Introductiones ad veram Physicam et veram Astronomiam: quibus accedunt ...

661쪽

χ ο o millenaris, numeri Ioomin imus fiet 4,oo ooo cita deinceps. Hinc Logarissimi omnium numerorum inter I cio incipere debent per o, seu debet esse ori primo loco versus tabibam, siant enim minores quam Logarissimus numericio cinaus initiumest unitas , Logarithminumerorum intercio

1 unitate incipiunt, sint enim maiores quam 1. O Ozo&minores quam 2. oo oo. Item Logarissimi numerorum anter 1oo 1 obinario incipiunt, simi enim majores uuam logarissimus numeri Ioo, quem incipit a. minores loqvommo numeri 1 o qui incipitpero eodem modo ostendetur in Logarissimis numerorum in Ioo, Iomo, primam

Muram versiis sinistram debere esse :& in Logarissimis iam merorum ad Ionoo usque ad OQooo prima Versis snistram figura erit Α, ita deinceps. Prima cujusque logarimmi figura versiis sinistram dicitur characteristica leuci sex; quia ostendit altissimum seu remotissimum locum numeri aloco unitatum. v. gr. si indekloguaithmi fit et numeri respondentis altissimus seu remoti ius versus sinistram ab unitatelocus, erit locus de dum Simdeca, remotissima numeri respondentis figura erit insecum do ab unitatum loco, hoc est erit centenariorum aliquis. Et

index Lowissimis denotataltissimam numerisui figuramese in tertio ab unitatum loco, & inter millenarios locari. Logarissimi numerorum omnium qui sunt in progressione decupla aut subdecupla, characterissicis seu indicibus suis tam tum assierunt in reliquis omnibus locis, iisdem scribuntur

notis, v. gr. Logarissimi numerorum 17, 17O,I OO,17 innam cum sit 1 in17, ut Io ad 17o, ut Ioo ad 1 oo, ut Iooo

ad 1 ooo distantiae inter 1- 17. inter Iois 3 o, inter 1 44 oo, inter Iooo oo erunt omnes aequales, adeoquecum distantia inter IMI seu Logarissimus numeri 1 sit 1. 23 89 erit togarithmus numeri 1 o 2.23o-82, &Logarit rus numeri 1 oo erit 3. 23 489 ob numeri 1oo garissimum a. omo λα sinuliter ob numeri 1 om Lo. garissimum I. OooOO Logarissimus numeri 1 ooo erit

662쪽

margine

In duobus ultimis Iosarissimis Indices tantum suntnega rivi, reliquis figuris positivis manentibus, adeoque cum res, quae figurae addendae sint, subtrahendi erunt indices, 'b

uonimi muli licati me, unitas est ad multiplicito/rem ut multiplicandus ad productum, distanua saet stat in multiplicatorem aequalis erit distantiae , TA. 6 ter multiplicandum productum; si itaque merus GH petA o numerum EF esset multiplicandus Mantia inter Grio productumdebet esse aequalis distantis M, seu Priamo multiplicatoris, itaque capiatur L aequalis ΑΕ eris merus L Μ productus, hoc est, si ad AG logarithmum multiplicandi addatur ΑΕ Locarissimus multiplicatoris, sum ma erit Logarissimus produm. In Divisione Unitas est ad diviserem, ut quotus ad diri dendum; adeoque distantiariterdivisorem&: imitatem ritus erit distantis inter dividendum & quotum. Sic si Wr EF esset dividendus erit dictantia Ea aequalis distuὶ mezinter LΜ quorum, adeoque si capiatur L G τύ

663쪽

A ad G ea quotus Hoc est, si ab A Lo arithmo Dividendi, ausexatur a seu AE L arithmus vivisoris, restabit AG Logarismus quotientis.

Atque tunc adeo, quaecunque operatames in coenmuni Adirithmetica perficiuntur multiplicando aut clividendo numis majores, me omnes lacilius multo, expeditius fiunt, per ditionem aut subduetionem Logarissimorum.

