장음표시 사용
191쪽
absque uti clemonstratione. sed QIum vir B illius mioris propositionis;
Vera qpidem igitur oportet esse, quoniam non est nonem scire ut quod diameter sit commensurabilis. Tox. s.
Cous β 6. His praemissis locus hic ita intelligendus erit: Cum Diam ter quadrati sit incommensurabilis lateri sui quadrati, seisiim erit dicere. uiametrum esse commerasurabilem predicto lateri, quod autem falsum est. 1llud non est; Sciri igitur non potest, quod Di meter sit commensurabilis. - f2O.
Ponit eniam Arithmeticus unitatem indivisibilem esse s
Hie dubium oriri potest, an haec thesis fit vera, cum in Aritii metieamum in dimidium, trientem, quadrantem &c. dividatur. Scd responderunquotiescunque unitas dividitur in aliquot Partes, tunc accipitur tanquam totum quoddam continuum in plures partes divisibile; sive tanquam aggregatum quoddam unitatum, quae unitates sunt partes illius. Unitas autem
indivisibilis est, cum nullis aliis numeris composita sitas M.
Per se autem, quaecunque & insimi in eo, quod quid est. ut triangulo linea, & lineae punctum; substantia namque ipsorum ex his est, & in oratione dicente, quid est, insunt. Tex. 9.
Aggreditur explicare quaenam sint ea, quae per se dicuntur: quotque modis dicatur aliquid per se. Quorum Primus est, ea scilicet, per se de aliquo sithiecto dici, quaecunque in definitione inius ponuntur, cuiusmodi fime linea, & punctam, quae per se praedicamur, illa de triangulo, istud delinea; in definitione enim trianguli ponitur linea recta; quia linea recta, dum terminat illam superficiem, quae dicitur triangulus, illi trianguli naturam impertisur; & ideo triangulus definitur sic: Triangulus est figura rethus lineis rectis terminatia. Similiter in desinitione lineae, non infinita , sed finitae, M terminatae ponitur punctum, quia duo Puncta, quae sunt extrema illius, fisciunt, ut ea si linea finita, de definitur se; Linea finita est, longitudo, cui e trema sunt puncta. Quamvis autem haec definitio apud Euc LiDEM e pressa non habeatur, tamen ex desinitionibus ipsius p sertim secunda, tertiati quarta elici potest. BLANC ANUL
192쪽
Loc A MATHEMATICA ARISTOTELIS. i sis ara
Et quibuscunque inexistentium ipsis, ipsa sunt in orati ne . quid est declarante, quemadmodum rectum inest lineae, Sccirculare: Et impar, S par numero, & primum, &compositum, &sequitaterum. & altera parte lon us. Et omnibus his insunt in oratione, quid est declarante, ibi quidem linea, hie
vero numerus. Tex. 9. Quae ad Mathematica in hoe loco oeeurrentia attinet. Deile eorum qualitates perspiciuntiar. Quid sint linea, circviare, numerus par, & impar.
horum notiones habent tyrones claras. Numerus primus autem est, quemibtii unitas metitur, V.C. I.a. 3. . T. I. I3. U. I9. &z. Composirus numerus. quem numerus quispiam metiri r , . s. 8. 9. o. a. &e. Numerus aequilaterus
s.e quadratus est numerus, in se multiplicatus 9.-28l. 7. 7 49. Et Num tus alter parte longior producitur a duobus numeris inaequalibus invicem multiplicatis, qualis est duodenarius , qui ex ductu trium in quatuor pr ducitur.
. Per se autem, Sc secundum quod ipsum, idem, ut per se lineae inest punctum, δc rectum; etenim secundum quod linea.& triangulo, secundum quod triangulum duo recti: etenim per se triangulum duobus reres aequale. Universale autem est mne, quando in quolibet, & primo monstratur, ut duos rectos habere, neque figurae est universale, quamvis est monstrare defigura, quod duos rectos habet, sta non de qualibet figura, neque utitur qualibet figura monstrans: Quadrangulum cnim Dura quidem est, non habet autem duobus rebis aequales. Equicrus vero habet quidem quodcunque duobus rectis aequales, sed non primo, sed triangulum prius. Quod igitur quodvis primum monstratur duos rectos habens, aut quodcunque aliud. huic primo inest universale, & demonstratio de hoc inbuersaliter est, de aliis vero quodammodo, non per se, neque de aequicrure est universaliter, sed in plus. Tex. II.
