장음표시 사용
203쪽
tentriini, uuae itaque est semper ut sanus cistauatiae loci a solo aequatore maximi est , sub polo vero nulla; adeo iacit vis, Gravitatis in uae re nummi, in polo
Priusquam hanc materiam missem lacrius , habet solutio. remexhibere celeberrimi Wiblematis a Gaiumprimuinqua, sti, deinde a Bh Bernouuio Geometris propositi, ineunte M. Dom. 1696. Et a Geometri celeberrimis , Neu tono, tu sae. Bernosuio, Hospitatio aliisque soluti Fro-ιώ- autem sic propositum fuit. Duis in plano verticali duobus punctis A es B, assigna e mo Tha. ν.
Lineam hanc esse Curvam Cycloidis per puncta AB transeuntem, cujus basis est in horisontes perinducta, invene--t praediai Geominae, ad quod demonstrandum sequens
MAhi, si sinea celerrimi descensus estississeendet Grave, ex quolibet ejuspuncto d ad aliudquodvis te spunctam n heasum ex A, per ipsam curvam et, quam Fer aliam quamcunque viam. Nam si dicatur citius descendere Grais per u ergo Via AdDB, bre nori tempori percurretur, quam de pacproinde curva illa λι-B non erit curva celerrimi descemlus, contra hypothesin. Sitjam Aaeg curva, cujus axis AC, ordinatim appli Thn. . cata aL Fluxiose incrementum monaentaneum axis sit - I G db: Fluxio vero curis sit d ; sitque semper rectangulum sub data recta, quam Vocemus a &dhHILO, plicatae ad de velocitati qua percurritur de hoc est, quae acquiritur cadendo ex A in uroportionale haec curvacti linea celerrimi descensus Capiantur de eiduae cum in pretiones coeat uae & infinite parvae quae proinde a
204쪽
re sis minime disserunt dico minore tempore dehendere Grave per u curvam, post casum exin, quam perdam uuamliset viam Vn ery ducatur θ parallela ei Et supponat s eadem celeritate percurri qua eg; sitquem de item me, g in f perpendiculares.Etob aequiangula triangula ne, deo, item me Di est Mariis ut se ad M, adeoque erit,eta irent ob se ad es ut o m: ei ML dhκ se ei κ ei ἐν a
ge de ge de se de hoc est, ne est ad se ut velocitas qua percurritur, e . ad velocitatem qua percui Titur m . unde ue se ae- , qualibus temporibus percurruntur; quia ' equalis est ex erit tempus per aequale tempori Per e, adeoque tempus pers aequale erit tempori per Q. Sed ob angm hi ad frectum est e major quam ' adeoque tempus Per se majus erit tempore per j q, Vel per eg;- ob fmajorem quam in erit rempus per i majus tempore per an unde erit tempus per o, se majuS tempore Per Minore igitur tempore descendit Grave ex aeng, post lapsum ex A, per curValii eg quam per aliam quamlibet viam; ac proinde curva Ade e B erit via celerrimi aescensus. Ta, o Sitam cyclois per B transiens, cujus basis sit hortice, A Q. tialis recta per A ducta erit illa linea super qua descendens Grave, in minimo tempore perveniet ex A in B. Sito dimidium circuli Generatoris, cujus diameter GΜVocetur a. sitque de pars curvae cycloidis infinite parva, quae ab ejus tangente in is minime differt adeoque parallela erit re NM; unde triangula d he,NQΜ,GΜΝ, aequiangula erunt:.
quare est i ad ah, ut GΜ seu a ad GN; ac proinde hν amis . . A DEE . Sed per Cor. I. Theor. 43. est
est velocitas, quae acquiritur a Gravi cadendo ex altitu dine G velis, hoc est ut velocitas qua Percurritar lineo
205쪽
lad. Quare erit' 'velocitati qua percurritur innota dir
mrtionalis. Est igitur curva Cycloidis A de B linea celer rimi descensus. Q. E. D. . Si velocitas ponatur esse ut altitudo unde decidit Grais, Tanis. linea celerrimi descensus erit portio peripheriae circuli, cu si ' jus centrum est in horizontali per A ducta, nam ob aequiam gula triangula he, i L C est sh adde ut d L Ud C ac
proinde erit .shM Cisae κώL Qq ςαd L. Sed in hV pothesi d L est velocitati proportionalis quare si ic dicatura erit .velocitati proportionale. In hac igitur hypodita peripheriae portio A de B erit via celerrimi descensus. Si velocitas, in puncto quolibet, sit ut altitudinis ememla dignitas in &dicatur ALx, LI, erito x, hem ;&ἐεα Quare ex curvae natura, erit vidi . unde ae , a se. Quatio universaliter inprimit curvae naturam, in qua desi in Grave tempore brevissimo, si velocitas sit ut ab titudinis emensae dignitas quaelibet m.
