De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

321쪽

2 3 6 Tractura Secunduri. Octu plus numerus quaternario auctus . ad unitateΚἰ

sic octu plus numeruS octonario auctus, ad unitatem, una cum unica parte unitatis diuisae secundum d plum numerum unitate auctum. Quare etiam cylinis 'dius M T, erit ad solidum F ADS, ut octuplus numerus octonario auctus,ad Vnitatem, cum unica parte unitatis diuisae secundum duplum numerum unutate auctum. Et colligendo ambo consequentia, erit cylindrus M T, ad selidum B AFST, ut oetuplus numerus octonario auctus, ad quadruplum num Ium unitate auctum, una cum saepe dicta parte uni-Latis. Quod erat ostendendum.

SCHOLIUM L

Cylindrus ergo ad excessum sui supra solidum ,

erit ut octu plus numerus octonario auctus, ad quadruplum numerum senario auctum,una cum reliquis partibus unitatis. Nempe in prima, Vt I 6. ad io. In sec. ut 26. ad I . In tertia, ut 31. ad x8.LEt sic in infinitum. Ast praedictus excessus aequatur solido, quod oriretur ex reuolutione F A B D, circa M B. Ergo cylindrus erit ad praefatum solidum in antedictis rationibu Sis Solidum etiam ex FAB D, circa MB, erit ad solidum ex eadem circa FD, Vt qua diuplus nul rus senario auctus, una cum illis partibus unitatis, ad quY

322쪽

T seariis Liliorum Pa trab.-Θα. as quadrusum numerum Vestate auctum , una cum di cta parte Unitatis. Porrb ex proposit. . lib. 3. de Infinit. parabol. existente k, centro aequilibrij figurae B A F D, appen. secundum BD, est Bh, ad Κ D, ut solidum ex figura circa M B, ad solidum exsigura circa F D. Ergo& ΒΚ, erit ad KD, ut quadruplus numerus senario auctus, una cum illis partibus unitatis, ad quadruplum numerum unitate auctum, una cum illa vobca parte unitatis. Κ k SCHO-

323쪽

Tractatus Secundus.

SCHOLIUM II.

Cylindrus rectus super B AF D, existens secetur plano diagonaliter transeunte per FD, &per punctum in latere erecto a puncto B. Trunci cylindrici

crunt cubati.

Figura FIR BD, sit duplicata in FABST, In schemate posito pagina a 3I. & intelligatur rotari circa MF. Annuli stricti geniti dabitur in

M F, centruua grauitatis. Quod si rotaretur circa a iam MF , parallelam , Ut generaretur annulusi itus: non per hoc ignoraretur annuli lati centrum grauitatis.' FABD, si duplicata ad partes MF, & rotatio duplicatae figurae fiat vel circa BD, vel circa aliam parallelam, &c. Vtrorumque annulorum, nempe &stricti,& lati habebimus centra grauitatis.

PROPOSITIO XI.

Si q bbet dupbcata semiparaboti circa basim et oluatur circa latus recta uti circumscripti basi parasielum. Erit annulus ex duphcata semiparabola, ad duplum conicum

AEX trilineo, mi quadruplus numerus parabola,ad nitatem, una cum Nnica parte 'nitatis dia Vesecundum duplum vumerum et nitate auaum.

324쪽

quartis Liliorum Parab. O c cc aDVplicata semiparabola ABD , circa basina

A C, cum duplicato trilineo F A D, rotetur circa FD. Dico annulum' BADST, csse ad solidum F A DS, ut dici um fuit. Nempe in prima, vi q. ad x. l. in sec. ut 8. ad I. In tertia, ut Ia. ad x. Et sic discurrendo. Annulus B ADST, ess ad cylindrum N T, cxcoroll. a. proposit. H. lib. 2. Vt numerus parabolae, ad numerum unitate auctum: seu ut quadruplus numerus parabolae, ad quadruplum numerum quaternario auctum. Item ex schol. 3. proposit. Iq. eiu M.