Figura nempe est universalior triangulo & triangulum universalius Equicrure. Quando ait, ut duos rectos habere, vult dicere, habere duos angulos rectos non actiI. sed potentia; quae assectio est trianguli, quia habet - Z a tres
193쪽
tres angulos aequales duobus rectis angulis: quae proprietas universassiter, tiprimo competit triangulo, non autem figurae, quia figura est universalior. Neque I sceli, quia Isoseeles est restrictius triangulo. BLANC ANUS.ρ με Si quis igitur monstraverit, quod rectae non coincidunt, videbitur utique hujus esse demonstratio, eo quod in omnibus est rectis; non est autem: siquidem non quoniam sic aequales. fit hoc, scd secundum quod quomodocunque aequat . TeX. I .
Proponit tres errores, qui circa demolistrationem cle universiali coi tingunt, quos omnes Geometricis exemplis demonstrat; affert aut primo pro tertio errore duo exempla, quorum primum in praeniistis verbis continetur, atque ex 28. primi Elem. desumitur, quam propterea primo loco exponendam censui. Res autem tota hax erit: si lineae parallelae a tertia serantur,
verum est, quod duo anguli interni snt duobus rectis simul sumtis aequales: sin vero tertia ista linea est perpendicularis, tunc angulus quilibet erit rectus. u LANC AN Os igitur haec verba ita exponit : Si quis igitur nionstraverit, quod parallelae nunquam coincidant, etiamsi in infinitum producantur, seu quod sunt aequidistantes, quando anguli praedicti interni sunt duo recti, videbitur utique hujus esse demonstratio de universali per se, de de prinso.subiecto, vel secundum quod ipsum, eo quod probatur universaliter delineis omnibus habentibus praedictos angulos rectos. Non autem de omni, secundum quod ipsum, si quidem non competit assectio haec, esse parallelas, lineis distentibus illos angulos rectos actu; sed primo & universaliter, &cundum quod ipsiam comi etit lineis habentibus illos angulos aequales duobus rectis, quomodocunque quales sint duobus rectis, sue ambo sint recti, sive
unus a tus, alter obtusus, sed tamen ambo simul aequentur duobus rectis, quales sunt lineae primae figurae. Ιti tertio igitur errore, universale existit quidem. & habet nomen, sed tamen praetermittetur, seu strictius sumetur, quam DPortetia ELANCANus Sed nodus in scin o est quaesitus, ut iii. multis aliis ' .
Etsi Wai gulum non esset aliud, quam Isosceles, secum kum quod Ilios celas videretur utique inesse. Ibidem.
Istud est lecundum exemplum tertii erroris. Porro cum tres sint spescies triangulorum, aequi laterum, I sceles, Scalenum, si accideret, ut ex illis tribus uni tantum species v. g. I sceles in mundo reperiretur; tun
que quispiam de Isi scele ostenderet affectionem quianpiam, putans se oste
194쪽
LOCA MATHEMATICA ARISTOTELIS. ita
disse passionem de proprio subiecto, & primo, salleretur, quia assectio illa
competeret isosceli, non ut huic speciei Isoscelis, sed quatenus est triangulum, cui primo, & per se d: secundum quod ipsum convenit. Ex his duobus exemplis manifestus est tertius error, qui erat ut in parte totum, quod sequentibus verbis exposuit: Uel contingit etiam, ut in parte totum, an quo monstratur: Iis enim quae sunt in parte, inerit quidem demonstratio. & erit de omni, sed tamen non erit hujus primi unive saliter demonstratio. Dico autem huius primi, secundum quod hujus demonstrationem, quando si primi universaliter. A Blancanus.
ri proportionale, quod alternatim, secundum quod numeri, & secundum quod lineae, Sc secundum quod solida, &secundum quod tempora; quemadmodum & demonstrabatur
aliquando seorsum, contingens utique de omnibus unica demonstratione monstrari; sed quia non sunt nominatum quiddam omnia haec unum, numeri, longitudines, tempora solida, &specie disserunt a se invicem seorsum accipiebantur. Nunc autem universaliter monstratur, neque enim secundum quod linem,
aut secundum quod numeri, inerat; sed secundum quod hoc, quod universale supponunt este.
