장음표시 사용
191쪽
quisita descendendo, B, ad locitatem gravis acquil, tam in descensu per B in subduplicata ratione EB ad
hoc est, ob EB, DB, B continue proportionale , ut DB ad . Eadem ratione, velocitas ac uita a mobili cadendo est ad velocitatem acquisitam in casu per FB, ut GBad CB. Quare ex aequo, Velocitamcquisita in descensu gravis per EB, erit ad velocitatem acquuitam in descensuim , ut DB ad CB; sed velocitas acquisita in descensu per adicum DB, eadem est cum Velocitate acquisita in perpendicinio per EB; velocitas in descensu per arcum acquisita, caem est cum velocitate in perpendiculari descensu per macquisita mare erit Velocitas acquisita in descensu per aricum DB ad velocitatem acquisitam in descensu per arcum , ut subtensa DB ad subtensam CB. E. D. Corol. 1. Sit GB perpendiculum cujusvis longitudinis, Tha. g. velocitas acquisita in descensu Gravis ex G ad B exponatur Ag lier GB; super quo tanquam diametro, describatur semicircinus DB, ex quovis diametri puncto E erigatur nor malium, peripheriae occurrens in D, ducaturque chordaGD: erit haec ut ve)ocitas a Gravi acquisita cadendo ex altitud, nam ob BG, GD, GE continue proportionales, erit
ratio BG ad GD subduplicata rationis BG ad GE, adeoquem erit ad GD ut velocitas acquisita cadendo ex altitudine , ad velocitatem pero cadendo acquisitam. Similiter velocitas acquisita cadendo per Θ, est ad velocitatem acquisitam ex casu per GF, ut GB ad GC adeoque velocitates acquisitae a Gravibus, cadendo per altitudine. . , sunt ut chordae GD, C.
Cor. a. Si capiantur arcus Ba , Ba,ssis, &c tales, ut eo TA Lrum subtensae sint ut 14 2, 3, c. respective; atque Vis γε, γου
dam agens pendulum sursum impellat per arcum B I, alia, ro arcum Ba, alia per arcumis; velocitates penduli puncto B hisce viribus moti erunt ut 1, 2, 3 respecti
Ope hujus Theorematis, Variae in quavis rati me data Veilocitates mobili tribuentur aliaeque a percus ne alterius
192쪽
corporis acquisitae, inter seis cum aliis initio datis com parari possunt. TAn 8. Fiat Triangulum ligneum ABC,in quo juxta angulum A, Ατ' capiantur duo puncta D, Ε, quorum distantia lati sit, ut pendula duo DF, EG ex illis libere dependentia se mutuo tangant, centris D, E, intervallo DF vel EG describam tur circulorum arcus FK, GH, in quibus capiantur portiones Fi, Gi; Fa, G2 F3, 32F4,G4,&c tales ut subtensae sint ut I, 2, 3, 4, c. Mective; si Grave F adiumctum attollatur in arcu KF, G vero ad punctum' in adicu GΗ, atque simul demittanturi per Theor. 41. adiumebat infima statui pervenient, velocitates quibus sese per cutient erunt ut uerus quod si post ictum mobile G in anc GH ascendat ad ue,4 mobile F in arcu F ascendat ad 3, erues velocitates mobilium F G ut respective versus contrarias partes. Ad hunc modum iacile erit experientiae subjicere regulas motus, tam in corporibus duris quam elasticis, quas in lectionibus XIII Ar demonstra
Cum ejusdem penduli vibrationes miama snt fere sequbdiutumae, licet arcus in quibus excurrat pendulum sint rudi quales; hinc egregium pendulorum usum, ad horologiorum automatina motu regendos, monstra Christianui me ui. . . quamvis enim Galilaeus hujus scientiae auctor, pendula prius adhibuit in observationibus Astronomicis Mamicis, quae accuratam temporis mensiiram requirunt Hugenius ta men primus horolom pendulis infruxit, ω perientia comprobavit, horologia ejusmodi, priora illa moriun libratores zontales iuerint, longe superare. Ex eo te fore in inium communem recepta sunt horologia pendulis instructa, quorum aliqua tam ambre elaborata sunt, ut temporis memsuram exhibeant motu Solis multo justiorem, qui tempus 'parens seu relativum solimmodo monstrat, non autem -- rumin absolutum unde fit ut automata pendulis instructa,
statis temporibus horam indicant ab apparenti diversis, aliquando tempus solaris horologii quin cui vel ecim minutis primis superantem, aliquando totidem minutis ab