Sit exempli patia numerus 389 multiplicandus per F addendo Logarissimos ut in margine videre est, habetur Logarissimus producti Log. 3. 88o18 6 cujus inde monstrat esse, producto Log 3 829 339 septem locos praeto unitatum ovum ' Log Sνοὴ igis Merena in tabulis L arithmum hunc, Vel prorime aequalem, invenio numerum rem entem -- noe em producto esse 51278ooo numerum Foducto majorem esse Iia oooo, quin capiendodisserentias adiunctas,d: parte proportionales; invenio notas antelenultimam ωρον ultimam essera , in ultimo autem seu in unitatum loco, ne- Cessirio erit 3, ob septies novem 6 adeoque Verus productus erit 12 81 3. Si index Logarissimi esset 8 vel , iu-tima vel penultima notae obtineri non possunt ex tabul ubi Logarissimi tantum constant' figurarum locis praeter char, cteristicam, adeoque ubi opus est, Tabulae macquianae, in quibus marissimi sunt omnes decem notarimi; Vel Briuia-uae in liurus Logarissimisunt quatuordecim , ad um anc

ei quotiens. in unitas, merusquilibet assumptus, usuum tus, cubus, Biquadratus, M. sint continue μ' ortionales, eorum

a se invicem distantiae aequales erunt. Nandestum itaque in Quadrati distantiam ab unitate, duplam esse distantiae radicis

664쪽

ab eadem distantim cubi triplamdisti is nutasseae uadrati distantiam esse distantiae radicis suae abinutate qua ruplam c. Adeoque xdupliciter togarissim numeri, da Bitura arithmus Quadrati, Sitriplicetur, marissimus obhi, si quadruplicetur, proditiosarissimus B uadrati Et vice versa si Logarissimus nunstri alicujus bisecetur, habeti t Logarissimus Radicis quadratae ejusdem numeri vina ejusdem Logarithmi tertia pars erit togarissimus Radicis cubicae,' pars quarta Logarissimus Radicis biquadraticae, ἁ ita deinceps. Hinc Radicum omnium extractiones facillime perfici tur, secando Logarissimum in tot partes, quot sunt mutes in indice potestatis. Sic ut habeatur Radix quadrata mimens ejus L arithmi capiatur pars dimidia o 3 9 83o, erit haec Logarissimus radicis quadratae numeri , seu Logarimanus numeri vi,cui respondet rumierus 2,23 6o quampin

me Artihmerite Logarithmorum ubi numeremit Fractiones.

otiescunque actiones pers ogarithmos tractanda sile .rint,ad vit u laborem adde si unani togationi partem, subducendi alteram, expedit ut Logaristast incipiant non ab unitate integrali, sed ab unitate, quaest a decimo vel centesimo loco seactionum declinatium V. g.

cipere, Haec Metio decies magis distabit ab unitate verit sinistram, quam numerus Io ab eadem distat versus dexim stat enim Decem terimni proportionalescin ratione 1 alia unitate usque ad PO. Adeoque si AB sit viilias, si

665쪽

garissimus in hac suppositione non erito, sed erit A.

Io oo m. Nam inviatia denarii ab unitate est. I. ooooooo,

unde distantia numeri Eo, in P erit II, oo oooo Item Distantianumeri 1 a P O, seu ejus Logarissimus a P incipienS, erit42. ooo o ovi numeri, o Logarithmus seu distantia a Poerit43. oooomo; atque hac ratione Logarithmorum omnium indices gent numero Io.&Fractiones quorum lim dices fuerunt-I, aut-2, aut-3,&c fiunt9, 8, aut f&c.

At siLogarissimi incipiunt a loco Fractionis cujus numer tor est unitas denominator unitas centum cyphris adjectis quod faciendum est quoties fractiones occurrunt minores quam PO illa Fractio centies plus distabit ab unitate quam Ioab eadistat, adeoque Unitatis Logarithmu&habebit indicem Ioo, i meri Uenarii Logarithmus indicem habebit

IOI. Et numeri centenarii Logarithmo congruet index Ioa, ita deinceps Indices omnes augentur numero Ιoo. Fractionum omnium quae sunt majores O a quo inbthun ducitur) Logarithmi erunt positivi. Et cum numeri, IO, , ἰ.., .... c. sunt in Continua progressione Geo. metrica aequaliter a se invicem distabunt,4 eorum proinde Logarithmi erunt sequidifferentes Adeoque cum Logariti, mus denarii sit II. o ooo , initatis Logarissimus sit Io ooooooo erit Logarithmus actionis i. s. oooooo; . frictionis. Logarissimus erit R, o ooo similiter index Lo arithmi numeri . . . erit . Quin etiam eadem ratione si inde Logarithmicus Unitatis sit Ioo denarii Io I, Ε-rit index Logarithmi Fractionis . 99, Fractiosus L. Inde Logarithmi erit 98;- Fractionis ... index Logariti mucus erit m c. Hi indices ostendunt in quo loco ab unitate prima stactionis figura quae cyphranon sit, ponenda fudirit, gr. Si index m. ejus auserentia ab indice unitatis quae est i scit. 6 ostendit primam decimalis figuram ignificativam esse in ' ab unitate loco ergo quinque Pphnae versus sinistis ei praeponendi sunt ita si nil

tis index sit 1oo factionis index sit 8 , erit prinia ejus figura invicesimaab minus loco seu 1, phrae praeponendae

666쪽

ue sis DE LOGARITHM . Sit iam Fractio GH per hiationem DC altat litanti.

