장음표시 사용
61쪽
α GEOMETRIAE Praestat enim hoc loco ita totam summam considerure, quam unam ejus partem alteri parti adaequare.
M Eodem modo . si C E sit curva linea, or motum Parabolae escripta. ut superius sitit explicatum . &pro G A ponatur pro K L, c pro latere recto, pertinente ad Parabolae diam reum K L : aequatio explicans relationem, quae est inter xv, erit ' -υ -ca bed dum O. Ε qua auferendo x, habebitur Τ-υν- e d ---bcd--Ο 3 ἄ-ππ-χυ I. Hoc est, ordinando aequationem ope multiplicationis, prodibit
d J Φιήου Atque ita de aliis., Quinetiam , licet puncta lineae curvae ad pundia lianeae rectae sese eo, quo dixi, modo non haberent; sed, alio quolibet . quem sibi quis imaginari posset : poterit tamia nihilominus semper aequatio ejusmodi inveniri. Quemadmodum si C E est linea , habens ejusmodi
relationem ad tria puncta F, G, & A, ut lineae rectae, as. τ' quolibet ejus puncto, ut C. ad punctum F ductae, ex-t V ρ-- cedant lineam F Α, quantitate aliqua, quae datam habeat rationem ad quantitatem , qua G A excedit lineam,
quae ab eodem puncto C ducitur ad punctum G i sa-cio GAM, , AFzoc, sumendoque punctum C ad libitum
62쪽
bitum in m - va, suppono, quantitatem,
qua CF superat F A, esse ad illam, qua G A superat G C. sicut d ad ita ut si prior illa quantitas indererminata vocetur m F C sit e -- α , G C vero b
lum est, si auferam quadratum ex Ges a quadrato ex G C, relinquetur quadratum ex CΜ -κα-χυ--II. Non secus , si 1 quadrato ex FC auferam quadratum ex F Μ, relinquetur itidem quadratum ex C M in aliis terminis, videlicet mae; 2 cm-Σc Vnde cum hi termini praecedentibus sint aequales, ostendunt , seu Μ Α fore Aeproinde, substituendo hanc summam loco τ in quadrato ex C Μ, invenietur, illud exprimendum esse hisce termi-
Porro s pono, lineam rectam PC occurrere curvae C E ad angulos rectos in puncto C. faciendoque P Cms &PAM v, ut ante, P Μ erit υ ; habebiturque propter triangulum res' angulum PC M. ss 2 υγ-II pro quadrato ex CΜ. Vbi si rursus pro . substituamus summam ipsi aequalem, exurget
e κεν cddvv Io o. pro aequatione, quam quaerebamus. Postquam igitur invenimus talem aequationem, non
ea utemur ad cognoscendas quantitates , , Vel4, quae F 1 hic
63쪽
M GEOMETRIAE hie datae sunt, quia punctum C est datum, sed ad inveniendam quantitatem etin vel f , quae quaesitum punctum P determinant. In quem finem considerari debet: si pun- istum P tale est, quale desideratur, qudd circulus, cujus id ipsum est centrum , quique per punetium C transit. tangat ibidem curvam lineam C Ε, nec ipsam secet. Sed quod, si idem punctum P propius aut remotius sumatura puncto A. quam oportet, circulus hic non selum in punisho C, sed etiam necessario in alio quodam puncto curvam C E sit secturus. Deinde considerandum quoque est, quod , quando hic circulus lineam curvam C Ε secat, aequatio, perquam quantitas x vel , vel quaedam alia similis quaeritur, supponendo P A & P C eue cognitas, necessario duas contineat radices , quae sunt inaequales. Nam si . exempli gratia, circulus hic secet curvam C Ε, in punctis C & Ε, ac ducatur Ε parallela ipsi C M t nomina quantitatum indeterminatarum x 8cI aeque bene convenient
lineis Eq& Q A. atque ipsis C M & M A, existente P Ε aequali P C, propter circulum. Aded, ut quaerendo
quam cognitae supponuntur eandem habituri simus aequationem, quam si quaererentur
P A. Vnde liquido constat, ipsius ae , vel , Ves. alterius ejusmodi quantitatis, quam supposuerimus, va- Iotem, in hac aequatione fore duplicem, hoc est, aequationem duas admissuram radices , quae sunt inaequales:
quarum quidem una sutura est C M, S altera E . . si
64쪽
LT BER SECUNDUS. Assuerit quam quaerimus ; aut quarum una latura est Μ A. & altera Α, si iueri , quae quaeritur. Verum equidem est, quod, cum punctum Ε non ad eandem cu Vae partem reperitur cum puncto C , una tantum duarum harum radicum sit vera, α altera inversa seu minor quam nihili sed Fb haee puncta CR E sibi invicem sunt propiora , eo quoque disserentia inter radices hasce erit minor, quae denique omnino inter se aequales laturae sunt, si bina haec puncta in unum punctum cadant: hoc est, si circulus, qui per C transit, curvam C E ibidem tangat, nec omnino secet. Praeterea considerandum est, quod aequatio, jn qua duae sunt radices aequales, necessario eandem formam habeat . ac si in se ipsam multiplicetur quantitas, quam Velut incognitam stipponimus, multata quantitate cognita sibi aequali : & deinde haec ultima summa , si non tot dimensiones habet, quot praecedens, rursus per aliam summam multiplicetur, totidem , quot alteri desent, dimensiones habentem , sic ut separatim aequatio inter singulos unius atque singulos alterius terminos haberi possit.