193쪽
eo deficientem nec nisi quater in quolibet anno sol&horoelogium automaton idem temporis punctum monstrant. Quamvis ejusdem penduli Vibrationes, licet excurrat pendulum in arcus inaequales. sint feres ad sensit sequidibutumae Cum tamen non sint omnimodo Geometrice tales, sed maj es minoribus sint aliquantulum diuturniores,&vibrationes pauxilla temporis quantitate a se invicem differant. ex multis minimis differentiolis, tandem magna si iis conflatur disserentia , idque ita esse rei es atque exper, mentis evincitur: si enim , ut aliquando in frigida fit te pestate, lentore aliquo assiciantur rotae, ut pendulum minore vi i-llant, incitatius quam par est festinant oscillati,nes; si rumia lubricitate polleant rotae, tendulum in m jorem amum excurrere cogant, lentius procedit tempus ab horologio indicatum. Imo ex nuperis experimentis in AEctis Phuosophιcis Londineamus recensitis, constat automati pendulum in vacuo vibrationes perficiens, sublata aeris resseisitia in majores arcus excurriise,in singulas oscillationes in majore tempore complevisse. Quare utpendulorum Oscill tismes ad omnimodam aequalitatem redigantur,' reciproc novum penduli latiorum angustiorumque tempora perfecte aequaliae dant; excogitavit Hugenis methodum quo Grave pinduli per cycloidis arcum semper deferretur In s. ventibus autem demonstrabitur, tempora desconsuum per
hunque ejusdem cycloidis arcus ad eun m infimum
auod verticem cycloidis esse supponitur, ter se aequalia esae adeoque si Grave penduli semper in arcu cycloidis moriatur, erunt temp0ra oscillationum accurate inter se aequa-ha sive pendulum in majores excurrat arcus, sive in mino
194쪽
terea tempus casus per spatium quodvis AF ad tempus e fui per spatium Ap ut arcus AH ad areum AI S is qua in loco quovis Maeceleratar mobile erit ut FC, quae essorici centro distantia.
Distinguatur peripheria AB in particulas innumeras infinite exiguas LLLL,4 ducantur FH, PL, kicina perpendi, culares; jungatur HC, sitque ΗΚ perpendicularis in PL. moeniam triangula FHCKI sunt aequiangula, nam Praeter amgulos ad FKκ rectos, est angulus FHC aequalis angulo ΚΗΙ est enim angulus ΚΗC utriusque complementum ad rectum
ut Velocitas mobilis in puncto F qua scit percurritur lineola FP, CH vel B est ut velocitas quae ultimo cadendo aciquiritur, ubi mobile ad C pervenerit, adeoque erit ut Veloecitas qua describitur arcus ΗL. Erit igitur Velocitas obiblis descendentis per lineolam FPAEd velocitatem mobilis quod Per arcum ΗLimetur, ut ipsa lineola FP ad arcum M;
quare cum velocitates sint spatiis percursis proportionaleS di ni tempora in quibus statia percurruntur , aequalia. smiliter demonstrari potest aliam quamvis peripheriae particintam LL cum velocitate CB describi, eodem tempore quo per' curritur corre ondens lineola PP in perpendiculo, cum Volocitate correspondente PL; ac proinde componendo eodem tempore descendit mobile per onmes lineola PP, hoc est per
totam AC, quo percurruntur omne arcus LL, Vel tota peripherii B, cum velocitate uniformi ut B. Q. E. U. Praeterea est tempus quo descendit mobile ab A ad F, quale tempori quo percurritur arcus AH &tempus quoddiscendit mobile ab A ad ρ, sequale est tempori quo describi tu arcus Ai sed est tempus quo percurritur arcus AH, ad tempus quo hercurritur arcus A l. cum uti aque eadem Velocitate describitur, ut arcus AH ad arcum At quare erit tempus descensus ex Ain F ad tempus descensus A in Aut arcus AH ad arcum Aliac proinde dividendo tempus per F erit ui ΗΘ arcus. O. E. D. Fiant arcus sequae les, unde tempus descensus per FP aequale erit tempori per
195쪽