Quia unitas est ad multiplicatorem ut multiplicandus adpro duchim; erit distantia inter Unitatem di multiplicatorem mousis distantiae inter multiplicandum iroductum. Quareu capiatur Gl C, ad Perit pro Ehis iΚ. Et proinde

si ab OG Logarissimo multiplicandi, auserat os vel AC, restabit Ol Logarissimus producti Est veroAC O O quae ablata ab G relinquetur OG GO GA O

hoc est, si simul addantur Logarithmimultiplicatoris& Itiplicandi, Me simuna auferatur Logarithmus unitatis semper stribitur per Io aut Io cum cyphris habebituri γgarissimus producit ex gr. Sit Fractio decimalis moMI per fractionem o, o 8 6 multiplicanda pono unitatis indi cem Logarithmicum esse oo, Tractionivn Logarium dirunt ut in margine, qui additi, & rejecto L garissimo statis, dant Logarissimum prodin s , 86 696scti, cujus index, ostendit primam producti 46, 9423 Ιfiguram esse in sexto ab unitarumloco, quin ossessiouruue itaque cyphrae praeponendae sint, de pro ductus erit,inoooo6 298 in Divisione, divisor est ad unitatem , ut dividendus

quotum is proinde distantia inter divisorem umtatem. aequalis erit distantis inter dividendum inuolum stasiues fractio I dividenda esset per D C, capienda erit I CA locus quot erit G. Est vero CA O A C qua ad O Iaddita hi A - ΟΙ-OC Oa hoc est si addatur

Logarithmus unitatis ad Lo arithmum dividendi, &asinium auferatur Logarithmus divisoris,restabit togarissimus quotiestiis sic si numerus D per I esset dividendus, capimuerit distantia CS IA, erit S quotiens . cujus Loga rithmus est O A O C - ΟΙ. Sit CD 4, 3 7 maeo, ο Τιadloquithmum ipsius CD addatur Logarit, mus Unitatis, hoc est ejus indici praeponatur 9, 3 3κ

I aut Io, ex eo subducatur is ritrarius di λο ' Myvisoris, restabit Logarissimus quotientis, cujus I, 86 o, index ii monstrat quotientem esse interes adi

667쪽

qui sunt Dio ad roo quaero itaque numerum losarissimore Mentem, quem invenio esse 2, 3 9 Sistiationis obsaris verbi v. plagarissimus desideretur, ad Logarissimum numerio addatur cogarissimus Io, 8 so98o unitatis, vel quod idem est, ejus indici prae o,9o3o9ooponatur 1 aut Io subducatur ab eo lagarith pom denominatoris 8, restabit togarissimus fia γ' ctionis: vel stactionis decimalis, 373 in Fractionis cujuslibet D C potestates habeantur, νpiendae sunt CE EG G I singulae sequales AC, AE Ferit quadratus, GH Cubus, Ic biquaaratus numeri DC, sint enim ab unitate continue proportionales. Est praeterea AE iri Aa a OA-2OC, u leo rim OA-AE ma Oc-O A, hoc est logarissimus quadrati est duplus logarim miradicis, minus logarissimo unitatis. Similiter ob AGE, 3 Acia OA-3OC erit OG α OA AG 3OC-2O Logarissimo cubi Triplo Logarissimi lateris minus duplo lo- uarissimi unitatis. Eadem ratione, quia Al 4ACm OA O C, erit OI OC IGA; qui in Logarissimus B,

quadrati Et universaliter fractionis potestas sit, togaritim mus L erit togarissimus potestatis n-πL-nOA-FOA, hoc est multiplicando logarissimum actionis peris, in producto adiiciendo logarissimum unitatis multiplicatum peris et habebitur togarissimus potestatis, ejuIdem stactio-

. gr. sit Fractio j.m, o cujus quaeratur potestasin hujus tacitonis logarissimus est8, 989 o qui multiplicatus Per sdat numerum 32, 19382oo, ex 2 ablato numero omi est index Logarissimi unitatis in ue ductus, restabit Og, rissimus potestatis θ' scit a I9382oo cui respondet numerus o oooori 623. nam index a ostenditseptem cyphras primae Murae praeponendas esse. Si Fractionis, o potestas octava desideretur, multiplicando logarithmum perra, prodit 69, I9176oo, at cum eXninmero 69 auferrinon potest o, quiestsepties index togarithmi unitatis, quin innumeros negativosdeveniatur, pono indue

