장음표시 사용
101쪽
scribit, pertienitur :uim ad aequationem inter ista tiam corpori a centro Viri tam et perpendiculum X centro in tangentem curuae demissi ina. Dissiculter autem e tali aequatione cognosci potest, utrum curua descripta sit algebraica an transcendens dissicilius vero staequationem inter coordinatas orthogonalis simplicissimam inuenire Methodo Vero nostra hactenus usitata haec quaestio facile expeditur. q. 38. Sit centrum viritimis et curua a corpore Figura a
proiecto descripta BM; Ionatur distantia nant et in tangentem Tex demissiam serpendiculum AT
G, sitque curuae natura aequatione intero et u ex
102쪽
f. o. Quoties ergo aequatio inter est Dgebraica simulque ita comparata, Vts- st uui denotet asecum circuli, cuius tangens algebraice potest exhiberi ties curua a corpore descripta erit algebraica eiusque aequatio inter coordinata orthogonales algebraica per inuenta formulas inuenitur. f. I. Si detur relatio inter radium osculi Οet partem eius di seu normalem aequatione quacunque, aequatio inter coordinata AP, P hac ratione pote rit inueniri, e qua statim appareat quibu cassibus curua fiat algebraica Sit nempe MN et Ο dataque sit aequatio quaecunque intero et u Ponatur AP X, Mm atque o pdX. Erit ergo elementum curuae, dXV IH py et do od posito x constante. Ex his igitur erit 'IP. et Y 1--pp et
pdae Hi ergo aequationibus coniunctis habebitur pudp pi dt-ppdi. f. et Aequati haec inuenta, quia uero dari ponitur, admittit Variabilium separationem, abit enim
I in ergo porro est v pdae idae Viω- r); ideoque
103쪽
ideoque EX qu perspicitur, ut curua AM 1iat algebraica duo requiri, primo scilicet ut C. logirithmis possit exhiberi, atque tum, ut it rata integrationem admittat.
f. a. Sit M multipliam ipsius M scura mi,
Ex quo perspicitur curuam ore algebraicam si haec br- mulla suerit integrabilis hoc autem euenit, quoties Vel uerit numerus impar affirmativus seu G, Vel ' a numera par assirmativus seu deno tante i numerum integrum amrmativum Casus autem quo in I dato u atque ditata seu t u coi stanti, ex quo cognoscitur curuam esse circulum. f. q. Data sit nunc aequati quaecunque inter arcum M et radium stuli Mo, e qua determinari debeat aequatio inter coordinatas A et M. Quod antequam quomodo inueniendum sit ostendam, obserua ri conuenit hanc curuas Xprimendi rationem per aequationem inter arcum et radium osculi maXime ad curuas cognoscendas esse accommodatam. Aequatio enim n- ter coordinata orthogonales, Vel inter radium et per pendiculum in tangeutem tam varia et diuersis formas a sumen
104쪽
sumendis aliis axibus aliisque abscissirum initiis induere potest, Vt, ad quamnam curuam pertineat, quamuis curuasit notissima, saepe difficulter perspici possit. Aequatio vero quae inter curvam et radium sicut exlhibetur pro diauersi tantum punctis, in quibus curuae initium ponitur, variari potest, quae tamen arietas facillime cognoscitur. Si igitur consuetum esset naturam curuarum per huiusmodi aequationes indicare, dissiculta commemorata quidem tolleretur, at Virum curua esset algebraica an transcendens non tam ficile appareret. Huic vero incommodo sequenti modo occurreretur. q. s. Sit arcu AM 3 et radius osculi rdataque sit aequatio quaecunque inter S et r. Onan
notet arcum circuli cuius tangens algebraice per quossit exhiberi atque deinde tam quam iii
tegrationem admittat ore curuam algebraicam.