ini Ch ad L, ac proinde , ex aeq-- erit in hi ut CF ad C Latin ut incrementum velocitat,aequitium dum mobilepercurrit FP d est ut incrementum vel blatis mobilis dum in aequali tempore percurrit lineolam 'c, irin vero quibus acceleratur mobile in locis μω sunt lacrementa Vesocitatum temporibus aequalibus orta, erimi igitur vires mobilis acceleratrices in locis; fui reci ea L, M. hoc est vis qua urgetur niubile in F est ad vim qua digetur in f, ut L ad hi sed ostensim est ad M ita esse CF ad C f, quare erit vis qua urg r mobile in F ad ym qua in furgetur, ut distantia CF ad distantiam G. Sunti tur Vires ac matrices in quibu&islocis ut ipsorumicem tro distantiae. Q E. D. CV. Hinc e convis si s mobile descendendo ab A ad Gui, matur a vi quae sit ut ipsius a centro distantia; vis illa initio motus exponatur per rectam DE, posito arcu AE in finite exiguo velocitates ejusdem mobilis in locis quibusvises exprimentur perinus FH,sib,&temporaperam AmAb &incrementa velocitatum, vel, si arcus aequaliter crinstant,vir acceleratricesper incrementa sinuum opobentur:
M-bileis recta AC meatur vers.spanaamC, viribu qua fi tristantiis Δρι-ED Croportiori , ex quacunque auri rudine deisistatur, adpunctam Ceodemiemper tempore eo Nerieir, estque tempus illud ad tempus quo possi obiu , cc rere eandem iam, cum uniformi ve eitate quasi ess aeuuim cadendo aequisita . ut se ver*Beria circuit ad
Demittantur duo mobilia expunctis A&Μ simul, ii 'ri ageatur utrumque mobile viribus quaeram distantiis a puncto . . mponionales dico utrimique mobile ad iunctum C eo dem ae Meperventurum Centro C, intervallis CA, C describantur circuli quadrantes AB, ΜN; exponatur vi qua 'Irtur mobile in , vesquod idem est, plius Vericitas in immotus initio, per Inum arcus infinite parvi AE; com
196쪽
stat ex Cor praecedentis, ipsius v. citatem, pincassim ad C, per remm exponi. Sed ex Hypotheu, visa in taeteratur mobile in A, est ad vim qua acceleratur mobile in
miles quare si exponat velocitatem -γilis initio casus ex A, P exponet velocitatem mcibilis initio casus ex Μ AC simoi de per idem Cor. CNev metvelocitarem mobilis in C post casum per C. Est praeterea tempus casus ex Aad , aequale tempori quo describi potest peripheria AB, cum uniformivelocitate ut CB;- tempus casus in Mad C, aequale est tempori, quo deseribitur m iptaria ΜΝ vel binaeut CN. Sed te usquo destia itur ripheria Moloecitate CB, aequale est tempori duo destifi,vir peripheria ΜΝ velocitate CN, ob AB: CB: , spatia usi per cursavelocitati sproportionalia. Quare erit tempus casus ei ad C aequale tempori quo rarpus descendit ex Mad C.
Q. E. D. Tempus quo mobile percurrit rectam AC, cum Veloc, late CB est ad tempus quo arcum ABpercurrit cum eadem Volocitate, ut recta AC ad arcum AB, vel ut illius dupla ad hujus duplam, hoc est ut diamein circuli ad stini ripite riam; sed tempusper arcum AB inaequale tempori descensus ad C; unde erit tempus quoiscibile fertur per rectam AC cum velocitate ut B ad tempus cassis ad C, uidiameter circuli ad se peripherim Q. E. D. TA, 8. Desiη. Sisuper ree Bb insistens circulas, quem clam Ag tum generatorem dicimus, puncto sui quod punerum lineam repellabimus rectam BG tangens, super eadem re cta volvi intelligatur, periplinia sua continu ad rectam V
plicatione commensurans aequalem rectam BA, donec puo
chum lineans in sublime latum, adeo e curvam BG suomptu describens, circuitu iacto, eancem rectam BA rrum inis contingat Curvam motu puncti destripta, linea Corioia appellatur. Et figura BGDAB figura cycloidi dicitur; lecta GA bisecans basim perpendiculariter,
197쪽
emmius generator circa axem His constituat , a princto quovis Cytandis Cordinetur ad axem recta CR munierimeri circiniconveniensiD; erit recta insequa lis areta circulari GD, arcus vero in idis GC aequalis erit in lae chordae GD;4 stissimcisis BCG aequalis erit duplae tametro AG recta vero eloidem in C tangens ea mesa erit inordae m. Haec ara ut o aliis qui de o tande scripserunt, demonstrara simi.