s rasum in planis inclinatis, aut in superficie bus cumis, eorumque symptomata praecipua, quan pemutteret instituti nostri brevitas, in praecedentea mone explicavimus. Restat jam ut Projectorum Phaenoemen recenseamus: mimo invenienda est natura istius liburae, quam mobile in patiis siberis δε non resistentibus urg-e, Gravitatis describit. Et quidem si e sursum es deorsum Projiciatur Grave, in recta linea ' --
206쪽
movebitur ejusque motum es motum uniformiter reisue datum Vel acceleratum, prout sursum Vel deorsum projicbtur, ex distis in prioribus lectionibus constat. At D secum dum directionem horimntalem, vel aliam quamvis ad hor, zontem obliquam projiciatur , in linea quadam curva desci
Tan Projiciatur enim mobilem A secundum directionem M. - Per legem naturae primam, si nulla alia accedat vis, in eadem recta, eadem cum velocitate, semper progrederetur adeoque
aequalia spatia AB, BC temporibus aequalibus describeret Distinguamus itaque tempus in aequales particulas; post primam temporis particulam ubi mobile ad B pervenerit, vis aliqua impulsu unico in ipsum agere supponatur moetumque illi communicare, quo secundum directionem ad horisontem perpendicularem priore sublato motu perre ctam B deferretur, in eo tempore quo describeret rectam BC in compleatur parallelogranainum BED: constat ex Cor. a. Theor. 3O m0bile motu ex utroque con ' stoi per
diagonalem BD moveri, in hac recta postea semper pingere projectum, si nova nulla accederet vis ipsumexEγua semita detorquens; aequali tempore alium DPipsi inaequale conficeret Verum si in puncto vis eadem,le cunda vice simili agat impulsu, quo mobile per spatium
'quale FG dein sit in eo tempore deferatur motus motas ex utroque motu compositus, erit perrectam , quam in eodem tempore deseribet mobile quo absque novo impulsu progrederetur per spatium . Si vero post tertiam temporis particulam, eadem vis iterum agat, mobile in
G eoisum per spatium ipsi in aequale impelleret
ex prini e hoc novo compostus erit secundum 'amoe,
quam in quarta temporis particula describet mobile inlvero eadem urgente vi, mobile e semites in dire nemm detorquebitur, atque hac lege projectum motu suo poli uinum MDGm describet God si diminuantur in insim tum singula temporis particulae, quibus vim agere γε mus, & augeatur hi serum numerus, latera iam iis is, ritum mimientur, visumque numerus in inmutum au
207쪽
Nnir ac proinde in cuream Vertetur Polygoniam, hoc est, si vis deorium propellens talis sit, ut constantςrvi indesinem ter agat, qualis est Vis GraVitatis, mobile urgente hac vi in
Curva deferetur. iuia describit tineam Parabotici . Sit Grave vi quavis extrinseca, Balista , . e. Pulyere An i
retio, misimili qualibet Vi expuncto A projestam, cujus . . prefectionis directio sit horizontalis . Dico Gravis semi tam re curvam se parabolicam Nam si aer motui project minime obstaret, neque aedesset Gravitas projethium motu aequabili procederet, in eadem semper directione ies statque tempora quibus percurruntur spatii partes AB,A AD, AE, ut ipsa spatia AB, AC, AD, AE respective. A redinte jam Gravitatis Vi, eodem tenore agente ac sis bile vi extrinseca non impelleretur continuo a recta AE deflectet, spatia descensus seu deviationes ab hori nisi , eaedemerimi ac si pelvendiculariter caderet. Quare si mobile, Ragravitatem endicularum cadens, tempore percurii spatium AK; tempore A descendet per AL, in ore AD per ΑΜ, eruntque spatia , M.AM, ut quadrata temporimi, hoc est ut quadrata rectarum , AC, .vει , - - At cum impetus secundum directi mem rigonti parallelam idem semper maneat Chuic enim viseontraria est aequaliterpromovebitur mobile secundum cis rectionem hori mi parallelam, ac si Gravitas abesset: γωm cum tempore A percurrit mobile spatium aequale AB; comite vero vi gravitatis deflectet a recta AB per spatiuma, ωμ, positaque BF aequali¶llela AK, infine temporis AB erit Grave in F Sic cum tempore AC percurrat mobile otium, secundum directionem horizontalem, adiuualem, in eo tempore descendat per spatium aequale M sfaim aequalis iarallela AL, in fine issius tempons erit mobile in G. Simisiter cum tempore aD, secundum
208쪽
Mectionem horis talem promoveatur Grave per spatium aequales , accedente Gravitate descendat interim per spatium aequales , positaque in aequali in in fine temporis AD erit mobile in H. Semitaque projecti erit in Curva AFGH sed quia quadrata rectarum KF, LG, ΜΗ sunt inredi copiis AK, AL A proportionalia, erit curva illa AF semisarabola. Est itaque semita corporis Gravis secundum directionem AE projecti curva semiparabolica. Q. E. D.
