De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

51쪽

Cum etiam ex dicta proposit, sit cylindrus E C. uplus se idi AEBF C, nempe ad BS; de

ratio cylindri ad solidum componatur ex rationerectanguli D F, ad trilineum B F C, nempe ex' isone DB, ad BI, x ex ratione dimidiae FB, ad interceptam inter B, & centrum aequilibri, trilinei dirutam etiam ratio: DB, ad BS de seris sumpta BU componatur ex ratione DB, ad BI, &BI , ad BS: Rationes DB, ad BI, & huius ad BS, erunt aeqttaales rationibus DB, ad ηI, &dimidiae FB, adimi terceptam inter B, α centrum aequilibrij trilinei Quare etiam rationes Ba ad B S, & dimidiae FB ad illam interceptam erunt aequales. Quare &vtan . tecedentium dupla nempe erit ut dupla BI, ad BS, sic FB, ad illam interceptam. Et diuidendo, erit ut excessus duplis 3I, supra BS, nempe excessus BI, supra I S, ad B S, sic intercepta inter F,& centium aequilibrij ad interceptam inter centrum aequilibrij ;& β. Quare conuertendo patebit propositum. η

Ex centris aequilibria repertis in duabus antecedentibus propositionibus, facile erit reperire centra grauitatis quorundam solidorum rotundorum , quae in sequenti proposit. explicabimus. '

52쪽

PROPOSITIO XVIII

, sto sup.rficies ungulae DBA, quae gatur duplicata cirea basim AD, ει intelli gamus ipsam N A B, rotari vel circa O N, vel ci ea aliam ab ON, distantem secundum quancumque distantiam, qaod intelligemus etiam in sequent, bus ita ut generentur annuli vel strita, vellas. Duco centra grauitatis 'horum annulorum vel secare N si .annulus sit strictus in vel aliam ipsi aequaleni circa quam fit reuolutio si annulus sit latus ut pars terminata ad O, sit ad reliquam, ut excessus diam tri supra dimidiam BD, ad dimidiam BD. Nam

ex schol.propositi Ia. superficies; NAB, est proportionaliter analoga cum illis annulis. Ergo ex propq-st. 3 3. uniuersalissima lib-.itasecabitur AD, a centro grauitatis figurae N AB, ac secatur ON,acen. tro grauitatis annuli stricti vel alius axisὲ centro gra-- uitatis annuli lati. Sed ex proposit. I 6. A D, sic secatur a centro grauitatis figurae N AB, ut pars temminata ad A, sit ad reliquam, ut excessus diametri

supra dimidiam D B, ad dimidiam D B. Qua

a superficiesvngulta sit duplicata in C D B P in ' di rotatio fiat circa D C, ut fiat annulus strictus, vel

E circa

53쪽

Ereaallim , t fiat annulus latus. In supra dictar tione seca1ntur DC, vel alius axis, a centro grauit tis annulorum. Quia hi, ex schol. proposit. ra. ci; sunt proportionaliter analogi cum figura C PQ. Centrum vero grauitatis figurae CD B PQ, secare BF, ut pars termurata ad B, sit ad reliquam , ut 'BD, dimidia, ad excessiim diametri supra dimidiam B o, est manifestissimum ex propos . t s. ut constideranti patet. . Trilineum CBF, intelligatur duplicatum in C B Q; - & intelliganius ipsum rotari vel circa DC, vel circa aliam illi parallelam , ut generentur annuli stricti, & lati. Cum hi sint proportionaliter analogicum trilineo' CBQ, ex schol. proposit. t r; faederatcbit ex proposit. anteced. centrum grauitaris annulorum secare vel DC, vel aliam, tram rei m nata ad D, sit ad reliquam, ut dimidia DB, ad exces.sum differentiae inter D B, &semidiametrum, uipra differentiam semidiametri, de dimidiae D B. Facile ex dictis agnoscetur , sic etiam secari DN, v. g a ccntr6grauitatis selidi geniti cx reuolutione B E AON, circa MNr ac eodem. modo ' secari aliam extra ON, si trilinea circa ipiam voluerentur. Nempe sc, ut pars terminata ad O, sit ad reliquam, ut dictus excessus ad dimidiam DB.

ormia antecedentii probata fuerunt insequendo

alias

54쪽

alias a nobis ostensa, is propriis d)monstrationiblis.

In sequenti propositione adducemus easdem demonstration is, quam acu E excogitauit Far,ut in propos. 8. Atta i en aliqualiter ipsam variabimus; quia ipse disclusit in sigura siuuum , quae est basis de-Ἀrminatae , neir pe semidiametri circuli ro at nos i quemvs v libet ungulae

55쪽

Tractatus primus i& utemur lindrico cuiustimque altitudinis, nonae qualis axi superficiei,ut ipse facit. Esto ergo.

