reuolutione ipsius circa FC, genitum esse solidum A E D F v Υ G. Hoc vero supponamus sectum semifigura i D a T, erectam plano genitori, &xquidistanter ipsi F C. supponamus pariter ex reuolutione D a C circa B U, genitum fore solidum Sc. Probauimus supra in proposit. 1 quod si haec solida secentur planis k L R, IX S, parallelis A C G,

D, armillam circularem k L R, aequalem esse armillae

234쪽

ex Xs, circa BD. Ciun ergo hoc semper verum stretiam extremitates horum solidorum erunt aequales et nempe circumferentia descripta a puncto E, circa F C, erit aequalis circumserentiae descriptae a punctoa, circa B D. Sed cnm Ba, sit media proportionalis inter B B, N eius triplam B Υ; erit minor eius dupla E F. . Cum ergo sit circnmserentia semidiametri E F, ad circumferentiam semidiametri Bi, ut Es, ad Ba.: sequitur circiim serentiam puncti E, maiorem esse circumferentia puncti a. cui etiam probata fuit aequalis. En ergo qualiter illa, eademque methodo Galilei, non solum probata suerit circumserentia puncto ae-

235쪽

I 8a . Tractatus rimus.

qualis; sed aequalis duabus circumserent ijs ipsa silaiulmaioribus; & aequalis circumferentiae etiam ipsa mi- 'nori. En ergo causam falsitatis in modo arguendi, ab alio principio deducendam ire, quam a definitionibns Euclidis, ut Bettinus ipsam deduxit. Sed rogabis; A quo procedit hoc t Deus auertat nos aliquid circa hoc pronunciare. Summopere namque terret nos illud, quod circa hanc speculationem,& circa hoc paradoxum ait i llustrissimus snterlocutor Sagredis conciuis noster: ita quippe in loco Galileicitato pagina 3O, Circa paradoxum illud. statuit. La specutitione mi par tanto gentile, eperegrina, be is quam do ben p tessi, non me gli morrei opporre, che mi parrebia in meis sacrilegio lacerar si bessi muttura eiapemudoti conquakbeperiniso ronto. Nos cum Sagredo nolIumus

vllum habere iurgium. Praecipue, quia illius nobilissimam familiam maximopere veneramur. Ac praesertim Illustrissimo, & 'Eccellentissimo Nicolao M-gredo Diuii larci Procuratori ciusNepoti; ingenue fatemur, nos plurimum debere; vel hoc uno solum, quia ipse est inter pauetifimos unus, qui Mathesim quam plurimum facit. Nec esucubrationes geometricas cachinnis , & sibilis recipit, ut ploeique s ciunt. Geometriam existimat in quocunque sit: nee ipsi eam graveolentem reddit indumentum quodcumque. Sed ordinem propositionum sequamur.

236쪽

De Sinficie V uti, is 3

PROPOSITIO LVIII.

Siseper es inguia duplicata circa axim, cum rectangulositi circumscripto rotetur circa mnum latus rectanguli axiyarallelum. 1rit tubus e lindricus circumscriptus annulis orti ex superficie exteriora, a ipsum annulum, mi it . plus arcor quadrantis, ad diametrum, mina cure ae mi io arcus quadrantis .

SVperficies ungulae ABD, cuius axis BD, sit

duplicata in Α BC, &cum iectangulo AF, sibi circumscripto rotetur circa F C. Dico tubum cylindricum E D Y, esse ad annulum A B D V H G, Ortum ex rei tolutione ABD, circa FC, ut tripla BD, seu FC, quae est aequalis arcui quadrantis, ad diametrum circuli, una cum dimidia FC. Suppona. tur CS, dimidia FC, & NC, aequalis semidiametro . Ex schol. proposit. I a. est totus cylindrus EG, ad totum annulum A B C H G, ut arcus quadrantis ad semidiametrum: nempe, ut FC, ad C N: nempe, ut quadrupla FC, ad quadruplam CN. 'Ex proposit. I 3. est cylindrus D H, ad solidum DBCH V, Vt FC, arcus quadrantis, ad excessum diametri supra C s: nempe ad CN, NS. Ergo reliquus tubus cylindricus E DY, erit ad reliquum annulum A BD VHG, ut tripla FC, ad duplam CN, cum CS Quod erat ostendendum .sCHO

