장음표시 사용
631쪽
Triangata erunt aequalia S congrua, s duo latera habeant ZMIas Meribus aequalia . s anguos aequatibus lateribus eo rehens etiam aequales.
Item Triangula erunt aequalias coagma, si latus eum angm Iis adiacentibus in ano triavus sit aequale Iareri eum aram Iis ad rentibus in altero stranguis.
Triangula aequilatera sunt etiam aequi anguis.
Si anguli ad basim fuerint aequales, erit Triangulum I series. Eodem modo demonstrantur quatuor propositiones princedentes ut in triangulis planis. PAE O P. X. Auaelibet duo trianguli latera reliquo sun majora. Nam arcus circuli maximi, inter duo quaelibet in supersecie sphaerae puncta est via brevissima. PROP. X. st vitae trianguia latus minus es emicirculo. Producantur trianguli ABC latera AC AB, donec con-TAa. s. veniunt in D, erit arcus AC semicirculus, qui mi Mest Me r. quam AC. ΡROP. XI. Triangusi latera sunt circulo minora. Est enim DB DC major uuam BC, per prop. Yω a. r. xxx 3 utrin. ix D
632쪽
trinque addendo BAΦA C erit DBAΦDCA, Me est, circulus major quam AB'DC, AC, qui sunt tria laterutrianguli AD C. R O P. XII.
Fiat angulus BAD angulo B, Merit AD BD per . hujus unde BDC-DAΦDC, hi arcus majores sunt Iam AC est itaque latus BC, quod subtendit angulum AC majus quam AC, quod subtendit angulum B. P R O P. XIII.
Tha. i. In quotibet triavgulo ABC s summi aram AB BC j Aio major aequalis vel minor semicirculo utemus angulas iabo in C erit major quasi aut minor externo opposivo BCo id que summa angulorum S ACB major eris aut aequalis, aut minor duobus rectis.
Sit primo AB BC semicirculo 'AD, erit BC BB; Mansuli BCD O aequales, pera hujus,unde angulus BCII erit angulo A. Sit secimo AB BV majores quam A BD, erit BC major quam BD unde angulus D, hoc est angulus A major erit angulo BCD. per a. hujus similiser ostendetur, si ΑΒ BC sint simul minores semicirculo fore angulum Aminorem angulo BCD is quoniam anguli BCD BCAsint duobus rectis si angulus A sit major BCD, erunt A AEC majores duobus rectis. Si A si Moeriant Ad BCA aequales duobus rectis. Si vero A sit minor piam Naherunt Λ- BC A minores duobus rectis D.
T h. In quolibet triangulo GHT aterum soli , ductis irem A. - Iis maximis, eo tituunt aliud tria ulum MN M
633쪽
XM NM εων si omento ad semisse sis a reum quisunt mensurae angusorum D, G H. in etiam mendi surae angulorum , , , erunt suppomenta ad oemisimculos, laterum GH GD S/T .
Polis G, H, D, describantur maximi circulio Cis ΜΤΜNO X K BN Et quia G est polus circuli XCAΜ, ritGΜ, Quadranti, per cor. I. grop. obmpesum circuli ΤΜO, erit, Μ quoque Quadrans; quare per coraci proe 30 erit M polus circuli G H. Similiter quia D est polus circuli XBΝ,- H polus circuli MN, erunt
arcus DNum Badrantes ac proinde per cor. X. Prop. 3.)m erit polus circuli H D. Et eadem ratione, oh GKD quadrantes, erit X polus circuli GD. Hiscepraemissis. Quoniam est NK Quadranti, cor. I. prop. 204 Bm Quadranti, erunt B hoc est Ram obira uadrantibus seu semicirculo adeoque in re supplemem tum arcus K seu mensurae anguli H DG ad semicirculum. Similiter quia est, C in Quadranti uadranti; erunt A, hoc est, C duobus Quadram tibus seu semicirculo, proinde inest 'pplememtunam cis A C qui est mensura anguli HGD. Quinetiam, Μ N Quadrantes, erunt, o in T, OT NMI semibcirculo itaque est M supplem tum semicirculum αλο seu mensurae anguli GH D. Q SD. Praeterea quia D K H T sunt quadrantes, erunt DK H Tseu K aequales duobus uadrantibus, seu semicidiculo. Est ergo T, seu mensuram ii ΝΜ, φῶ, mesurun lateris Hi ad semicirculiano Nec das uti mem do ostendetur C menlaram anguli ΜΝ .supplemem taen lateris G H. Et di mensaram anguli A eae relementum lateris D. Q κ. D.
