Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae

91쪽

DE CONSTRUCTIONE AEQUATIONUM. I

esse togarithmicam, cuius subtangens constans est m*. 2. Pro hoc ergo casu construatur togarithmica pitur, a. D ad syna toton B, cuius subtangen si i. Prodilcatur quaecunque applicata AE , quae pro aXe habeatur, et otii nictorio illim longitudinisti altero ter- min. in logarithmica protrahatur, describatque alter te3 minus tr.ictoriam Demittantur ex punctis Me N perpendiculam et Q erit b. 2 F

logarithmica omnes casu aequationis Is H-ssdzzria et 'det possunt coniti ili, dummodo sit tangens MN seu filum ad subtangentem logarithmicae vi H- adn. f. a. Sequente praeterea modo aequatio δε--ss det a' et ' det potest construi Super axe construa

tu curua parabolandes, dicti A m et Quem et hac aequatione expressi Deinde filo long tudinis super agarithmica N, ut ante est praeceptum describathi tractoria M. Tum in paraboloide sumatur applicata Q L maz, eaque producatur, donee logarithmicam siccet in N. Ex N ducatur recta Μlongitudinis ad tractoriam, et Xm demittatur e

pendiculum P. tubus fictis erit starim i g, Vel etiam posita tangente dimidii anguli MN zz q,

92쪽

πD DE CONSTRUCTIONE AEQUATIONUM.

f. 14. Cum methodus, qua in reductione aequistionis constructae ad descriptionem tractoriae sum usus, maximam habeat utilitatem in resolutione problematum generalium , quae ad metthodum tangentium inuersam referuntur, hic nonnulla huiusmodi problemata adiungam, eorumque resoluendorum modum ostendam. Cuius rei ratio quo ficilius perciliatur, ante Xponendum est, quam variis modis natura cuiusque curuae possit dete

minari, et quinam sint illi modi, ex quibus facillime diiudicari possit, an curua proposita sit algebraica, an

transcendenS.

f. s. su iam maXime receptum est, Vt natura cuiusque curuae Xprimatur aequatione inter duas coo dinatas orthogonales abscissam scilicet et applicatam, quippe ex qua quaelibet curuae puncta facillime possitativueniri. Ex huiusmodi aequatione sponte sequitur, Vtrum curua sit algebraica an sectis; nam si aequatio est algebraica curua quoque talis censetur, sin Vero aequatio clerit transcendenS, curua quoque transcendens habetur. Eadem vero conclusio deduci potest ex aequatione inter alias rectas lineaS, quae curuae naturam X- primat, si modo positio earum rectarum non ab ipsis curua pendeat, sed vel ad datum punctum vel datam lineam reseratur. f. 16. At si positio earum linearum, inter quas aequatio curuae naturam exprimit, sine curuae ipsius cognitione definiri non potest, ex ea aequatione etiam singula curuae puncta immediate inueniri non possunt.

Ex huiusmodi quoque aequatione, etsi est algebraica,

tamen

93쪽

tamen non sequitur curuam esse algebraicam sed sieperrhixime crit traulcendens. Qilamobrem tum ad Onstructionem tum ad cognitionem curuae huiusmodi aequatio in aliam cst transmutanda, quae sit inter lineas, quarum possiti a curua non Pendeat. q. optimum igitur ad cognoscendam et con struendam curuam remedium erit, aequationem, si fuerit inter lineas, quarum positio ab ipsi curua pendeat, transmutare in aequationem consuetam inter abscissismet applicatam. In hoc autem negotio summa cura est adhibenda, ne in prolixissimos calculos et resoluti dii scissimas aequationes incidamus. Facillima nim videtur illa transmutatio in aequationem inter abscissam et applicatam, sed hoc modo plerumque in inextricabiles tricas delabimur Id quod unico exemplo ostendere su ficiet. f. 8. Xprimatur curvae A natura aequatione Figura a. inter normalem in curvam MN et portionem axis AN quarum MN vocetur u et Ab t; sitque aequatio curuae naturam Xprimen haec simple admodum ι at. Si nunc ponatur abscismi AP . et applicata V I/, atque curua elementum quod est Vidae'--d yyy asserit MNII tim g et ANTIt .v Qitare si hi valores in aequatione substituantur, habebitur quidem haec aequatio F'ds' a XdX'--3- a dae , inter X ety, ex qua neque constructi curvae apparet, neque etiam an sit algebraica an secus.

