De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

241쪽

18 s ' Tracratus Primus. trilinei EDB, reuoluti circa FC, ut triplus arcus quadrantis,ad triplum excessum arcus quadrantis,supra semidiametrum , minus excessu semidiametri su- pia dimidium arcus quadrantis et nempe ad duplum excessum arcus quadrantis supra semidiametrum,una cum excessu differentiae inter arcum quadrantis, & Ω-midiametrum, supra differentiam inter semidiametrum,& dimidium arcus quadrantis, i

SCHOLIUM. l

. Sed solido dicto intellecto secto semifigura D 1 T. erecta figurae genitrici, &aequidistanter FC, &λ- mi figuram cum rectangulo B T, sibi circumscripto rotari circa BD, habebibus pariter cylindrum ex BT, esse ad selidum ex D 1 T, yt triplus arcus quadrantis, Ad triplum semidiametrum, una cum e cessu ipsius semidiametri supra dimidium arcus quadrantis. Et reducendo terminos ad minores, ut adicus quadrantis , ad se idiametrum', una eum teriatia parte excelsus ipsius pra dimidium a s qua

Item per conuersonem rationis, erit cylindrus effBT, ad solidum, quod oritur ex reuolutione trilinei circa BD, ut triplus arcus quadrantis ; ad duplam differentiam inter arcum quadraptis , & se. Midiametrum, una cum excessu dictae differentiae supra disterentiam inter semidiametrum, & dimidium arcus 'quadratius. Reducendoque terminos ad mi-

242쪽

nguti nores, Ut arcus quadrantis, ad subsesquialteram disserentiae inter arcum quadrantis , Ssemidiametrum, Vna cum tertia parte excessus differentiae dictae, supra illam,qus est inter semidiametrum, dimidium arcu. quadrantis . t o

ΡROPOSITIO LXI.

a , IAm si 'F Z, sit aequali semidiametro, patebit

243쪽

is Traratus Primus. grauitatis totius solidi A E D F v YG. Pariter sit se secta FC, in se, ut sit FR, ad PC, ut quadratum arcus quadrantis, una cum quadrato semidias tri, ad disserentiam quadratorum arcus quadrantis,& semidiametri: eriit centrum grauitatis soIidi DF U. ex schol. proposit. 33. si ergo fiat reciprocERE, ad Z N, ut annulus A E D v Y G, ad solidum DFU; nempe, ut sesquialter diametri, una cum differentia inter semidiametrum. & dimidium' arcus quadraritis, addimi ηρ-vt elicitur ex progressu proposit. 3- erit N, centrymgrauitatis annuli AED v ΥG. Quod erit inu

'niendum.

Sed cumsolidum ex DAT, eirca BD, sit proportionaliter analogum eum dicto annulo; si sic see tur BD, in i, ut est secta FC, in N' inuentum etiam erit centroen grauita dii,i solidi. Quare cum sciamus etiam medium punctum B D, ese centrum grauitatis cylindri ex BT: di non ignoremus rationoen solidi ex Da Τ, ad solidum ex DB a: habebimus in BD, centrum grauitatiSdi- solidi ex DBa. 'Solidi ergo ex Dar agnouimus &missuram,& centrum grauitatis. Ignoramus autem &quadraturam, Sc naturam, & alia, quae possuntoriri ex ipsa semifigura DaT, vel ex trilineo BDa. Propona--

244쪽

De Superficie riguia. l 9 Itur ergo cum reliquis schol propos t. ab . pari. I. mi steli. geom. alijs speculanda.

PROPOSITIO LXII

Si super es lingulae Emicata eirca basim, cum rectangulo circumscripto rotetur circa latus rectangub basi paralle-- lum. Erit tubus cylindricus orcumscripus amnulo orto' ex seuperficie ex teriori, ad Vsum annulum, mi sesquiali rum quadrati arein quadrantis, ad rectauulumsub composit εχ quadrantis, , disserentia inter usum, lysemia diametrum, ην subsemidiamet; o.

SVperficies ungulae A BD, cuius axis AD, baissis BD, sit duplicata in ABC, circa basim

BD: & haec cum rectangulo EC, rotetur circa FC. Dico tubum cylindricum EDY, esse ad annulum ABD VHG, ut sesquialterum quadrati arcus quadrantis, ad rectangulum sub semidiametro, & sub composita ex arcu quadrantis, & ex differentia interi plana, & semidiametrum . Cylindrus EG, est ad solidum A BCHG, ex schol. r. proposit. t a. num, ut arcus quadrantis ad semidiametrum: nempe. ut duplum quadratum arcus quadrantis, ad rectanguluin sub sentidiametro, & sub duplo arcu quadrantis. Sed ex sec. pari. proposit. 23.est cylindrim D H, quar-ra pat s cylindri E G, ad solidum D B C H v, ut di. midium quadratum arcus quadrantis , ad quadraium semidiametri. Ergo reliquus tubus cylindricus ED

245쪽

Tractatia Trimus ELY, erit ad reliquum solidum ABD VHG, ut

sesquialterum quadrati arcus quadrantis, ad rectangulum sub semidiametro, & sub arcu quadrantis, una cum rectangulo sub semidiametro, & sub disserentia inter arcum quadrantis, & semidiametrum vnum enim rectangulum sub arcu quadrantis, &sub se mi. diametro diuiditui in quadratum semidiametri,& in rectangulum sub semidiametro, & sub differenti inter arcum quadrantis, & semidiametrum;) nempe ad rectangulum sub semidiametro, ut sub composita ex arcu quadrantis,& ex differentia inter arcum quadrantis,& semidiametrum. Quod&c. .