Nam eorum supplementa sunt aequilatera, per i hujus
634쪽
ergo sequiangula, quare ipsa sunt aequilatera, per propi sartem secundam. PROP. X v I. Tria νώ ire .uguli sunt majores duobus rectis,
TA. a Nam tres mensurae angulorum G, H, D, una cumiribus M lateribus trianguli, faciunt tres semicirculos, peri . hujus sed tria latera trianguli minora sunt duobus semicirculis, per II hujus quare tres mensurae angulaniae GH majores sunt semicirculo, Proinde angim GED majores erunt duobus rectis. Propositionis secunda pars patet, namin quolibettriangssiti, extemi& intem angulis itantum faciunt sex rectos, unde interni sunt minores quam se recti
Tati. a. punctora quod eis cali AFBE potas non est is eis. Q eumferentiam cadant arcus maximorum circulorum RaR RG RU maximus est A, qui per ejus ista C lueedit, reliquus vero minimus, Geteri proat a --ximo recedunt minores sunt, faciuatque eum priore est ealo AFB angulum obtusum ex parte maximi areas.
Quia C est polus circuli AFB erunt CD, huic panylela RS perpendiculares adplanum Assi Ductis autemsASGAE V erit per . El. 3. S major quam G, ωssin or quam S V. unde in Triangulis rectangulis planis RSARS RS', erunt RS S iseum Ari maiora quam RS. SGqseu RGq,&proinde Amajor erit RG; Aarcus' major arcu RG. Similiter erunt Sq 4sqseu RG majora quam RSAE' S Vri seu RVq; imia
635쪽
Nam si AC ses uadrans, C crit polus circuli A B, S imguli GC vel As erunt recti. Si crus A sit majus quadrante erit angulus A a major rectes per 17 hujus. Si crus sit minus quadrante ut ri X angatis G Xerit minor recto.
Si da erura trianguli rectan uti consequenter anguli sint ejusdem affectionis, id es , utrumque vel majus et minus adrante, Note usa erit minus quadrante.
Nam in triangulo ARG est RG major quama qui est quadram. PAE O P. XX Si inpoto a sit major vel minor quadrante, crura anguli reisi, ideoque is uult ut iiDut ejusdem aut divem
636쪽
sequitur. PROP. XXII. Thy 3, quovis tri vulo ABC. si anguli μου C ad basim saths '' ejus δεα, istinctionis , perpredi Iaris AP cadet istra triangulum sint dimrsae fectionis , persendicularis
In primo casu si perpendicularis non cadat intra cadet evrea triangulum, ut in fig. II. Tum in tria lo ABP,est P ejusclem affectionis cum angulo B;- similiter in triam gulo AC P, est A P ejusdem affectionis cum angulo ACp; ergo cum ABC, AC sunt ejusdem affectionis, erunt anguli ABC- ACB diveris assectionis quod est contra hypotiatam. In ado Casu si perpendicularis non cadat extra cadetim tra, ut in fig. U.yEt in triangulo A BF est angulus Bojusdem affectionis cum crure AF ,- similiter in triangulo CF est angulus C ejusdem affectionis cum AP, unde amguli Binc sunt ejusdem affectionis, quod est contra hy
TAn. 3. In Triangulis B AC B HE recta uias ad A vi. R idem fuerit auatas aevius B ad basi OB Aise ΒΗ Sinus 'potes aram erunt, nubus arcuum perpendicula rium proportionales.
Nam recta CD F perpendiculariter insistentes eidem lano sunt parallelae item MMD P radio B perpendicu ares sunt quoque parallelae unde ilana triangulor EF CDP sunt parallela per s. El. II. Quare cyER horumpianorum communes sectiones cum plano perbs CG transeunte parallelae erunt per 16 El. II. Trian lauitur DP E DR sequiangula erunt. Quare C P sinus Hypote si BC est ad CD sinum arcus perpendicularis cA; ut DR sinus hypotentiis B E est ad DF sinum arcusperpendi cularis H. o. E. D.