libri, est cylindrus A X, ad conicum Α DS; seu cylindrus O X, ad solidum FΑ DS, ut duplus num

325쪽

26 o Tractatur Secundusi

rus unitate auctus, ad unitatem. Ergo cylindruςNT, duplus cylindri OX, erit ad solidum FADs,

ut quadruplus numerus binario auctus, ad unitatem Porrb, ut quadruplus numerui, binario auctus, ad unitatem, sic est binarium, ad duas partes, unitatis diuise secundum quadruplum numerum binario auctum rquibus partibus aequatur unica pars unitatis diuisae secundum duplum numerum unitate auctum . Ergo dc ut unum antecedentium, ad .num consequentium, sic ambo antecedentia, ad a, albo consequentia. Erit ergo, ut quadruplus numerus binario auctuS,ad unitatem s nempe ex dictis, ut cylindrus NT, ad solidum FADS, sic quadruplus numerus auctuSquaternario , ad viaitatem , cum unica parte unis ratis sectae secundum duplum numerum unitate auctum. Sed erat etiam annulus B ADST, ad cylindrum N T, ut quadruplus numerus , ad quadruplum numerum quaternario auctum. Ergo exaequali, erit BADST, ad solidum F ADS, ut quadruplus numerus, ad unitatem, una cum Vnica Pa te unitatis diuisae secundum duplum numerum unitate auctum

PROPOSITIO XII

Centrum grauitatis folidi ex secvuda quarta Libi parabo lici circa axis reuoluta. centium grauitatis assignare in axi is Se

326쪽

Κcunda quarta Lilij parabolici B A F D, roteis

tur circa FD. Oportet solidi BAFST, in F D, centrum grauitatis assignare. Secetur E D, in Ρ, visiit EP, ad PD, ut numerus ternario auctus, adnumerum unitate auctum . Ergo ex schol. proposito 29. misceli. layperb. pag. IO L. erit P, centrum grauitatis annuli. Item secetur EP, in Qivisit E ad QP, ut quadruplus numerus, ad unitatem, Una cum unica parte unitatis sectae secundum duplum numerum unitate auctum: nempe reciproce, ex proposit. antccedento ut annulus B A DS T, ad solidum FADS. Ergo erit inuentum Q, centrum grauitatis solidi B Α F S T o Hoc ergo secat E D, dimidiam F D, prius in P, ut sit E P, ad P D, ut numerus ternario auctus, ad numerum unitate auctum : d einde sic EP, in Q, ut sit E ad QP, ut quadruplus numerus, ad unitatem, cum unica parte unitatis sectae secundum duplum numerum unitate auctilaa.

Nescimus FD, secari a Q, secundum aliquam seriem ordinatam . In numeris vero poterit in quolibet tali solido assignari ratio F ad QD. Sed quomodo haec sit indaganda experiatur lector. Sicuti cum facile possit percipere ex centro solidi BAFST; ex Ε, centro cylindri MT; &ex ratione excessiis cylindri supra solidum,ad ipsum solidum, posse assignari in F D, centrum grauitatis dicti

327쪽

, si Trumbus Secundus. diisti excessus : & consequenter in M B , centrum' grauitatis solidi ex FABD,, reuoluta circa MB, quod omniquaque aequatur dicto excessui, a quo solum discrepat, quia est inverse possitum: videat ipse, quomodo hoc in numeris posIit indagari .