668쪽

eem logarissimi unitatis esse iota index laganilimicusfi ctionis, erit 98 hiclogarissimus ius ductus dat 78 si om ex numero 789 rejecto numero oo, qui, mecumcyphris annexis, est septies logarithmus unitatis, restabito 391 6oo lorarissimus potestatis 8' Fractionis, cui congruens numerus est Oooo oooo 39o62. nam cum index sit Dis ejus differentia ab ioo est 11 figura prima fractionis sis,cativa erit in undecimo ab unitatis loco, adeoque decemJPhrae praeponendae erunt. Si in actionibus, radices potestatum desiderentur. v. FFractionis EF, quaeratur radix quadrata. Quoniam nota est media proportionalis inter Fractionem&unitatem bise et ΑΕ in C, erit C radix quadrata tactionis EF MOA OEVero AC αἱ ABis , Adeoque C Logarissimus

rissimo Radicis cubicae fractionis G H. Sic etiam hactionis IK radix biquadratica habetur, secando A inquatuorpar te aequales. Nam Radita est prima trium mediarum propos tionalium inter unitatem Fractionem. Si itaque Ac

669쪽

. ejus radicis garithmus erit-- --, hoc est

si indicii arithmico fractionis, praeponaturarumerus 1. Iogarissimus sic auctus dividatur per u quotus dabitLως inmum radicis maesitae. Sic se Uaeratur radix bicast ratonis . sive, hujus garissimo praeponatura n- I, quia radix cubica desideratur, met w cujus numeri triens est λ8996366 aequalis Logarithmo radicis cubi est, monis in congruens marissimo numerus est, 93 erit radix quaesita.

CAPUT IV.

Regu 'N'tioris seu Aurea Logarithmisa. atis tribus numeris, qua ratione quare proportionalis 3 veniendus sit, nos docetproportionis Regula scit termini secivius&tertius in se invisemducendi sunt, proeduebas dividendus inperprimum, qui prodit quotus eis, betat quartum te inum proportio em quaeutum AtDm logismmos minore labore habetur ille quartus Nam 1 e summa Logisthinorum secundi tertii auferatur togarit, mus primi, qui rectat numerus est logarissimus quarti proportionalis. Quin etiam lic labor minui aliquantulum potest, s Ioco marissimi primi capiatur ejus complammium Arithmeteum , seu diuaerentia lauarissimi a numero Ioooooooo, obtinetur si pro singulis marissimissuris scribantur earum differentiae a v. Complementumhoc Arithmeticumcum res, quis duobus logarissimis in unam summam conjiciatur, a summa unitatismota in primo versus Misaeam loco sita ab

iiciatur, testabit orarissimus quam termini quaesiti atque Ue modo peruricam Numerorum trium additionem inve Ces c tur

670쪽

bit. Sin ues numeri ABG summa secundi&teni subducendus estprimus, non tantum operatio commanimo. do perficitur, sed etiam si assumatur numerus quivis Ε, ἁ ab eo auferatura , restabit E-- si numeri BC in unam summam addantur, Me summa trium rejiciatis Ε, restabit B c A. sic si subducendus es iumenis i 8 e a capio numeri II complammium ad 1oo an est ue, hunc numerum addo ad 21 summa fit ioe ex quo sublatorio restabit numerus d. se tranatur Exempla Trigonometrica Mylae pro risorusinia garissimos soluta. ΥΑ, Sit Triangulum ABC rectilineum, in quodantur angulus Q 36 gr. o. angulus Bis orari latus BC, 3 78. ἁ quaeritur latus C. Fiat per Q. I. Trigon Phaeae sy

Bit BC ad A C. Et quia Arith comp. L, B o 2228938 sinus Log anguli A estpri Log Sin B. iει mus analogiae terminus ejus Io BC. ys si' vice substituto complemen Log AC UUj antium rithmeticum ejusdem, o I 'ad

&addo I g. R. Log S, B&praedictum conplamentanin unam lammam iis e summa relam unita 1ε - est, primo versus sinistram loco, initur Loga limes linis AC, cui congruens numerus est 3 66, 3o6α stis AC, teri quaesito. TAn. . Sit Triangulum Sphaericum AB C, in quo dis iis omisti ' latera scit B C so grad. AB ad gr. AC-ag quaeritur angulus B producatur BA ad Μ 1Lω- 30 erit AN differentia laterum BC RA ae lusis v 36 'rea Ir in Triangulis obliquangulis Sphaericis. Fla utraem