Introductiones ad veram Physicam et veram Astronomiam: quibus accedunt ...

183쪽

Cadat Grave ex A ad C, super plano AC dico tempus deis m per AC aequale esse tempori descensus per LMm trum M. Nam angulus A inimicirculo rectrus est. per 3I Elementi tertio unde cum a punishoc ad AC erecta sit perpendicularis BC, perpendiculo AB occurrens in B; mrit per in ol. I. Probi. . tempus destensus per Ac in plano inclinato, aequale tempori casus per AB in perpendiculo. Dico etiam tempus per B eidem tempori per Malaale fore. Ducatur CD ad AB, &DB ad AC parali

, . per M. Elementi prini erit CD aequalis AB M

in anginum ACBinsemicirculo remini, erit angulas CBD sinus quare cum a puncto super CB, erem sit ad am pilos rinia BD cum perpendiculo coe siens in D; erit per Corol. I. R UN. . tenvius per B aequale temporiosi ressi, percu sto est Cinae rualis AB, unde tem Spers aequale erit tempori per AB. Idem aliter sic ostendi possit Tempus descenses per Mest ad tempus per ΕΒ, in subduplicata ratione AB ad EB, hoc est ob AH, BC, EB continue proportionales ut AB ad BC, vel BC ad EB se Theor. 6. tempus P κ est ad tempus per EB in eadem distione BC ad EB quam immiorum a per MLM adae uspex EB eandemobtine,

- rati mem, aequassa erunt Giod erat demonstrandum. . I. Si ducatur perpendiculum AB,&mper Diametro TAη AB, deseribarur Circulus; omnia plana a puncto B, vela Ag s siclo A ad circisti circumserentiam duein eodem tempore pereaerentur eodem tal. tempore percurrimo AB,

C. . a. Si in eodem pon supremo A plures circuli δη- - - A seminuotangam, timeam impla AB, AC,' 'M,AE circulos secantia; paries GE , HB,LC, aequali

184쪽

tempore percurrentur, si initium motus fiat a pincto su

premo.

duo Gravia deflendant super. duobus aut nuribus piaris, liter molinatis ae proponio libus; tempora rii reum semius impensa erunt in subduplicata ratione longitudinam

planorum.

Tas Percurrat Grave quodvis plana AB. BC, alterum autem Grave plana DE, EF, similiter ad Horizontem inclinata Sproportionalia , hoc est, ut sint anguli BAG, EDΗ, item BGA, ΕΗD aequales; AB ad BC ut DE ad EF Dico tempus quo percurruntur AB, BC ad tempus Guo percumantur DE, EF, subduplicatam habere rationemplanorum AB, BCod plana DE, EF. Ob triangula ABG, UEHoequiangula, est AB ad DE ut BG ad mised ex hypothesi ut AB ad mita est BC ad , quare ut BGad EII ita est BO ad EF; ita perciet. Elementi quinti est C ad M. Sed quia

AB, UE similiter inclinata sunt, eodem prorsus modo pedicurruntur ac si partes essent ejusdem plani sic etiam puma GC, ΗΚ eodem modo percurruntur ac si partes essent ejusdem plani adeoque tempus per Asterit ad tempus per min subduplicata ratione AB ad DE & tempus per GC est ad tempus per Hyri subduplicata ratiori GC ad m, vel in subduplicata ratione AB ad DE. Sed tempus per est ad tempus per , in subduplicata ratione GD ad ΗΕ, vel AB ad DE; adeoque se 19 Elementi quinti tempus peracpost de ensum ex G vel A, est ad tempus per EF post de scensum ex revel D, in subduplicata ratione AB adam, hoc est ut tempus per AB ad tempus per DE adeoque per ia. Elem. V. ytempus per AB, BC erit ad tempus per DE, EFut tempus per AB ad tempus per DE vel in subdupliein ratione AB M DE Verum ob AB ad DE ut BC ad M, erit AB ad DE ut AB, BC ad DR EF adeoque tempus per AB, C erit ad tempus per DE EF in subduplicata ratione AB, BC ad DE EF. Q. E. D. Idem militer ostendetur si plura essent utrobique plana inclinata &ir sortionalia, unde patet propositum.

