장음표시 사용
311쪽
α ε Trinatus Secundus. Vnitate. Quorum, ergo CD, vel BC, est rectan. gulum sub numero unitate alicto, & sit, num et o binario aucto; DR, est rectari g ilum sub unitate,& sibnumero unitate aucto; & C R, est quadi a tum numeri unitate aucti. Cum verb k, sit centriina grauitatis totius solidi, erit reciproce C Κ, ad Ic it, ut annulus F A D S T, ad fusum A B S D: nempe ex proposit. anteced. conuertendo, ut rectangulum sub duplo numero unitate aucto, & sub unitate, ad quadratum numeri parabolae. Sed rectangulum sub duplo numero unitate aucto, & sub unitate, una cum quadrato numeri, facit quadratum numeri unitate aucti quadratum enim numeri unitate aucti , diuiditur in quadratum numeri, & in duplum rectangulum sub numero, &sub unitate, & in quadratum unitatis, quod cum dictis duobus rectangulis facit rectangulum subdupla numero unitate aucto, & sub unitate. ὶ Ergo quorum C R, est quadratum numeri unitate aucti, & reliqua vi explicatum fuit , erit C Κ,. rectangulum sub dupla numero unitate aucto, & sub unitate,& ER, quadratum numeri. BE, ergo composita ex BC, Ck, eriv rectangulum sub numero
binario aucto,& sub numero unitate aucto, cum remetangulo sub unitate, & sub duplo numero unitate aucto. Parher kD, composita ex DR, RE, ericrectangulum sub unitate, & sub numero unitate aucto, ung m quadrato numeri . inod erat proban
312쪽
vx h. vero centro grauitatis solidi F AB ST; ex C, centro grauitatis cylindri MT; &ex ratione ex-ccssus cylindri supra lolidum, ad ipsum solidum, po-
313쪽
terit hauri in BD, centrum grauitatis dicti excensus. Qui cum sit aequalis solido orto ex rotatione FABD, circa MF: etiam in MF, inuenietur centrum grauitatis dicti solidi. Hoc verb non secat nec BD, nec MF. secundum aliquam seriem ordinatam, qua uis numero exprimibilem. In parabola quadratica, quorum BC, est xx. Ck, est 3. Ergo quorum C h, erit 7. talium BC, erit 16. Sed ex schol.a. proposit. I. colligitur, quod si fiat,ut excessus cylindri supra solidum ad solidum, sic Κ C, ad CY, ut sit Υ, centrum grauitatis dicti excessus, quorum ΚC, erit 7. talium CV, erit 3. Ergo talium resi qua BΥ, erit I 3. Erit Ergo ΒΥ, ad Y D, ut ri, G ad is. . nempe,ri 23. ad 33.
In iiisdem rationibus secabitrer BD, a centris aequilibrij truncorum cylindrici super B AF D, exi- flentis, ac resteti plano diagonaliter transeunte per BD, & per punctum in latere erecto a punia o F, secundum BD, suspensorum.
Explosis iis , quae attinent ad primam quartam Lilii parabolici , examinare nunc debemus ea, ad secundam quartam eiusdemmet Lilij spectantia: sed in hac sectione procedemus contrario modo, ac fa
314쪽
elum fili in praeoedenti. Nam in illa , ex centris aequilibri; figurae repertis tam in axi, quam in basi,dςduximus mensuras solidorum ex figura. Nunc indagabimus mensuras solidorum, & ex ipsis agnoscem us centra aequilibrij figurae. Recogitet ergo lector, noβ pro secunda quarta talij parabolici intelligere
315쪽
figuram FABD, in qua BAD, sint duae semipi. rabolae aptatis hasibus AC, adeb ut BC, CD,
snt ipsarum axes, εe quibus accedant duo trilinea, q lae constituant trilineum FA
Si secunda quareta Libi parabolici volvatur circa basim, eum
rectangulosibi circumscripto. Erit cybndrus adsolidum, mi quadruplus numeruspardoia octonario auctus , adnumerum ιιnario auctum, una cum duabus partibus νημsatis diu se fecundum numerum νmtate auctum.
tur circa basim BD, sic enim ipsam vocab mus, quamuis sit diametri parabolarum , & FO,axim appellabimus)cum MD, rectangulo sibi circumscripto. Assero, cylindrum M Tesse ad solidum F Α Β S T, ut quadruplus numerus parabolae
octonario auctus, ad numerum binario auctum, una cum duabus partibus unitatis diutis secundum numerum unitate auctum. Nempe in prima, ut I . ad 3. cum duobus dimidiis unitatis: nempe ad 4. In secunda, ut I 6. adq. cum intςrtia, ut O. ad F. cum L Et se in infinitum. Quoniam enim ex proposit. Is . lib. a. est cylindrus N X, ad solidum B A Ds, quod erit constans ex duobus conoidibus, ur numerus parabolae auctus binario, ad numerum parabolae. Ergo cylindrus M L
316쪽
lidum ot quadruplus numerus octonario auctus, adnumerum. Pariter, quoniam ex coroll. 6 proposit-ri .cit. lib.est cylindrus OA ad annulum FADST, ut nsmerus parabolae unitate aucius, ad unitatem. Ergo cylindrus M L eius duplus, erit ad dictum am
317쪽
asa Tractatur Secundus nutum , ut duplus numerus binario auctus, ad unit tem: nempe, ut quadruplas numerus quaternario auctus, ad binarium. Sed cum quam proportionem habet quadruplus numerus quaternario auctus , ad binarium, eandem habeat quaternarium,ad unicam partem binarij diuisi in tot partes quotus est num Tu S unitate auctus: nempe ad duas partes unitatis siediuisae. Erit & ut unum antecedens, ad unum consequens, sic ambo antecedentia,ad ambo conseque tia: nempe, ut quadrupIuS numerus quaternario auctus, ad binarium, sic quadruplus numeruS,octonario auctus, ad binarium, una cum duabus partibus unutatis diuisae secundum numerum unitate auctum . Quare colligendo ambo consequentia , erit cyli
drus M T, ad solidum F A B S T, ut quadruplus
numeruS octonario auctus, ad numerum binario a
ἀtum, via cum duabus partibus unitatis diuisae s gundum numerum unitate auctum . inod eradostendendum.