Bisecetur AB in E & erigatur perpendicularis DE erit ex hypothesi rectangulum sub DE&L aequale rectangulo sub AE EB, seu AE quadrato per . Et secundi rectanginio sub AGK - quad. CG quad. -EF, L -- CE quad. quare erit rect g. sub DF I aequale CR quadrato, quae est proprietas Parabolita Si punctum caedat in AB productam quod fit ubi curva descendit insta AB, eadem Parabola erit locus puncti e nam ieri. T. secundi est Eguuad. se quad. rectang. sub Ag. g8 EB quad. i, eg -- L, DE. Ἐκ Deci quae est proprietas parabolae. Or. Est recta illa L latus rectum seu parameter Pario la
TA 9. Linea curva, quae describitur a Gravi, secandum directi m' quamlibet sursum obtique proueero , parabolica est. Sit AF directio projectionis, utcunque ad horigontem Minclinata Seposita Gravitatis actione, mobile in eadem dicta motum tuum semper continuaret, per Legem natum primam, spatia AB, AC, AD, temporibus proportionalia describere At accedente Gravitate, a via AF continuod flectere cogitur, rin curva moveri, dico hanc curvam esse Parabolam. Ponamus Grave perpendiculariter cadens,
209쪽
t me AB-mirmae spatium Ain tempore ero Milum AR,&tempore AD spatium AS; erimi spatia Aia, AR,
AS ut madrata temporum,Velut quadrata rectarumABin , .Quorumveromotae Vi insit eXClusagrmitate, tempore percurreret spatium AB, Grmitate Vero interim in ex
rente descendit per spati in aequale in liquet si in per pendiculo G captatur ΒΜ Aci, locum Gravium fine temporis AB, forem. Similiter cum mobile, ex impetu primo presso, tempore ut m percurrere debet lavium AC, at ex vi Gravitatis per spatium AR interim descendere cogitur; si capiatur in perpendiculo CN AR, erit, locus mobilis in fine temporis AC. Sic etiam posito alio DO, in perpem oculo, aequali AS, erit O locus mobilis in fine temporis , deviationes m CN, DO a recta AF temporibus AB, AC, AD ortae, aequales erunt aliis Ad, AN, Acis adeoque erunt, ut quadrata rectarum AB, AC, AU Uer Aducatur horizontalis recta AD; semitae projecti occurrenSm P. Perigatur perpendiculium re,lineae directionis occurrens
drata rectarum AB, AC, AD, AE proportionalia erunt quae dratisrectarum AG. AH, AI, AP; adeoque deviationesm, , , EP quadratis rectarum AG, AH, N. AP, pr odi
mrei quamovetur proiectum ritParabola. u. 1 D. πιν 1. Recta L est parabolae latus rectum ad axem per
210쪽
Unde erit mi CN acim de recta Marita directionis projecti Parabolam tanget per Prop. 33 libri prines Coni-
Cor. 3. Quoniam est AP 2AH; erit PEEa CHis vel m. Gr. . Si rectis PE, AE tertia proportionalis sci, erit latus restium , seu parameter par abolae ad diametrum ASpertinens. Nam quoniam re, M i sunt contino proportionales, erit o PE AE quadrato est vero A quad. ad AB quad. vel ad Q quad. : PE: ΒΜ vel Aa: In PE:ι, Au quare cum sit A quad. mi AP erit iamquad. mi Aa Quare erit iparameteraddiametrum ASpertinens. cim. . Est vero imPE 'Li4NΗ-- Lm quadruviae axtitudini parabolae in L Nam est sim tu quad.m Ab quad. - re quad. IL, ΡΕ - re quad. L PC PE. Quare erit IzL--PUT L-ΑΝΗ. Cor. 6. Si tempora AB, BC, CD fiant aequalia erunt spatia horizontalia AG, GH, in aequalia hoc est sic ive motussio describat parabolam, aequalibus temporibus secum dum directionem horizonti parallelam aequaliter promovebitur; in singulis parabolae punctis idem manebit impetus horizontalis, qui ruit ab initio motus. TAn. 9. Cor. 7. Si mobile exin projectum, secundum directi, A. 9 nem AE, describat parabolam ACP; in puncto quolibet aper legem naturae primam, sectandum tangentem Caegressi conabitur, cum omni ea Velocitate quam in puncto C habet, o per solam Gravitatem in cur parabolica retinetur. Quod si dud Grave ex fecundum directionem CG, ea ves itate projiciatur quam habuit Grave ex Aprojestiun in eodem puncto C; Grave illud alterum eandem parabolam CP destri Dei. In puncto enim C eadem est utriusque Gravis inesto, eadem velocitas, eadem Gravitatis vis quare utriusque
or. 8. Hinc si Grave deorsim sic dum directionem ad horizontem obliquam, projiciatur semita pretecti erit