Corale

185쪽

AD VERA PHYSICAM LEcr. XV.

Cor Si sint duae superficies curvae AB, DR, similes I LAs, militer positae, hae minime differunt ab infinitis numer pla.' nis, innitite parvis, proportionalibus,, ad se invicem smiliter inclinatis adeoque erit tempus descensu per sinperficiem AB ad tempus descensus per superficiem D in subduplicata ratione AB ad DE.

Tato satis AB in piano utcunque netinati, in dat, tem. Oh 'pore a Gravira quiete cadente percurso Gnυenire spatiam pereurium aequaia tempore. in alio uno contiguom is to Grave in fecundo hoc plano motum suum com

Per A ducatur horizontalis recta AE, producatur BG ad Ε, ac fiat BD aequalis rectis EB, E capiatur tertias portionalis erit BC patium quod in secundo plano a Gravi motum suum continuante aequali te in re percurritur, quo AB in primo plano Exponat enim Missi tempus per AB, unde per Corol. Theor. 6. exponet tempus peti . Est vero tempus per EB ad tempus per EC, in subduplicata ratione Es ad EC, hoc est ut EB ad ED; sed est EB spatium quod percurritur tempore ut EB adeoque E erit spatium quod percurritur tempore ut ED, ac proinde BC est spatium quod percu ritur tempore ut DB vel AB, post casti m ex E vel A. Quod erat inveniendum.

Dat, statis AB in plano inclinato . Gravi e quiete cadente an 'percurso in dato tempore, ite patio BC in alio plano conti Ag gain, in quo Grave motum suum continuat Invenire te uinquo percurritur spatium Eud datum BC.

Ducatur per A horizontalis recta AE cui occurrat BC producta in E inter EC inveniatur media proportionalism.Etsi exponat tempus quo percurritur AB, BD ponet tempus quaesitum quo percurritur BC. Est enim tempus per AB ad tempus per EB, ut AB ad EB; adeoque e rimet tempus quo Grave cadet per EB at est te us2ero ad tempus per E in subduplicataratione EB ad Eta sive

186쪽

sve ob EB, D, E continue proportionales, ut EB ad ED sed est EB ut tempus per EB undem erit ut tempus per BC. Ac proinde tempus per AB erit ad tempus BC ut AB d BD. Q. E. LTAs, . Cor. Hinc si Grao successive per plura plana inclinata', AB, BC, CD deferatur , assignari potest tem scin quo

per singula movetur producantur enim BC, CD ut cum norimitiali per Aducta conveniant in E, F inter EB, ECfiat EG media proportionalis item inter FC, FD fiat media proportionalis Η, si AB exponat tempus per AB, BG exponet tempus per BC, CBbexponet tempus per CD. Ti, VS OGis A filo tenuissimo circa centrum

ib. V. B mobili, appendatur talem machinam Pendivium appellumus. Quod si Pendulum circa B rotetur ut Grave arcum

C describat, idem motus huic Gravi accidet ac si insuperficie sphaerica AD, persecte dura ac levigata, motum fuisset corpus Grave. Etenim motum circa punAum Ribberrimum supponimus, ab aeris resistentia, quae in gravioribus pendulis exigua admodum est, abstrahimus quod si pendulum ad situm BC deseratur, & exinde demittarer, Grave descendendo describet arcum , inpun Aram habebit velocitatem quae acquiritur cadendo por EA, qua elocitate per tangentem ina exire conabitur; per Legem primam. Verum cum per filum AB detineatur in perindiria CAD, ascendet per arcum AD ad eandem altitudinem, scit ad D ex qua decidit, per Cor. 2. Theor. 38. ubi omni

amissa velocitate sua gravitate rursus incipiet descendere;&inpuncto A priorem acquiret velocitatem, cum quaascem des ad C atque sic ascendendo descendendo cimtinuas ubbrationes in peripheria Dperficiet. Quod si aer pendula tum motui nihil obstaret, ii nulla esset mctio circa cem trum rotationis B, in aeremum duraturae sorent pendulorum vibrationes at ob hasce causas aliquantulum, licet insens,

biliter singulis vibrationibus diminuitur penduli velocitas in puncto A, unde fit ut non ad idempraecise punctum redeat Grais penduli, sed arcus in quos excurrit continuo brevio res reddantur, donec tandem insensibiles evadanti

THEOR.

