De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

271쪽

E D, est arcus quadr*tis. Ergo in rubps cylindricus ex TR ad annulum ex Τs B D, quem stringit, ut tripla FD, ad FP, cum . . God Sci

Vt in antecedentibus sectis cyIindro, & AIido re

272쪽

De supersis Unguia. ao7ctangulo P G, & semifigura D B H h, ut in schem: posito supra Dyseo sim positis, & facta reuoltitione

circa Erit cylindrus ex rectangulo, ad solidum ex senii urata dicta ratione. . t

PROPOSITIO LXIT

NAm si sit se sectus in T, ut sit M Z, ad ZR

ut quadratum una cum dimidio quadratorum EP, PD, ad quadratum ED, minus dimidio quadratorum EP, PD. Erit ex schol. 3. propost, s r. Z, centrum grauitatis solidi totius ex T S BA F, circa M F, reuoluta. Ex schol. I. proposit. 33. inueniatur st, centrum grauitatis solidi ex DBA F. Fiat reciproce R Z, ad ZO, ut annulus ex TS B D, ad solidum ex DB AFr nempe secundum rationem assignatam in schol. a. propositi 3 o. Erit O, centrum grauitatis annuli praedicti.

Sic vero secabitur B D, sicuti secatur M F, a centro grauitatis solidi ex dimidia figura DBHh, seorsim posita reuoluta c rca BP. Quae figura cum non pariat pro nunc in nobis maiorem notitiam tra

dita:

273쪽

dita: pergat cum caeteris schol. propositi as . saepe cL

PROPOSITIO LXX.

Sisicunda quarta Libi ingularis duplicata circa axis, eum rectanguώ Aia circumscripto ratetur circa latus axiparaLulum. Erit tubus Ilindricus circumscriptosannulo orto ex rotatione quartaexter is,adipsum annulum, infesquialterum quadrati axis , ad subduplum quariati axis , mna cum dimidio quadratorum semidiametri circuli em. iussem axis est arcus quadrantis, , disserentiae inter ac eum quadrantis semidiametrum.

SEcunda quarta Lilij ungularis BAFD, sit dupli

cata circa axim FD, in B A F s T, & haee cum rectangulo M T, intelligatur rotari circa V Τ; sitaque ED, dimidia pD, & DQ, si aequalis semidiametro circuli, cuius ED, est arcus quadrantis. Dico tubum cylindricum ex M D, circa V Τ, esse ad soli dum ex B A F ID, ut sesquialterum quadrati seu Vt sextuplum quadrati ED, ad dimidium quadrati duplum quadrati LD, una cum dimidio quadratorum Eri Ex schol. a. proposit. 3 o. constat cylindrum ex M T, esse duplum selidi ex B A FST: nempe esse ad ipsum,ut duplum quadratum FD, ad quadratum FD. Ex coroll. & ex schol. I. prop. 3 r, constat cylindrum ex FT, subquadruplum, prioris, esse ad solidum ex DFST,

274쪽

di Surseis nostia. ut duplum quadratum DF, neta pedi idiam quadrati FDὶ ad quadratum ED, una

275쪽

aro Tractatis, L. eum dimidioquadratorum' EQ, QD, & ciam duplo rectangulo Em. Quare constabit etiam .esse resimum tubum cylindricum ex MD, ad reliquum antrinlum ex B AF D, ut reliquum, ad reliquum: nempe. ut sesquialterum quadrati FD, sed sextuplum quadrati ED, ad duplum qWadratum ED, seu dimidium quadrati F in una cum dimidio quadratorum EQ; M. Quod &c.

's CHOLIUM.

Constabit etiam, supposita semifigura BHED, seorsim posita, saepe explicata, de reuolutacirca Κ D, esse cylindrum ex rectangulo ei cireumscripto, ad solidam ex semifigura,in antedicta ratione.

PROPOSITIO LXXI.

Postianus amedicti anni a , centrum grauitatis assignare

NAm axis sic secetur in Z, ut si VZ, composita

ex dimidia FD, Sex excessu ED, supra compositam ex octava parte FD, & ex differentia inter E D, ut est arcas quadraatis,& semidiametrum. Erit ex schol. 3.propos. 3o. Z, centrum grauitatis solidi ex B A F ST,circa UT, rouoluta. Ex schol. I. prop. 32.inuciniatur is, centrumgrauitatis solidi ex DFST, circa VT. Etsat reciproci P ad Z ut annulus ex B

276쪽

ne n scis Unguia: a II FD, ad solidum ex DFST, circa Uri nempe secundamia rationem expressam in schol. a. proposit. 3 a. Eritintantuni vicium O, contruni solidipraesim

Quod centrum pariter secabit vT, ut seeatur ED, a centro grauitatis solidi se ni figura B H ED, r uoluta circa ED. Quae figura est reponenda cum Hijs pluribus vicibus recensitis .