Cylindricus rectus super B AF D, existens, §us diagonaliter plano oranseunte per F D, M perpunctum in latere erecto a puncto B, est quoad suos truncos proportionaliter analogus cum solidis ex B AF D, reuoluta tam circa FD, quam circa M B, ex saepe dictis Ergo etiam truncorum dicti. cylindrici secundum FD, appen Ibrum erunt inda gata in F D, centra aequilibrj

PROPOSITIO XIIs

Si secunda quarta Libiparabolici rotetur circa basim. Erit duplicatum conoides ex duplicata semiparabola, ad annulum ex trilineo. ut numerus paraboia. ad binarium,mna cum duabus partibus et nitatis diuisa secundum nu- merum Vmitate auctu

SEcunda quarta Lilii parabolici FABD, rote

tur circa B D, ut fiat solidum FABST. Diaco solidum B ADS, quod erit duplicatum cono iades, esse ad solidum' F A D S T, in dicta ratione .

328쪽

Nempe In pri. ut r. ad a. I. nempe ad I. In sec. ut a ad a. . In tertia, ut 3. ad a. b Et sicinali s. Expro- . posit, I s. lib. a. est conuertendo,duplicatum conoides A B SD, ad cylindrum NX, Vt numerus parabolae, ad numerum binario auctum . Ex coroll. 6. Proposit. I I. eiula. lib. est cylindrus OT, ad solidum

329쪽

4 rasiatus Secundus. dum F A D S T, ut numerus unitate auctus,ad uni latenue nempe ut duplus numerus binario auctus,ad

binarium. Ergo cylindrus dimidium cylindri Orincmpe cylindrus NX, erit ad solidum FADST,

ut numeruS unitate auctus, ad binarium. Sed cum sit ut numerus unitate auctus, ad binarium, sic unitas ad duas partes unitatis diuisae secundum numerum unitate auctum. Ergo& ut unum antecedentium, ad unum consequentium, sic ambo antecedentia,ad nnabo consequentia. Ergo ut numerus unitate auctuS,ad binaliam, nempe ut cylindrus NX, ad sol, dum FADSΓ, sic numerus binario auctus,ad bunarium , na cum duabus partibus unitatis diuisae s cundum numerum Vnitate auctum. Erat autem supra duplicatum conoides BADS, ad cyIindrum NX, ut numerus, ad numerum binario auctum . Ergo ex aequali, erit BADS, ad FADST, ut numerus, ad binarium , una cum duabus partibus unitatis d iuisae secundumnumerom unitate auctum.

PROPOSITIO XIV.

Cciarum grauitatis selidi ex secunda quarta Lylij parabolici circa basim reuoluta , centrum grauitatis assignarem basi. Solidi FABST, sit assignandum centrum,&c. Secetur CD, in R, ut sit CR, ad RD, ut

330쪽

ariplus numerus unitate auctus, ad numerum Vniatate auctum . Ex schol. proposit. a. 9. Misceli. hy-Perb. pag. I q. erit R, centrum grauitatis solidi FADST. Diuidatur CR,. in Κ, ut sit CK. ad K R, ut binarium, una cum duabus partibus Unitatis diuisae secundum numerum unitate auctum, adnumerum .' nempe ex propositi anteced. conuertendo, reeiproce, ut solidum FADST, ad BADS. Ergo 'it inuentum K, centrum grauitatis solidi F A B S T. k, ergo eentrum dictum secat C D, dimidiam D, prius sectam in R , ut sit CR, ad

RD, ut triplus numerus unitate auctus, ad numerum unitate auctum: deinde sic CR, in k, ut sit CK, ad k R, ut binarium, cum duabus partibus unitatis disi ita secundum numerum unitate auctum, ad

numelum,

Sed nec etiam in praesenti selido scimus assignare aliquam seriem ordinatam proportionis Bk, ad kU. In qualibet tamen parabola ratio est numero ex pii inibilis: sed circa modum expressionis, lectorse i pstim exerceat. Sicuti poterit experiri in qua ratione numeri e e se cetur B D, a centro grauitatis excesssis cylia dri Mi , supra solidum P ABST. QIod solidum cum sit Ouiniq0aque aquale , licet contrario in Cilo litum , solido otio ex reuolutione B A FD, circa M F: pu- Ll te lit