108쪽
Tinvi Vi Gitata iam superiori seculo inter Geometras sunt
huiusmodi problemata, in quibus linea curua re quirebatur, quae ab infinitis positione datis curui arcus aequale abscinderet. Communicauerunt etiam illo tempore L Cl. Geometrae elegantes solutiones pro casu, quo curuae positione datae inter se sunt similes, uti cum ab infinitis circulis, vel parabolis arcuS aequales abscindendi essent. Nemo autem , quantum constat Vlterius est progressiis, neque quisquam pro curuis dissimilibus problemati itissecit, etiamsi iam tum quaestio de infinitis ellipsibus proponeretur. Atque etiamnum, cum Insigni Geometrae per litteras significassem, me aequationem pro curua, quae ab infinitis ellipsibus dissimilibus arcus aequales abscinderet, inuenisse; ille mihi respondit huius problematis lutionem in sua non tapotestate, meque simul rogauit, Vt meam solutionem in non contemnendum analyseos augmentum communicarem. f. t. Huius autem quaestionis summa dissicultas in
hoc consistit, quod diuersarum et dissimilium ellipsium rectificationes a se mutuo non pendeant. Hanc enim Ob
109쪽
RECTIFICATIONEM ELLIPSIS REQUIR. 'π
ob causem curuae ab infinitis ellipsibus arcus aequales a scindentis aequvionem inuentu maXime dissicilem csse oportet, eo quod etiam concessii unius ellipsis rectificatione, reliqu tris tamen omnium rectificatio ab ista non pendeat. Deinde methodus, qua in huiusmodi problematis uti solent, ita est comparata, Vt tantum ad cur
ua similes accommodari possit pro curuis dissimilibus
autem nullam afferat tilitatem.
f. a. tuo autem mihi primum viam ad huiusmodi dissicilia problemata patefecit, est praecipue ni uersali mea series summandi methodus. Hac enim in uenta statim aequationem differentialem, in qua indeterminatae nullo pacto a se inuicem separari possunt, operectificationis ellipsium disti milium construXi atque paulo post maXime agitatae aequationis icca tianae O structionem et resollationem communicaui. f. . Postmodum autem, cum haec per series ope randi methodus nimis operosa et non sati genuina videretur in aliam magis naturalem methodum, et huiusmodi quaestionibus magis accommodatam inquisiui atque tandem e voto obtinui, ita Ni eius beneficio non solum priora problemata, quae serierum Ope resbhleram, sed etiam innumera alia, ad quae tractanda serie non sussiciunt, perficere potuerim Methodum etiam hanc
sus exposui in differtatione de infinitis curuis eiusdem
generi anno praecedente proposita; quia vero ne nimis essem prolixus, nulla adieci exempla, non satis apparet, quam late ea pateat, quamque amplium in re ana lytica aperiat campum. f. s.
110쪽
f. s. Quo igitur limius methodi vis c utilitas melius percipiatur, hac dissertatione eam ad infinitas et lapse accommodabo, atque non blum monstrabo, quomodo ab infinitis cilipsibus arcus aequales abscindi de beant, sed etiam innumerabilium tam primi quam secundi gradus aequationum differentialium resollationem ope rectificationis illipsium perficere docebo. f. 6. Qilo enim ad curuam, quae ab infinitis ellipsibu arcus aequales abscindat, attinet, eiu constructio eo ipso est facilis, quod ope recti scationis curuarumqtiae tacillime describi possunt, perfici queat. Atque
hanc plum constru stionem longe ante serendam esse censeo alii per quadraturas curuarum peractis constructio nibus. Non igitur tam illius curuae constructio requiri-ttur, quam eiu aequatio, quo quales aequatione tam 1 cile consstrui queant cognoscatur. Hanc ob rem analysis non parum augmenti accipiet, si illae aequati Onc pro serantur, quae ope rectificationis ellipsium constructio
Figura Considero igitur primum infinitas AEllipses AMDB, quae omnes alterum Xem, cuius semistis es CD, habeant eundem, Xes Vero transuerso AB diuersos. Si nunc vel ab his omnibus ellipsibus vel arcus aequales sint abscindendi, vel in data ratione inaequa les, vel curua sit inuenienda, cuius constructio ope harum ellipsum quomodocunque praescribitur ad talia problemata omnia soluenda opus est, ut aequatio habeatur inter arcum vi, abscissit AI et avem Assi, in qua hae tres quantitates insint tanquam variabit S. f. I.