94쪽

f. 19. In hoc quidem casu aeqiuatio immata φ ty ma X Xy-- ίX quia differemialia duas tantum habent dimensione, in aequationem niti dimensitoni Smutari pote it, prodibit enim posito Xy - - Ο loco Lyet extracta risice quadrata haec aequatio Dotata adae

cile natura curvae cognoscitur. Ex quo intelligitur, si magis compositam aequationem intero et u affunississe-mu, tum nequidem ad aequationem disterentialemonius dimensionis perueniri potuisse. Interim tamen a Cel. Bernoullio in Act Lips ostensum est, quotieS detur aequa' tio algebraica intero et u totie quoque aequationem. inter X et I sore algebraicam s. o. Hanc ob rem alia via est procedendum, ex aequatione inter aequationem inter x et Feruere Velimus, atque hoc obseruaui commodissime λfici pota eadem metiaodo, qua ante constructionem aequationis s--ssda Zda ad motum raetorium re' duxi. Hac enim methodo statim apparebit, quibus casibus aequatio inter quaecunque proposita ad aequationem algebraicam inter x eis deducat, Vel si cur- fuerit transcendens quadraturam dabit simplicissimam, a qua curvae constructio pendet. f. I. Retineamus igitur eundem casum, sitque aequatio inter te iri N quaecunque ma

95쪽

D CONSTRUCTIONE EO NTIONUM. s

Qti.imobrem si aequatio intero et i suerit algebraica, aequatio inter x et 3 quoque erit algebraica, X eaque constructio curua quaesitae facile fluit. Atque a qua quadratura pendet aequatio intero et u ab eadem quadratura pendebit aequatio inter X et , et conse quenter quoque constructio ipsius curuae. f. s. In casu speciali quem ante considerabamus erat V at, ideoque et atque V di di V te' i' l. His igitur substitutis proue nieto u' i' atque Haec autem dat u a X za', qui ipsius u valor in illa aequatione subs itutus dat hanc inter X et I aequationem algebraicam a X-- ais hoc est yy a X ', quae est aequatio pro parabola abscistis in axe ex socosumtis. a g. l.

96쪽

' DE CONSTRUCTIONE EO ATIO VM.

Figura . . l. Si curvae Am tangens M ad axem AVSque producatur, atque X A ad Xem perpendicularis A erigatur, detur aequatio intero et V, qua curuae natura Xprimitur; porteatque inuenire aequationem inter abscissam AP et applicatam PM, seu con struere curuam, quae omnes rectas per puncta' et ductas tangat Positis Tml, AVITu, et Ρ X, ΡΜ a erit AT a P x t et A VIII u 3 'P- dataque ponitur relatio intera et u quae sit quaecunque. f. s. Sit nunc O pd erit III et u --pae. Haec vero posterior aequatio differentiata possem pdae loco P dat u - adpetae II P . Hi valore Vero in priore aequatione loco X et 3 substituti

a mn ista di et 'u' uis tam . Vnde terum patet quoties aequatio inter et u suerit algebraica, toties curvam A quoque ore algebraicam, propter a quationem inter X et I algebraicam ..f. 25. Manente aequatione inter AT et Λ V, quacunque, si loco re starum super axe A verticibus infinitae parabola TVM describantur per puncta tranSeunteS, Inuenienda proponitur curua M, quae ab his parabolis omnibus tangatur. ositis AP ae et Pri I et X pciae, erit e natura parabolae t: u' t X y Vnde habetur sty uy- τ'. Quia porro parabola T V M tangere debet curvam A , communem habebunt tangentem in puncto Matque ideoquoquesu