Ergo cylindrus erit ad excessim sui supra soli.
dum, ut dictum antecedens, ad triplum numerum quinario auctum, una cum reliquis partibus uniratis diuisae secundum numerum unitate auctum, duabus ablatis. Nempe in prima, ut i x. ad 8. In sec. Vt i 6. ad al. Vn tertia, ut a o. ad I . Et se in infinitum .
Et diuidendo, erit excessus cylindri supra solidum ad
318쪽
α 3-tis LR-n Parab. ω Θα as 3 solidum , ut triplus numerus quinario auctus, una cum illispartibus unitatis, ad numerum binario auctum, cum illis duabus partibus unitatis. Cum verb excessus cylindri supra solidum aequalis sit illi oriundo ex reuolutione F A B D, circa M Freandem rationem habet cylindrus ad illud solidum, quam ad excessum . & solidum ex B A F D, circa ibi F, . erit ad solidum circa BD, indicta ratione. Sed cum diuisa FD, in Q, a centro aequilibrij figurae F A B D, appense secundum F D, sit F Q, ad se, ut solidum figurae circa M F, ad solidum figurae circa B D, ex proposit. q. lib. 3. Sequitur,centrum
aequilibrij secundae quartae Lilij F A B D, appense
secundum axim FD, ita secare ipsum, ut FQ, sit ad , ut triplus numerus parabolae quinario auctus, una cum reliquis partibus unitatis diuise secundum numerum unitate auctum, ablatis duabus, ad num rum binario auctum, una cum reliquis duabus parti bus unitatis sic diuita.
Sed ex dictis, non solum deducemus explicata,sed etiam alia. Nam prim b , ex mensura cylindri ad ipsa solida, deducemus cubationes truncorum cylindrici recti exilientis su per F A B D . ac resecti plano diagonaliter transeunte per BD, per punctum in
Secundo, duplicata figura in B A F ST, & ipsa
319쪽
a 14 Trinatus Secunias. reuoluta tam circa U T, quam circa ipsi parallelatis utcunque distantem, ut generentur annuli strictus, Selatus. Horum annularum siue in U T, siue in illi parallela habebimus centra grauitatis. iTertio,mente intellecta duplicata figura ad panes M B, & facta retiolutione, vel circa F D, vel circa saepe explicatam parallelam. Nihilominus annulorum genitorum habebimus centra grauitatis . Sed cum haec facile possint intelligi ex saepe sepius de cantatis,sufficiat nobis ipsa indicasse.
Si secvno quarta Lilii parabones moluatur circa axsm,cum rectangulos,icircumscripto . Erit cylindrus ad bidum, to Zuplus numerus parabolae octonario auctus, ad suadruplum numerum Initate auctum , inui cum mnica parte unitatis divise in tot partes, quotus ea duplus a merus mnitate auctus .
SEd secunda quarta Lilii B A pD, v6Iuarur circa
axim F D. Dico cylindrum M T, esse ad solidum B AFST, indicta ratione. Nempe in prima parabola, vi l 6, ad s. i. In secunda, ur aq. ad s. t. In tertia, ut 3z. ad i Et sic in infinitum. Cylindrus NT, est ad annulum H AD SY, ex
coroll. a. proposit. a l. lib. 2. Vt numeru S unitate auctus, ad numerum. Ergo cylindrus M T, duplus cy Iindri N erit addicium annulum, ut duplus nu
320쪽
merus binario auctus, ad numesum: nempe, Vt oia plus numerus octonario auctus, ad quadruplum numerum . Ex schol. 3. proposit. r . eiusdem libri, est cylindrus OX, ad solidum F ADS, ut duplus numerus unitate auctus, ad unitatem. Ergo cylindrus M T, quadruplus cylindri OX, erit ad dictum solidum, ut Octu plus .numerus quaternario auctus, ad unitatem. Cum verb sit, . Vt octupluβ numerus quaternario auctus, ad unitatem, sic quaternarium, ad unicam pgrtem unitatis diuise secundum duplum numerum unitate auctum ; erit & ut unum antecedentium, ad unum consequentilina, sic omnia ant chentia, ad omnia consequentia. Quare erit, ut