246쪽

De superficis Unguia: rsa

SCHOLIUM.

solidum sit sectum semifigura DB X, erecta pla-lo genitori, & aequidistanter FG; & DBX, cutis rectangulo sibi circumscripto rotetur circa D B . E. tiam talis cylindrus ad solidum genitum, erit in dicta

ratione. .

Solidi ergo ZBX, habemus mensuram: non tamen eius habemus centrum grauitatis.1 quia in sep rioribus non adinvenimus centrum grauitatis solidi orti ex reuolutione superficiei ungulae circa basim . Conditionem, quadraturam reliqua semifigurae DB X, ignorantes, remittimus eam ad alias numera ias in schol, proposit.1 I. cit.

PROPOSITIO LXIII

Si superficiei inguia sit quidem duplicata circa basim, sed

inuersepo sita, re haec cum rectangulo circumscripto inteLhatur rotari circa titus, quod erit basis et nisi seperficiei. Erit tubus Ilindricus circumscriptus an lo orto exsuper e exteriori, ad ipsum annulum , it se uiatcrum quadrati arcus quadrantis, ad rectangulum sub arcu qua- drantis sub semidiametro, una cum quadrato semia

diametra.

It superficies axis AD,

247쪽

rs Tractatur Prinus.& eum rectangulo EC, sibi circumserIpto rotetur circa FC. Dico rubum cylindricum. EDY, esse ad annulum A E D v Y C, in dicta ratione.

Nam ex n umero 2 . schol. I. propositi ra est Iindrus E G, ad torum solidum A E DFV YG, ut aracus quadrantis ad semidia linetrum: nempe,ut duplum quadratum arcus quadrantis, ad duplum rectangulum cib arcu quadrantis, S sub semidiametro . Sed cylindrus D H, subquadruplus cylindri EG, est ad lidum DF v, exprim. pari. propositi αῖ .vidamiadium quadrati arcus quadrantis, ad rectangulum subdisserentia inter arcum quadrantis , &semidiam trum, & sub semidiametro . Ergo reliquus tubus cylindricus EDY, erit ad reliquum annulum AlimV Y G, ut reliquum ad reliquum: nempe, ut sesquialterum quadrati arcus quadrantis, ad rectangulunia sub semidiametro, & sub arcu quadrantis, Una cum quadrato se in diametri. Quod&c.

Quod s solidum A E D F V Y G, intelligatur se-'ctum semifigura D a L erecta superficiei genetrici, & aequi distanter FC ; & Da T, cum rectangulo B T, s bicircumscripto rotetur circa BD. Erit cylindrus genitus, ad solidum, pariter vi s xquialterum quadrati arcus quadrantis, ad rectangulum sub arcu, di sub semidiametro, cum quadrato semidiametri. Et per conuersionem rationis, erit cylindru ad solidum

ortum

248쪽

omam ex reuolutione trilinei B D a, circa B D, ut sesquialterum quadrati arcus quadrantis, ad sui e cessum supra consequens. Solidorum ergo genitorum ex reuolutione & semifigurae DaT,& DBa, circae BD, tradidimuSmensuras. At centra grauitatis nequeunt ex dictis as gnari ι quia nunquam docuimus centra grauitatis solidorum ex superficie ungulae rotata vel circa basim, vel circa latus rectanguli circumscripti basi parali

lum. Semi figurae eiM DA T, non tenemus mai rem notitiam tradita. Non ergo vereatur reponi cum alijs schol. proposit. a s . misceli. geom. &GBb a PR

249쪽

. Tractatus Primus.

PROPOSITIO LXIV

Si prima quarta Li* inguiaris duplicata Area basim,ei

rectangulo circumseripto rotetur circa latus rectavias b si parasielum. Erat lusus ylindricus circumscriptus anisnulo orto ex quarta exteriori ad ipsum annulum, it fesquialterum quadrati axis quartae, ad dimidium quadrati axis, inaeum excessu quadrati dimidit axis supra quadratu e diametri illius circuli,euis emicircumferem

tia aquatur axis.

ΡRima quarta Lilii ungularis B A FD, cuius bu

sis BD, axis FD, sit duplicata circa basim B O, in FABST, reehangulo sibi circunt . scripto intelligatur rotari circa MF, ut ex rectaningulo generetur cylindros, &ex quarta solidum, quae mente intelligenda sunt. Dico tubum cylindrictimortuita ex reuolutione rectanguli UD, circa M F, esse ad annultim ortum ex quarta exteriori T S B D, reuoluta circa MF, ut sesquialterum quadrati FD, ad dimidium quadrati F D , una cum excessu quadrati ED, dimidiae FD, supra quadratum semidia. mctri circuli cuius semissi circumserentiae sit aequalis F D, & quadranti ipsa ED. . Torum cylindrum ex rectangulo VF, esse ad totum solidum ex duplicata quarta Υs B A F, in ratione dupla,constat ex schol. I. prop.27. Quare cylindrus erit ad solidum,ut duplum quadratum F D, ad

250쪽

quadratum m. At ex eoro,prop.26.S exeilas schol. I.constat cylindrum ex DM, subquadruplum cyli dri ex TM, esse ad solidum ex quarta B AF D, ut dimidium quadrati FD, ad quadratum BD, cum quadrato semidiametri arcus quadrantis E D. ΕΘgo reliquus tubus cylindricus ex V D, erit ad reliquum