PROPOSITIO XIT

cybndricus rectus existenssuper saperficie inguia , sectuspiano diagonaliter transeunte, basim , punctum in latere, e I ad μιm truncum sinistrum, mi paralislogram-mum eιrcumscriptum g ve sciet,adrnlineum,quo es excessus parallelogrammsuprasuperficism.

SVper qualibet superficie ungulae ABC, sit cylindricus recttis,quicunque cuius altitudo DB, qui sit sectus diagonaliter plano ADCr sit etiam parallelogrammum F B, cum superscie ungulae F E D . Dico totum cylindricum esse ad truncum sinistrum A B C D, ut parallelogrammum FB, ad trilineum ED B. Cylindricus secetur ubilibet plano ΚΙΗ, plano B A C, parallelon faciente in trunco sinistro sectiois. nem Lio; & HI, producatur usque ad P, fiat ET, aequalis F & ordinatim applicetur ΤM. Goniam DB, est ad Di, ut BC, seu HI, ad io, proptersmilitudinem trianguloru, D B C, Dior &AEC BD, ad DI, sic EF, ad F Q, sed ET: Ergo vi H l. ad I O, sic F E, ad ET . Qua re etiam seperficies Hi Κ, erit ad OIL, ut FED, ad TEM. sed ex coroll. i. proposit. s. est FED,

56쪽

cunque traiciatur. planum'. Ergo facile conclud tur, esse totum cylindricum ad suum truncum sinis

stium, riparallelograramum F ad trilineum EDB.

57쪽

COROLLARIUM

Ergo per conuersionem rationis, erit cylindricus ad trunc uin dexteriim, ut papallelogrammum ad superficiem. Et diuidendor, erit truncus dexter ad truncusii sinistrum, ut superficies ad trilineum. Cumisque ecmroll. proposit. Io. st parallelogrammum ad superficiem, ut arcuSquadrantis circuli, ad semidi, metrum. Erit etiam cylindricus ad truncum dexterum in eadem ratione. Et ad truncum sinistrum. vearcus quadrantis, ad disserentiam inter ipsum, & s midiametrui'. Et truncus dexter ad truncum sinu

strum, ut seinidiameter ad dictam disserentiam.

Porro lector pensitans modum , quo ostendimus supra, esse rectangulum ad trilineum , ut cylindricus ad truncum vi strum s & recogitans a nobis explic uta in lib. . facile ingenio assequetur, trilineum pra dictum, &dictum truncum sinistrum, esse magnit vines proportionaliter analogas, tam in quantitate , quam ingrauitater tam secundum totum quam ita eundum partes proportionales. Quare habebitur, in quo punisto secetur DR acentro quis' libris itilinei ED B, appensi secundum negetiam ignorabitur in quo puncto secetur altitudo trunci dicti sinistii ab eius centro grauitatis. Licet

58쪽

ex hoc haud sciatur a quo puncto superficiei Α Β C,

erigenda sit dicta altitudo. immo reflectendo supra modum , quo ostensum fuis, parallelogrammuni esse ad trilincum, ut cyli dricus ad truncum similium, facile etia i pe cipiet, etiam superficient esse quantitatem Proportionali- eam gamcum Munco dextero. Ethuim, uiust,

59쪽

erit etiam per conuersionem rationis, QI, ad QP ut superfietes kIΗ, ad L Hle. Et hoe bicunque. Ergo etiam nunc concludemus, ouod si dabitur in quo puncto secetur FE, a eentro aequilibrii superficiei EFD: non ignorabitur punctum , in

quo se cetur altitudo trunci dexteri, ab eias centro grauitεtis 3 a quocunque puncto superficiei, quae est vasis trunci sit erigenda dicta altitudo.

PROPOSITIO XX.

sentrum aequilibris Iuperficiet guia an se secundum

axim, ita diuidit axis, mi pari termanata ad merticem, sis aequalissemidis eirri tibi

IN schem proposit. anteced. ex axi BC, superficiei ungulae ABC, auferatur BN, sem id iam ter. Dico N, esse centrum aequilibrij superficiei appense secundum B C, seu grauitatis duplicatae superficiet aa partes s C. Super superficie intelligatur cylindricus rectus quilibet,sectus plano A DC, ytio propclit, anteced Ergo ex. proposit. viuersal-lissima Torriceis quam dduximus in pri. proposita lib. 3. truncus dexter est ad truncum sini strum inra tione reciproca partium v C, resecta: a centro aequi superficiei. Sed ex eqroll. proposit. anteced. traneus dexter, est ad truncum sinistrum, ve semidi Meter, ad eπcςssum arcus quadraptis supra ipsam;

60쪽

SCHOLIVM

rgo ex praesenti psepositi habeamusngura: F E D . appensae secur quilibrii ligura: FED, appensae secun tu