Vt, exempli causa, dico, primam aequationem supra inventam, nimirum: dem formam habituram , quam illa, quae producitur, laciendo e aequalem Matque multiplicando I - e in se, unde exsu g--χυ--ee; ita ut laparatim singulos
se comparare possimus ac dicere: qudd,postquam primus terminus, qui est' , in utraque aequatione plane idem
65쪽
6 GEOMETRIAE est, secundus, qui in una est si aequalis secum do alterius qui est-χe y.Vnde quaerendo quantitatem Rquae quantitatem lineae P Α designat,invenietur eti Iope vel quia aequalem supposuimus ipsi γ, habe.bitur υ - ui Non secus inveniri quoque posset s per tertium terminum e e m t Esia quia quantitas v satis determinat punistum P, quod sesum
quaerebamus, necesse non erit ulteriusprogredi. Eadem ratione secunda aequatio superius inventarnempe,
eandem debet habere formam, quam summa. quae producitur multiplicando'-2e --ee per ΥΦ -go ἡ-hb B, quae est ita ut ex binis hisce aequationibus alias sex eliciam.quae ad inveniendas sex ouantitates fg, b. . v.&s inserviunt. Vnde facile est intelligere , qudd, cujuscunque generis linea curva proposita esse possit, tot semper hoc procedendi modo aequationes resultent. quot quantitates incognitas supponere coacti suerimus. Veram ut ordine aequationes hasce disjungamus . tandemque quantitatem v quae quidem ea sola est, qua indigemus, & cujus occasione caeterae quaeruntur inveniamus: ophrtet pri-mb per secundum terminum quaereres, primam quantitatum incognitarum ultimae summae , tiavenieturque fae Lb.
66쪽
L 1asPS acvNDvs. Deinde per ultimum quaerenda est ἡ, ultima quantitatum incognitarum ejusdem summae , fitque to
Poreb per tertium terminum auaerenda est , secunda quantitas,&-m-- θe-χed ab dri Denique per penultimum invenienda est B , penultima quantitas, & fit hy m Atque ita eodem ordine usque ad ultimam progrediendum esset, si plures ejusmodi quantitates in eadem summa haherentur: siquidem hoc eodem semper modo fieri potest. Praeinea per terminum, qui in hoc ipse ordine sequitur, atque inc quartus est, oportet investigareu, & fit .d .. ' .. ἡ ἡ ω .. '
67쪽
GEOMETOIAE Similiter quoque tertia aequatio, quae est
, eandem formam habet . quam sese supponendo 'qualemm: ita ut obibneatur rursus aequatio inter - 2 f. Vel - χα&.