PROPOSITIO LXXII

Si is dis duplicata circa sim, cum ieireumsic ore gulo rotetur circa titus rectangulis paruviam. Erit tuias e uisurus iareum plus annuis ex semic cloide extenuri, a ipsem onm , t tripla basi emit eloidis, ad duplam basis, ina cum diserentia intersemia diametrum , s semibasim minus dimidio excessus disia remiamur se basim est se diametrum, supra ἀς sentiam intersemidiametrum.. quartam partem bases.

PROpositio haec proponitur diuersissime ab eo,quo

proposita fuit in proposit. sq. r. pari. misceli. geo'. Ibi enim Torriceliij testimonio assentientes, assignata fuit innumeris, quo modo nequit exprimi nisi proxime secund am cyclometriam Archimedum. Sit ergo semicvclois ABD, cuius axis AD, basis Dd a BD,

277쪽

Trumtus Primus. ea xx BD, quae fi t duplicata in ABC, & hare cum rectangulo E C, iniqlligatur rotari circa FC. Dico tubum cylindricum EDY, esse ad annulum ABDUHG, ut tripla basis BD, ad reliqua, ut expressum fuit supra. 'Nam totas cylindrus E G, cum fit ad totum soll-dima A BC HG, ut rectangulum EC, ad figuram ADC, erit ad ipsum, ut quadrupla B in ad triplam BD. Pariter ex proposita q. est cylindras DH, ad λ lid ma DBCH U, ut BD, ad sui dimidiam, una cum

semidiametro, & cum diu idio excessus differentiae . die x. Ergo erit reIiqinis tubus E D Y, ad reliquum 'annulum ABD VHG, ut tripla BD, ad duplam BD, una cum differentia inter semidiametrum, & dimb

278쪽

Sed secto solido semifigura D B X. In dicta etiam erit ratione cylindrus ad solidum,&c.

PROPOSITIO LXXIII.

xis selisis d cata quidem circa basim , sedinuersepos:

ta,cum recta gu bi circumfripto roratur circa latus rectanguli, quo in basis masemicycloidis. Erit tubus bndrisus circumfriptus annulo orta ex semicycloide emteriori,adipsum annulum, t tripla basi emic cloidis,adduptim basis, naeum I ipsius, . cum disserentia inter semiba , γ' semidiametrum, minus dimidio exessus adisserentia intersemiba ,, semidiam/trum pra dis ferentiam intersemidiametrum,ω basis ἰ.

SLmicyclois AED, cuius basis AE, sit duplicata in

AEDFC, & haec eum rectangulo EC, rotetur cita ea FC: sit FN, dimidia FCι NZ, dimidia NC,& Ndi, aequalis semidiametro semicirculi genitoris. Assero. tubum cylindricum EDΥ, esse ad annulum AEDRYG, ut tripla F C, ad duplam F C, cum N Z, & cum

, minus dimidio excessus Cyi,supra 'Z. Nam ,pariter cum sit totus cylindrus EG, adto- . tum annivum AEDFVΥG, ut quadrupla FG ad tria Plam

279쪽

excelsus CP,ὶpraFZ Erit tubus BD ad annulum, quem stringit, ut tripla FC, ad dupIam FC, cum NZ, decum C ', minus dimidio excellas C sepra 'T. Quod erat ostendendum.

. Secto solido semisguta D, T & rectingula D a,

hisque reuolutis circa B Dr cylindrus erit ad sesidum in eadem ratione. Et per conuersioaem rationis, habebimus etiam rationem essndri ad solidum, ortum

280쪽

De Super lentula. ex reuolutione trilinet D Ba, circa BD. Haec p. positio non fuit tradita in inisceu.geom. Patu it autem in antec. & in hac proposit. haberi mensuras set id tum ex dictis dimidiis figuris. Centra grauitatis, nec reliqua habentur. Nihilominus sunt reponendae cum reliquis recensitis

' PROPOSITIO LXXIV

Si cycloiscum rectangulo circumscripto rotemr circa latusaxi parasielum. Erat tubus c=lindricus circumscriptus annuu' ex semie t de exteriorι, ad jseum, qui triplum quadratum basis sint cloidis, ad duplum quadratum dictum, Una cum excessu quarω partis dicti quadrati, ira Aesquitertium quadracsemi iamrari.

CVclois ABC, cuius axis BD, rotetur cum E C. circa FC, parallelam axi B D. Dico, tubum cylindricum EDΥ, esse ad annulum ABD VHG, ut triplum quadratum AD, ad duplum quadratum AD, cum excessu quartae partis quadrati AD,supra sesquitertium quadrati semidiametri circuli genitoris. Nam,quum torus cylindrus EG, sit sesquitertium totius solidi ABCHG, erit ad ipsum, vi q. quadrata A in ad 3. quadrata AD. Ex proposit. vero so. est cy-Iyndrus D H, ad selidum DBCHV, ut quadratum AD, ad sui subse' iitertium, cum sesquitertio quac drati semidiametii. Ergo reliquus tubus EDY, erit ad annulum exteriorena, ut triplum quadratum AD,