Secunus error igitur accidit, quando universale existit quidem, sed tamen est innominatum. Alternatim valet, ut primum ad tertium, ita s Lundum ad quartum. Quando igitur ARII TOTELEs ait, monstramuψproportionale, id est, quasvis quatuor quantitates proportionales, tabere hanc proprietatem, ut sint etiam altomatim proportionales, de non monstramus unica demonstratione de omni quovis proportionali, sed separatim de magnitudinibus in i6. quinti, de numeris in II. septimi, de seorsum de temporibus in Astronomia, vel Physica; hoe modo non ostendimus universaliter deprimo subjecto, quia talis a ctio convenit singulis, non ut numeri, aut ma- Pirudines, aut tempora sunt, sed secundum quandam naturam illis omnibus communem, cui primo illla passio debetur; quae quidem natura communis nomine caret, de propterea est causa erroris. .
Propter hoc si quis monstraverit sinnitum Triangulum.
Demonstratione aut una, aut altera, quod duos rectos habet unumquodque aequilaterum seorsum, & scalenum, L aequicrus:
195쪽
LIBRI L CAPUT IX. Nondum novit Triangulum, quod duobus rectis, nis sophi- stico modo neque universaliter triangulum, neque si ullum est praeter praedict. I ttianguloen alterum. Non enim secundum quod Triangulum . neque omne triangulum . nisi secundum numerum, secundum speciem autem non omne; de si nullum cst, quod non novit Ibidem.
Hoc est exemplum primi erroris, quem supra Verbit illis, Quando vel nihil si accipere superius, praeter singulare, expresserat. Mens Antia a TOTELIs ea est, quod, squis de omnibus triangulorum speciebus, quamlibet duobus rediis consilere demonstraverit, iste nondum sciat, Omne trian gulum habere huiusmodi affectionem, nis modo semistico; quia non cogno: stit hane assectionem illis competere pmpter naturam illam communemTQ anguli, cui Primo dc Per se competit.
I 28. Nisi magnitudines numeri sint. Tex. 2α ,
Hoc est nisi magnitudines snt discre , ita ut cadant sub numerum, ut si linea quaepiam dividatur in partes decem, vel duodecim, tunc evadit quantitas discreta sive numerus; & tunc linea numerus est. Idem de sepe ficte ac solido intelligendum. BLANC ANUS.
Propter hoc Geometriae non licet monstrare, quod comoariorum una est scientia, sed neque quoa duo cubi cubus. ibidem.
Hie indicantur cubi Arithmetici, qui oriuntur, si numerus quartus per eius radicem multiplicetur. AnisTOTELEs his verbis ostendere vult, quod Geometra nume rum assectiones demonstrare non debeati
deque alii scientiae quod alterius, nisi quaecunque ita se habent inter se, ut sit alterum sub altero, ut Perspectiva ad Geometriam, & Harmonica ad Arithmeticam.
Perspectivam ad Geometriam refert, quia ea ut Geometria utitur demonstrationibus linearibus, quas applicat lineis visualibus; & Musca suba ternatur Arithmeticae, quia ab ipsi mutuat demonstrationes numerorum, quas applicat numeris sonoris.
196쪽
LOCA MATAEMATICA ARISTOTELIS. . I83 s. Ut autem sic monstrare, quemadmodum BRYso quadraturam , secundum enim commune nrunstrant tales rationes.
Tex. 23. De hac quadratura ioo. prolixius egimus
Unumquodque autem scimus, non secundum accidens, quando secundum illud cognoscamus, secundum quod inest extrincipiis illius, secundum quod illud; ut duobus restis aequam habere, cui inest per se, quod dictum est ex principiis hujus..
TEA. 23. Assumatur quaeris Demonstratio, quod anguli cuiuscunque Trianguli duolaus rectis sint ariuales, vel mediante Linea parallela per apicem Trianguli ducit , vel mediante angulo externo, demonstratio semper erit dicta ex primei .
Demonstratio autem non computatur in aliud genus; nisi ut dictum est geometricae demonstrationes in Perspeti vas, aut Mechanicas, & Arithmeticae in harmonicas.
Supra I 3o. exempla subaltemationis Perspectivae atque Mus eae attuliamus; quod autem Geometriae Μechanica sit subordinata, ficillime patet, de ostendit Ast cui MEDEs Prop. 34. primi aequip. cum demonstret, centrum gravitatis omnis tristagusi esse puti m illud, in quo reste lineae ab angulis trianguli ad Gaudia latera opposita ductae concurrunt.