lineam A P ex hae summa, ipsi v aequali. cujus quantitates omnes
sunt cognitae, atque a puncto sic invento P rerum lineam ducamus versiis C . secabit ipsa ibidem curvam C E ad angulos rectos. Quod iaciendum erat. Nec video quid impedire possit, quo minus Problema hoc eodem modo ad omnes lineas curvas, quae sub calculum aliquem Geometricum cadunt, extendatur. Et quidem quod ad ultimam summam attinet, quae pro libitu sumpta est ad implendum dimensionum numerum sterius summae, quando in illa quaedam dimensiones desunt, quemadmodum paulli ante sumpsimus γ' ' go in hy operae pretium est ut ad vertamus , ligna & - talia ibi supponi posse. qualia quis voluerit, nec propterea lineam etin, seu A P diversam inveniri, ut facile experienti constabit. Si enim d monstrandis Τheorematis omnibus, quorum h1c mentionem aliquam lacio, immorarer, conscribendus mihi esset liber multb major , quam quidem mihi esset anti
68쪽
Lra ER SECvNDVS. 49mus. Attamen obiter Vos monere volo, quod inventioliaee supponendi duas ejusdem se ae aequationes , ad comparandum separatim omnes terminos, unius cum omnibus terminis alterius, ut inde ex una sola nascan. tur plures aliae, cujus hic exempla vidistis, infinitis aliis Problematis inservire possit, neque una ex minimis, methodi, qua utor, existat. Non adjungo constructiones. secundum ouas contingentes , sive pexpendiculares quaesitae , poli calculum, quem jam explicavi, sunt ducendae: quandoquidem illae per iacile inveniri possunt; etiamsi aliqua saepe industria, ut breves atque smplices reddantur, opus sit. Vt, exempli causa, si CE est prima Concnoides Veterum , cujus G sit Polus, & A B regula, cujus ope ducta N
69쪽
ut Ε Α & C L sibi invicem sint isquales: Vesimusque
rectam linean ducere C F. quae secet hanc Conchoident in dato puncto C ad angulos re s : Quaerendo juxta methodum, a nobis expositam, in linea AB puniri . per quod dicta linea C F transire debet, incidemus in calculum . nullo praecedentium brcviorem : & nihilominuς construistio inde elicienda valde brevis est. Opomo ter enim duntaxat in linea recta C G sumere C D aequalem C B, quae perpendiculariter cadit in B A, R deinde ex puncto D ducere D F. parallelam G Α, ac aequalem LG: qua ratione habebitur punctum F, per quod quae '
sita linea CP cst ducenda. Caeterum ut sciatis . considerationem curvarum litinων-nearum, hic propositarum, non carere usu. &qubdit b diversas habeant proprietates. quae null1 ratione ce- mollisis dunt proprietatibus sectionum Conicarum , libet praeterea luc subjicere explicationem certarum quarundam
inalium, quas ad Catoptricae & Dioptricae Theoriam utilissimas esse videbitix Modus autem quo illas describo, talis est. o
Primum doctis rectis lineis F A & AR, sese inter
70쪽
secantibus in puncto A. ad quoslibet angulos. sumo ad arbitrium in una ex ipsis punctum F, hoc est , propilis aut remotius ab A puncto, prout Ovales hasce majores aut minores describere animus est ;.atque ex ptincto Fr ceu centro, describo circulum, transeuntem aliquantulum ultra A, ut per punctum s. Deinde ex hoc puncto s duco lineam rectam s, 6, secantem alteram inpundio6; ita ut A 6 minor sit quam As, juxta quamlibet rationem datam, nimirum eam, quae refractiones
mensurat, si in Dioptrica uti velimus. Qito facto. ad libitum quoque sumo punetium G in linea F A. ex eadem parte, qua punctum s est sumptum, laoc est, faciendo , ut lineae A F S G A eam inter se rationem habeant , quam volumus. Postea posita R A aequali G Ain linea A 6. describo alium circulum ex centro G , cujus radius aequalis sit lineae R6. priorem ab utraque parte lineae F G in puncto et secantem; quod quidem unum est ex illis per quae prima quaesitarum Ovalium transire
debet. Similiter, describo rursus circulum ex centro F. qui transeat aliquantulum ultra citrave punctum ς, ut
per punetiim 7 ; ductinueJinea recta 7 8. parallela ipsis, 6, ex centro G describo alium circulum intervallo lineae R 8, priorem qui per punctum 7 ta sit, secantem in puncto I, quod Gliud praeterea punis tum est ejusdem Ovalis. Atque ita invenire licet tot alia puncta, quot voluerimus . duoendo semper alias atque alias lineas ipsi 8 parallelas, nec non alios aliosque circuloS ex cen
Quod ad secundae Ovalis descriptionem attinet , ibi nulla quidem alia disserentia advertenda occurrit, quam quod loco A R su mere oporteat A S ipsi A G aequalem. ex altera parte puncti A. R quod radius circuli. ex centro G descripti, ad secandum eum, qui ex centro F per