97쪽

DE CONSTRUCTIONE MEO ATIONUM

subtangentem communem. Est ero subtangen parabolae iam II 2 PT et x, quae aequali esse debebit subtangenti curvae quaesitae AH, Vnde oritur 'rapt-l- 2pX. f. et . Harum duarum aequationum si prior per posteriorem diuidatur, prodit i, quo Valore in altera aequatione substituto prodit a ta I - t. Differentietur ni inc Vtraque aequatio; crit o IIIpdae Ita Gre .st et da ppo Tyriis Tyri di E quibus aequationibus ae liminato prodit '-- pdi , seu

py- ap. ΗΠ ergo erit X mi Arriis etym ludi EX HO perspicitur curvamin toties esto algebraicam, quoties aequatio inter Leta talis fuerit. q. 28. Duo haec posteriora problemata alio quidem modo facilius resolui possinat quaerendo punctum quo duae cur hiae proXimae concurrunt, in eo enim erit contactias curuae tlaesitae A M. Semper autem punctum concursitis M algebraice potest determinari, si tam ii uae TVM, quam aeqtiatio intero et u algebraicae sue rint. Ideo autem haec problemata hic adieci, quo appareat, quomodo ad aequationem algebraicam inter x etyper plures disserentiales aequatione perueniri queat. q. 9. Si infinitae rectae N intra angulum rectum A quomodocunque suerint dispositae, ita It earum positio Xprimatur aequatione quacunque inter AN et AR,u, uenienda proponatur curuat , quae omne.

98쪽

aequatione duae insunt Variabiles X et , quia u per

datur.

f. IO. 'equati postrema reducta in hanc rabit

d 'l' Tu quae Ter multiplicata sit integrabilis P erit autem integrale v re uti f. t 2CP, , quo cognito habebitur simulam a V i iij sdiae uis, uoties ergo P 72zzi integrationem admittit, toties curua B M erit algebraica Ceterum autem constructio pendet a quadratura j P IMI f. I. Consideremus huius problematis casum, quo G perpetuo eiusdem magnitudini Silanet; seu quo V ti H vuymis, vel a V u'-t' Erit ergos; mi

y a'x' quae semendis quadratis transit in hanc U RL

99쪽

sa -Xy-yyy Vayas , quae aest pro linea texti ir- 32. Dciantur autern praeter hanc citruum infimi tacaliae quaesti0ni aeque siti, ici clade, quae nuculentur, si ad integrale ipsiti 'uai quantita quaecunque constans addatur. a Xime autem aequatio lucr X ct erit o Tiposita, propterea quod X ac tu itionibus inde terminata t eliminari debet, quae ad c uatuor dimetisio nes ascendit Interim tamen constructio erit facilis.

f. a. Simili modo problima solui potest , si

loco rectirum puncta Me N iungentium , curvae qua cunque per haec tincta ducantur, quae a quaesiit ad angulos redi a securi debeant. Ad hoc ostendendunT Figura . data sit quaecunque aequatio inter AS et ARI Irt, ductaque si quuta cllypsicos pars SMI per puncta et , cuius igitur centrum erit in et semiaXes Oniugati S ac R. Infinitas vero has ellipses ad angulos rectos traiiciat curua M, quae trieritur. O' nantur AP . et M. y atque o pdae, erit ex natura ellipsis V it XX), seu J u f. q. Ad ellipsin in punctio M ducatur normalis 'T; erit haec per conditionem problemati simul tangen curua quaesiitae N. ita tenus autem T est tangens curvae B erit PT qc. At quatenus Test tangens curua BM erit PTII, Quocirca habebitur ista aequatio 3 cuius differentialis est

100쪽

so DE CONGRUCTIONE AMITATIONI M.

f. as. Si ecduabus aequationibus differentialibus X

aequationis constructione vel separatione ipsius pab metu, pendet constructio curua quaesitae. q. 6. Habeat exempli causa AR ad As rationem datam, seu stat omnes ellipses inter sic similes eritum ni atque generalis aequatio abibit in hanc

elicitur ista aequatio ae by 'b ' pio curuis parabolicis quod congruit cum iiS, quae de raiectoriis orthogonalibus iam pridem uni detecta. g. a . Quando in astronomia physica ex data vi centripeta curua determinatur, quam corpus proiectUIn descri-