Uelati Arithmetica quidem quid par, aut impar; aut qua
Geometrica vero, quid irrationale, aut rectangi, aut comcurrere. Tex 24. Per verbum Restangi seu frangi, intelligit lineam asquam rectam, non in cisinum tendere, sed imaliquo puncto tangi, seu declinari a rectitudine,isa ut constimat angulum. Verbo autem concurrere indicat, non esse Pam stelas, sed ad idem aliqμod punctum coire, fi protrahantur.
197쪽
LIBRI I. CAPUT IMAstroIogiae nomen hoc loco non denotat istam iudiciariam scientiam, sed Astronomiam, ait nempe, ipsem considerare quantitatem, figuram, motum & locum totius Mundi, ac partium ipsius integrantium, ut sunt coeli &Elementa.
Neque Geometra falsa supponit, quemadmodum quidam asseruere, dicentes, quod non oportet falso uti; Geometram vero mentiri dicentem pedalem, non pedalem, aut rectam descriptam, non rectam existentem: Geometra vero nihil concludit eo, quod haec est linea, sed quae per haec ostenduntur.
9 38. In Mathematicis vero non est similiter paralogismus, quoniam medium est semper, quod duplex, de hoc enim omni, dc hoc rursus de alio dicitur omni.
Non est in Mathematicis, sicut in aliis paralogismus, quia in omni d moustratione majus extremum dicitur de omni medio, &rursus medium dicitur de omni minori extremo, ac si diceret, mathematicae. demonstrationes sunt in primo modo, qui barbare a latinis recentioribus Barbara appellatur: Haec in autem pulcherrima mathematicarum commendatio, quippe p clarum est a laudato landari. In Mithematicis, inquit, non accidit simili paralogismus, id est, tam frequenter, quemadmodum in Syllogismis dialem- Cis, quia modus argumentandi mathematicarum est Persectissimus, quippe in primo modo primae figurae. BLANC ANUS. g 39- ,
Contingit autem quosdam non syllogistice dicere, &quod ex utrisque consequentia accipiunt, quemadmodum & c ENEUs facit, quod ignis in multiplici proportione: etenim ignis Celeriter ignitur, ut ait: & haec est proportio. Sic autem non est syllogismus, nisi celerrimam proportio sequatur multiplex: &ignem celerrima in motu proportio. Ibidem. I o. Convertuntur autem magis, quae sunt in Mathematicis. quoniam nullum accidens accipiunt, in quo quidem iis pna stant, quae disputationibu tria tur. Ibidem. .
198쪽
LOCA MATHEMATICA ARISTOTELIS. Us
Haec est altera Mathematicarum laus, unde earum quoque praestantia elucet, quia scilicet Μathematicae pro mediis utuntur definitionibus sistiem aut passionis, quae nullo modo sunt accidentalia conclusioni. BLANcANus.
I 4r. . Rursus quemadmodum monstrant Lunam, quod sphaerica sit per augmenta: si enim quod ita augetur, est sphaericum; augetur autem Luna; planum quod sphaerica. Tex. 3 o.
Ut sphaericae illuminationis non injucundum ficias experimentum, cape Sphaeram quampiam solidam manu, cum qua recede ad medium cubiculi , & pone lumen seorsum ad partem aliquam : deinde brachio extenis oppone Sphaeram lumini, quo situ nihil de illuminatione videbis, quamvis dimidium sere illius illuminetur. Postea converte te ipsum ibidem paulatim, ita ut aliquid illuminationis oculo tuo appareat; & videbis partem illam illuminationis falcatae, seu novae Lunae similem. Deinde adhuc magis te comverte, & cernas illuminationem dimidiatae Lunae similem e verte adhue teipsum, donec sit sphaera ita lumini opposita, ut inter ipsam & lumen oeulus tuus sit medius, apparebit tunc tota illuminatio, quae erit instar plenilunii Perge adhuc te ipsum convertere, oc videbis paulatim lumen oculo tuo decrescere non aliter ac in Luna senescente. Atque hoc est sphaerice illuminari, fierique sphaerica illuminationis augmenta. Cum ergo videamus Lutiam eo modo lumine augeri, quo Spliaera, tunc ipsam quoque sphaericam esse am
Ut Perspectiva ad Geometriam, & Mechanica ad Stere metriam, & Harmonica ad Arithmeticam, ut Apparentia ad Astrologicam. Ibid.
Cons. & 33. Quod autem ait Apparentia ad Astrologicam, intelligit per Apparentia vulgarem quandam nautarum & agricolarum Astron miam, quae quodammodo subalternatur, & pendet ex scientia Astrologiae; Indiget enim crenitione ortus, & motus astrorum, praesertim Lunae, Hy dum, Pleiadum & Canis.