187쪽

E sdem pent uti Vibrationes exiguae utcunque inaequales ut, fere S ad sensum sunt aequidiuturnae. Sit pendulum AB, quod oscillando describit inaequalesar Tan. .cus CBD FBG dico aequalia fere in illis describendis insu.M. Q. mitempora, sive oscillationem in arcu CBD aequali fere tempore peragi quo perficitur oscillatio in arcu FBG, modo arcus CB, G, non sint nimis magni. Ducantur subtensae DB, B; quoniam arcus supponantur exigui, ii nec linigitudine nec declivitate multum a subtensis suis deflectunt ac proinde Grave paria fere insumet tempora, Me per arcus CB, G, sive per arcuum subtensas feratur; sed tempora descensuum per arcuum subtensas aequalia sunt per Mor 3'. Quare tempora per arcus BC, FB emne sere aequalia igitur morum temporum dupla, scit quibus oscillando describimtur inaequales arcus CBD, FBG, erunt quoque fere aequalia. Quare ejusdem penduli vibrationes et in arcus inaequales excurrentes, sint saltem ad sensum aequadiutumae. Q. E. D. Huic Theoremati sumagatur experientia pendula enim duo aequalis longitudinis ad motum incitata, quorum unum in musto majores arcus ocurrat quam alterum , tempora oscillationum fere aequalia habebunt, adeo ut in centum ostillationibus vix erit discrepantia temporis unius oscilla

uotis.

THEOR. XLII.

Duratioue osciliationum duorum pendaDrum insmiles reus exearrentium , sunt in subduselicata ratione uitudinum

SinduopendulaAB, CD, in arcubus similibus EG, 'IAM . o nil - , fit tempus oscillationis penduli AB ad tempus με oscillationis penduli D, in subduplicata ratione lis tud, ni AB ad lonuitu em CD. Nam quoniam arcus E GD su similes&umiliterpositi, erit per cor. Theor. do. tena

Pus descensus per EB ad tempus per GD, in iuba MMX a ratione

188쪽

ratione FB ad GD sed tempus descensus per EB est dimibdium oscillationis integrae in arcu EBF sicut tempus descensus per D est dimidium oscillationis integrae per arcum GDH; adeoque tempus oscillationis penduli per arcum EBFerit ad tempus oscillationis penduli per arcum G Η, in subduplicata ratione EB ad GD: hoc est, ob arcus EB, GD simi, les, in subduplicata ratione semidiametri AB ad semidiam,trum CD vel in subduplicata ratione longitudinis penduli AB ad longitudinem penduli CD. Q. E. D.

r. Longitudines pendulorum sunt in duplicata ratione temporum quibus oscillationes perficiuntur. Cum durationes Vibrationum sint reciproce ut numerus vibrationum eodem tempore pera starum, facile ex dato numero Vibrationum quae ab uno pendulo AB notae longitud, nis, in dato tempore perficiuntur, dabitur numerus vibrationum, quae ab alio quovis pendulo CD notae longitudinis eodem tempore perficientur capiendo numerum qui si adnumerum vibrationum penduli AB, in subduplicata ratione AB ad CD, sive ut AB ad mediam proportionalem inter AB, CD, vel ut radix quadrata numeri quo exprimitur longitudo penduli Ain, ad radicem quadratam numeri quo expimitur longitudo penduli CD. Et vicissim ex dato vibrationum numero quae eodem tempore a duobus pendulis AB, CD perficiuntur, data longitudine unius sciI AB, dabitur longitudo alterius CD nempe faciendo ut quadratum num ri vibrationum penduli CD ad quadratum numeri vibrationum penduli AU, ita longitudo AB ad longitudinem quaesitam CD.

Velocitas peηduli in puncto in m est ut subtensa arcus quem descendendo describit.

TA 8. Sit Pendulum AB , quod motu suo describat circulum BDCG dico velocitatem acquisitam cadendo ex D in B, esse ad velocitatem in B acquisitam cadendo ex C in B, ut chodida arcus BD ad chordam arcus BC. Per puncta D, ducam tur horizontales recta DE, CF;in erit velocitas gravis aciquisita