637쪽
In Triangulo ABC recta alo adae. Ut coseus anguia εχ sentis ad Basmis A ad simit anguli venicalis ACB, ita sinus arcus sergendicularis ad Radium. Fraeparatio Producantur latera BA BC CA ita, ut BE TAs; a
BF CI CH sint Quadrantes, polis B ducantur clam 33'li maximi EFDG IH G.- erunt anuli ad EFI4 Wr re. Quare inest polus B AE per cor. a. pr 2 hujus & G polus I CB, erit etiam AE complemento arcus BA, tremi mensura anguli B GD m eorum compi mentum, erit quoque BC Fi mensurae anguli G,4 CF eorum complementum. Item est CA ED&DC utrius Re complementum. Hisce praemissis, in triangulismi CiCF rectangulis ad I F- habentibus eundem angulimi C acutum, o B A minorem quadrante, erit S. F S, Hl::S, DC S,MC id est, cotaus an ulli est ad sinum anguli verticalis BC ut cosmis A ad Radium. Q. E. D.
Nam in Triangulis AED CF rectangulis ad E F; TAn. a. habentibus eundem angulum D acutum obis qua- ου. drante minorem, ins , EA: S, CF::S,DA: S DC. Q. E.
638쪽
S, Bascos: R::T, perpendicu is T auali ad basem. TAη 3 Nam in Triangulis B AC BEF rectangulis ad A &anhabentibus eundem angulum B acutum obis Clamorem quadrante, S, BA: S, Bis: :T,AE: T,EF.γ E. D.
COS anguli verticalis: reri perfossicularis: T inpotenu . TΛ'ψ3, Triangulis G IF GH rectangulis ad I AE, Ahabentibus eundem angulum G acutum, obesi minor H C seu quadrante, est S, GH:S,Gl:: T. H D:T,l F. PAE O P. XX X. y, inpote usae: Rr: S, erpendicauris: S, qui adlbasim TAn. 3. In Triangulis praecedentibus est S,IF:S,GF::s, PA. 3 S, D. PAE O P. XXX. Radius: S. 'potenuser: T, angati verticalis: eoT, anguli ad basim. Tδ' q3 In Triangulis HIC DF rectangulis ad I&F, S, bentibus eundem angulum C acutum, ob DF minoremqya drante, est , C S,CF::T, HI: T, DF. hoc est,in ta , BC: Tang, C mT, anguli B. Propositiones se praecedentes ad onvies casus triangulo rum rectangulorum resolvendos lassiciunt, sequuntuilli numero sedecim cum suis analogiis ex hisce deductis. Patis
639쪽
ctionis nec Quadrantes, erit BC minor quadrante si diversae, erit BC quadrante major. Per Ἀ
AC coS, A R: coS, BC coS CAN Iit major aut minor quadrante, A, C erunt ejusdem aut diversa affectionis, sed datur Ba ejusque Species ergo per 26
S, B A: R: T, CA T, B ejusdem affectionis cum latere opputo
R: S. BA::T, B: T, AC, ejusdem speciei cum B.
te, anguli 4 B sunt Huldemaut diversae affectionis,quare data specie angcssi dabitur A C. Per 8
ang. Coac fuerint ejusdem aut diversae affectionis, B C erit minor
640쪽
T, BC: R::T, CA: coS, C. Si BC suerit major aut minor Quadrante, CA AEA proinde anguli erunt ejusdem aut dive sis affectonis, sed datur species CA, ergo dabiturspecies anguli
S,R: S, AC::R: S, B Cambigui per
anguli B&C ejusdem aut diverisasrectionis fuerint, erit BC minor
R ωS, BC T, C mT, B prout Rc fuerit minor aut major qua
dem aut diveris affectionis. Sed datur species anguli C. quare dabitur species anguli B. perdo
Ressolutisse Triangula in Raectangulorum Sphaerimm per quisque partes cim iares.
Perpens Analogiis, quibus Triangula Sphinica Recta
gula solvuntur, Dominus Neperus, nobilis ille Loga rissimorum Inventor, duas excogitavitRegulas messistria facile retinendas, quarum ope omnes sedecim casis re solvi possunt Nam eumin histe triangulis, praeteranges rectum, sinit, latera duo inguli, lateramgulumre