Hic enim ipsum quidem quod sensitivorum est scire, ipsum vero propter quid Mathematicorum; Hi namque ha
bent causarum demonstrationes &c. Sensus est in subalternatis & dependentibus disciplinis, quas senstivas adpellat, quia de rebus sensibilibus sunt, ut in Perspe stiva de obiectis vis-Αa bilibus,
199쪽
186 ν LIBRI I. CAPUT 1 T Ibilibus, & in Musica de sonis cognoscitur Quod, id est effectus : Cuius
esse s causa, seu Propter quid scitur auxilio Mathematicarum, id est, traditur a scientiis subaltemantibus, v. c. alicuius effectus in Persipectiva causa inquiritur, & invenitur ope Geometriae, cui illa subjacet. BLANc AN Us.
Se habet autem & ad Per chivam, ut haec ad Geom triam, alia ad hanc, ut quod eri de Iride. Ipsum enim quod Naturalis est scire, ipsum vero propter quid Perspectivi. ibid.
Si eiu se habet, inquit, scientia Naturalis de Iride ad Perspectivam, ita Persi estiva ad Geometriam.
3 4s. Ut aequicruri, & Scaleno hoc, quod est duobus rectis aequales habere secundum commune aliquod inest. Tex. 37. 3 46. Et quemadmodum in aliis principium siniplex, hoc amrem non idem ubique, sed in pondere quidem mina, in cantu vero Diesis. J X. 38.
Diesis apud Musicos est pars Toni. Tonus autem est intervallum duarum vocum, quale cst inret primam vocem ut, & secundam Re, ut modo loquuntur. Istud intervallum dividunt Musici primum in semitonia, non tamen aequalia, sed unum maius altero. Minus iterum in duas partes aequale iubilividunt, quarum utramque veteres harmonici diesim dixerunt. Et haee Diesis est minima vox ab eis considerata; & quae prima milit sub sensum; &Propterea veluti simplex Principium & elementum, ex quo asa. navita imtervalla constent; ti iii quod resolvuntur. Diosis porro graece valat inter alia divisionem. Igitur intervallum istud minimum dictum est Diesis, quod si quaedam Divisio, seu segmentum Toni quemadmodum in pondere mina qui de ponderibus antiquis tractant, alterunt. Minam fuisse maiorem libra per semunciam, aequiponderabat enim centum drachmis : quae refragantur huic loco. Sed sorte dicendum ARisTOTELEM considerasse, Minam re-
eehi Talenti, respectu enim illius dici potest principium, cum sex millia
minanun in Attico talento continerentur. BLANC ANUM
3 47. Si enim quod duobus retas inest, non in quantum sequberis, sed in quantum triangulus. nostem. I cx. 39.
200쪽
LOCA MAΤHEMATICA ARISTOTELIS. H ' is Quando igitur cognoscimus, quod quatuor exteriores uni aequales, quoniam Isosceles adhuc delicit, propter quid Isosceles p q niam triangulus: & hoc quoniam figura reklinea &C. Ibid.
Exemplo Geometrico vult ostendere demonstrationem universitem 'particulari P: aestantiorem. Est autem exemplum de pulcherrima atuue iam bili proprietate, quae Omnibus figuris rectilineis convenit, quod nempe omnis figurae rectilineae anguli externi omnes simul sumti: sint aequales quatuor rectis angulis , si singula latera versus eandem partem pmducviit quae affectio demonstratur in scholio n. primi Elem. 's 49. Quare & si supra Lunam essemus, & videremus obiectam terram, non utique sciremus Causam Eclipsis. Tex. 3.
Loquitur de desectu Lunae, qui fit, quando terra inter lunam & solem posita, impedit, ne lumen solis feratur in lunam, sed efficit, ut umbra
ipsius terrae eam contegat. BL ANC AN UL
Quemadmodum si vitrum perforatum videremus, & lumen permeans, planum utique esset propter quid comburit
ibid. Disierit de ea combustione, quae fit per refractionem mediante Snlim
'' is enim duplicia sunt, ex quibus, & circa quod r
quae quidem agitur, ex quibus, communia sunt: quae autem circa quod, propria, ut numerus, magnitudo. Ibid.
Per principia ex quibus intelligit Dignitates, quia ex illis discurrimus. Per principia vero circa quod indicat Definitioncs, quibus ut apparet apud EUCLIDEM explicatur subiectum, circa quod scientia versatur.