Ε . Cum recta cycloidem in puncio quovis tangens' o parallata si chordae CG, in circulo Generatore circa axem e struto, dume patet mobile in descoeasu suo, eadem vi acceserari in puncto , ac si in recta Gadescenderet est vero HS qua acceseratur . GC ad vim Gravitatis, ut C
ri 6 Quare vis qua acceleratur minite in puncto re, est ad vim Gravitatis, ut G ad CR. adem ratione vis Gravitatis est ad vim qua ac teratur mobile in alio quovis loco x ad CL) quare ex aequo Vis qua acceleratur mobile vi est ad vim qua aeceleratur in Κ, ut SC ad m, vel ut dupla C ad duplam C, hoc est ut curva Cycloidis HC ad curvam KC. Vires , gitur quibus descendendo super cycloide acceleratur mobble , sunt ut longitudies curvae percurrendae. Ponamus jam rerum ae sequiaem l gitudini curvae AC, atque sup-imnatur mobile aliquod iisdem viribus urgeri in recta πὶ visi, quibus mobile urgetur descondendo per curvam AC; at vires quibus urgetur mobiles, in punctis quibusvis
198쪽
cloidis ΗΛ Κ, sint ut longitudines BC, KC, Verbo, M.
hoc est vires in locis quibusvis sunt ut distantiae locorum a n e ac proinde per Theor. praecedens ten morad scensuum ex quacunque astitudine ae alia erunt chioniani itaque in correspon tibus cycloidis obrectae a ciunctis,
quales sunt vires acceleratrices, velocitatiun incrementa adiqualia quoque erunt , v. g. posito Arem a b accelerationes
in puntas Η χ sequales erunt, sicut etiam in punctis Κ&ε, modo sic ma , similiter in caeteris omni,as ulrseusque lineae punctis quae sibi mutuo respondent, incremen, ta velocitatum aequalia erunt adeoque si mobilia ex corre- sp dentibus nais incipiant descendere, summae incremm torum, seu velocitates in aequalibus spatiis describendis a quisitae aequales erunt,ac proinde tempora quibus aequalia haec spatia aequalibus velocitatibus descripta sunt, aequalia quinque erunt. Est igitur tempus descensus ab a ad c in re ae, aequale tempori descensus ab A ad C super cycloide, tempus deaeensus abra ad in rectat in c. aequale tempori
descensus ab H ad C super cycloide , similiter tempus per KC aequale est tempori per si initium casus fit expunctis , Κ, sic de caeteris Sed tenmus casus ab aadis aequile est tempori casus abi ad e, Ves ad . quare tempus descensus super cycloide ab A ad G aequale γrit tempori descensus ab H ad , vel a Mal C. Tempora icitur descensiis, quibus mobile a quocunque puncto in cycloide demissum ad punctum imum pervenit, limi inter se aequalia. Q. E.