237쪽

sed annullis ABCH G, intelligatur sectus semifigura DB X, erecta superficiei ABC, Sarqui- distanter FC: &intelligamus figuram DBX,r tari cum rectangulo sibi circumscripto circa BD. Ex doctiinis fusissimὶ explicatis in proposit. I. pari. . misceli. geom: & in scholijs eiusdem patet, esse tu-bum ad annuinna, ut cylindrus circumscriptus solido ad ipsenet, & hoc tam secundum totum, quam scTu dum partes proportionales . Quare etiam patebit, cylindrum circumscriptum solido ZBX, esse adipsum

238쪽

M Super a Vnguia. i 8s, sum. ut triplus arcus quadrantis, ad diametrum una cum dimidio arcus quadrantis. Seu ad pauciora re. ducendo, ut arcus quadrantis, ad subsesquialterani semidigmetri , una cum sexta parte arcus quadrantiS.

PROPOSITIO LIX

Anηuli proposit. antecedent. possumus a gnare in i us axicentrum gratuitatis .

OVod enim annuli A B D V H G, possimus in

pC, assignare contrum grauitatis, sic patebit. Suyponamus FS, aequalem semidiametro . Em go ex nymero I. proposit. 23. erit S, centrum grauitatis totius annuli A B C H G. Pariter ex proposit. 36. sit inuentum T , centrum grauitatis solidi DBCH U. Si fiat reciproce, ut annulus ABD VHG, ad solidum DBCHU, sic TS, ad SN; nempe sic arcus quadrantis, cum excessu diametri supra dimidium arcus quadrantis, ad hunc excelsum,ex schol. R. proposit. is. Erit innentum N, centrum grauitatis annuli dicti. Qeod&c.

Cumque hic annulus sit propos tionaliter analogus cum solido ZB X. Erit etiam inuentum I, centrum grauitatis illius solidi. . Aa So-

239쪽

i 8 6 Triaratus Primus.

solidi ergo ex semifigura D BX , reuoluta cirea D B, assignauimus & mensuram, & in axi D B, centrum grauitatis. Sed ipsius semifigurae DBX, ignoramus & naturam, &conditionem; sicuti de reliqua , quae ex ipsa possunt deduci. Quapropter est reponenda inter catalogum illarum figurarum, quas prinposuimus geometris speculandas in schol. propositi

PROPOSITIO LX.

Si supersicie guia sit quidem duplicata circa axis, sed

inuerseposita ,-haec cum rectangulo circumfripto inrela ligatur rotari circa titus, quo erit axis iniussuper eL Erit tubus cylindrictis circumscriptus inmulo orto ex superficie exteriori , ad ipsum annulum, et1t triplus arcus quadrantis,ad triplumsemidiametrum, mna cum excessu semidiametri supra dimidium arcus quadrantis.

SVperficies ungulae A E D, cuius axis EA, sit

duplicata in AED FC;& haec cum rectangulo EC, rotetur circa FC. Dico tubum cylindricum B D Y, esse ad annulum AED V YG , ut truplus FC, arcus quadrantis , ad triplum semidiametrum, una cum excessii semidiametri supra dimidium arcus quadrantis. Patet faciliter, quia, ut in proposit. 3 8. deduce- 'mus , esse totum cylindrum EG, ad totum solidum A E D F V Υ G, cx schol. proposit. a 2.Vt arcus qua

240쪽

M S perficie

dranti ad semidiametrum. seu ut quadruplus arcus, ad quadruplum semidiametrum . Sed ex proposit. ar. est cylindrus D H, ad solidum DF V, ut a sus quadrantis, ad sui dimidium. Ergo tubus est dricus AD Y, reliquus, erit ad reliquum solidunt A E D V ΥG, ut tripIus arcus quadrantis, ad triplum semidiametium,una cum excenu semidiametri,supra dimidium arcusquadrantis. Quod &c.

Ergo etiam per conuersionem rationis, erit idem tubus cylindricus ad annulum ortum ex reuolutione