Porro ten us casus ab a ad est ad tempus quo percur ritur ae vel am, cum Velocitate istini acquisita, ut se miperi oeria circuli ad diametrum at tempus quo pereur ritu 2EC cum eadem velocitate, sequvie est tempori,
quo mobile sua Gravitate cadens, des endit per EC axem cycloidis in deserit tempus descensus per ac vel AC ad tempus quo grave descendit per cycloidis mem, ut stis perisvieris circuli in ejus diametrum. Cor. Tempus quo Grave deseendit in cyclaide per arcum
199쪽
M ascendit per CD, hoc est tempus motus in cycloide
Am est ad tempus casus Perper cularis Der axem eloidis, ut integra circuli perimeri ad ejus diametrum. Hinc si Grave penduli vibrationes in cycloide perficiat, sive in magnos excurrat arcus sive in minimos, aequalibus semper temporibus singulae oscillatione peragentur. Huge- uias autem , in tractatu de Horoinis inrisistorio parte te tia, modum ostendit, quo fiet ut Grave in cycloide , vel alia quacun iue curva, oscilletur invenienda scit est curva, cujus evolutione curva data describitur , duae laminae in eandem curvaturam inflectenda sunt, intra quas per fila dete inarae longitudirus, suspensum Grave non circulum sed aliam curvam destribit. Sint duae laminae ACB AED, Α . 8.m figuras similes aequales incurvatae, is puncto A sus 'pendatur perulae filum , quod dum pendulum oscillatur, circumplicatur laminis ACB Am quas perpetuo tangit per fili ad laminas applicationem continuo impeditur motus penduli in circulo, orave per curvam MFD defertur cur
H ACB vel Modicitur Euoiatis,4 curva BPFD ex evolat, medescribidicitur. Quod si curvae ACB vel AEB sint duae si micycloides , quarum axes vel diametri circulorum Genoerantium sint aequales FG vel AG dimidiae scit longitudini penduli, curva BPm per quam Grave desernix evadit C dcis integra, cujus axis est FG dimidia penduli longitudo, ut in Hureis aliisque demonstratur. Cum portio cycloidis prope verticem F describitur mintu fili cujus longitudo est AE atque circulus centro A in tervallo AF, eodem fili motu deisibitur circulus ille pet transiens fere coincidet cum cycloidis portione Prope ver Mem F, estque ipsi sequi reus eodem igitur tempore
Grave desertur ad F per arcum exiguum circuli ac per a cum cycloidis, cui circulus est aequicuros. Hinc rursus patet ratio, cur pendulo vibrationes exiguas Tan. 8.in circulo perficiqnte, tempora ostillationum sunt aequalia ite is
200쪽
tempore descendit Grave per arcus circuli CA - ω, - ex arcus cycloidis ipsis propemodiam coincidentes descemeret sed aequalibus temporitas per arcus quescunque cycloidis descendet Grais; quare etiam aequalibus temporibus cadet Grave per arcus exiguos circulares CA, GA ac πω inde oscillationes integrae per arcus AD, GAF aequalibus temoribus peragentur. Est itaque tempus quo pendulum oscillatuinem minimam in circulo perficit, aequale tempori quo perficitur oscillatioe arcum cycloidis cujus axis est dimidia penduli rit 'tino. At tempus, quo perficitur oscillatio in cycioide , est ad tempus calus perpendicularis per axem cycloidis, hoc est per dimidiana penduli longitudinem , ut periph a circuli ad diamctrum. Atque hinc sequitur tempus cujusvis osci, lationis minimae , este ad te casus per penduli onmmdinem , in constanti ratione, quae est ea quam habet circinii peripheria ad ipsius diametrum ductim in radicem quadratam numeri binarii. Si in diversis orbis Terrae regionibus, Hesri pendulum temporibus huequalibus oscillationes suas perfecerit, in pora descensuum per penduli longitudinem in diversis his reflcionibus inaequalia quoque erunt;&ubi lentius proceduntinstillaticilies, ibi quoque lentius destendet Grave per indiculo, Cin dato tempore minus cadendo describet spatium. Experimento vero certum est , in Re mnibus proepe AEquatoreis sitis ejusdem penduli oscillationes diutu niores esse quam in aliis locis, quorum major est latitudo; adeoque Gravia in illis Regionibus minus in dato tem meonsciunt spatium cadendo: minori vi accelerant moriam
iuum quam in nostris Regionibus langius ab AEquatore di
stis adeoque experimentis probatur minorem esse Gravi tatis actionem in iis locis, quorum minor est latitudo, quam in locis polo propioribus.
Hoc Gravitatis decrementum ex vi centrifuga oritur: cum enim ex Terrae circa axem suum rotatione, quodlibet codipus a centro circuli quem describit recedere conatur, quo