장음표시 사용
21쪽
14 Clauis Logisticae Cap. III.
vel quintum cap. 3. lib. primi Logisticat. Deinde per Antithesim singula membra similia, hoc eu quae independenter a signis
suis, specie conueniunt , transferendo ad eamdem aequationis partem . Denique pro membris similibus signis i vel ,- connexis substituendo unum membrum ipsis aequitialens, atque inuet tum per problema primum cap. 3. lib. I. Logisticae. Exempla huius modi contrahendi aequationes longiores recurrunt propemodum in singulis solutionibus problematum propositorum in libio secundo Logisticae r neque ullam habet dissicultatem, suppositis requisitis pro pricedenti gradu, Antithesi,quam hic monuimus prius discendam este. Hic modus contrahendi longi
res aequationes continetur problemate primo cap. s. lib. I. L
gisticae,quod tamen problema citare nolui pro hoc gradu, quia amplius aliquid proponit, atque etiam agit de numeris radicali-hus, quorum constulerationem disserinius ad octauum gra
Secundus modus sit, qui docetur problemate 2. cap. s. Iib. I. Logisticae: quod problema utile est, ut in aliquibus circumstanis iijs, ex aequatione consistente inter solos numeros denominatos, siue incognitas quantitates : inferatur, aequatio, consistens inter numeros denominatos & vulgares , siue quantitates incognitas di quantitates cognitas. Tertius modus sit, qui docetur theor. q. cap. S. lib. I. I ogisticae , siue potius in axiomate 3. yag. 99 Ideae I ogisticae vir
bique enim eadem veritas proponitur, quae tamen iuxta aliorum
de proportionibus doctrinam , etiam prius a nobis adhibitam, de stuppositam in lib. I. Logisticae , dici debet, theoremat verium iuxta nobis propriam doctrinam , traditam in parte A. Ideae Logisticae, est verissimum atque rigorosum axioma ) llic modus
utilis est, ut ex aequatione consistente inter duas proportiones, inferatur aequatio consistens inter duas quantitates abiblutas, siue diuersas a proportionibus:aut vicissim,ut ex squatione consis ei te inter aliquas quantitates ab luta3, siue diuersus a proporti nibus, inseratur squalio consistens inter duas proportiones.Exempli Gratia, iuxta hunc modum supposito quod aini: ae quatio consistit inter protortiones : legitime infertur, c go IA in sta: qin et Ir quae aequatio consistit inter quantitates a
stilutas , sive cliuersas a proportionibus ὁ & vicitum, sipposito quoci I iri 6 π 4 in aequatio consistit inter quantitates
absolutas , legitime infertur, ergo 16 ad 6 II ad 6: quae aequatio consistit inter proportiones. Quartus Diuiligoo by Cooste
22쪽
Gradus ad Matheseos intelligentiam . I s
inarius modus sit, quo ex aequatione , in cuius una vel vir que parte inuenitur fractio, siue una quantitas per aliam diuisar insertur aequatio, in cuius nulla parte iiivenitur fractio . siue quantitas per aliam diuisa. Exempli Gratia supposito quod Λ α C per D , in cuius aequationis uua parte inuenitur fractio. Iegitime infertur, ergo A in D.C, in cuius aequationis nulla parte inuenitur fractio . Similiter supposito quod Αρο Bra Cpeν D , quae est aequatio in cuius utraque parte inuenitur stactio . legitime insertur, ergo A ris D α B in C , quae est aequatio in cuius nulla parte inuenitur fractio. Ex his duabus illationibus . prior separatim doceturprob. q. cap. s. lib. I. Logisticae i secum da vel o illatio satis immediate constat ex veritate asserta, tam in theor. q. cap. 8. lib. I. Logisticae,quam in axiomate 3. pag.99. ideae Logisticae, supposito quod sciatur, quod quoties Λ per B Cmν D , etiam necessat io A ad B C ad D. Sintus modus sit, qui docetur tum in axiomate 8.cap. 8.lib. I. Logisticae ; tum etiam in theolemate s. partis q. ideae Logisticae; hic modus utilis est, ut ex una aequatione consistente inter duas Proportiones, inferatur alia aequatio etiam consistens inter duas proportiones; quod docetur quatuor diuersis molis variando terminos proportionum aequalium; primo quidem, inuertei do dictos terminos: sic ut sinsuli qui prias fuerant antecedentes, fiant conseqtientes: & singula qui fuerant consequentes fiant an recedentes; atque ita suppolito quod Λ ad B ad D, ii me tendo legitime sequitur, ergo B ad A ra o as C . Secundo pe mutando dictos terminos, sic ut unus qui prius fuerat consequens fiat antecedens: & unus qui fuerat antecedens hac consequens. Exempli Gratia, supposito quod Α ad B α C ad D , permuta do sequitur, ergo A ad C ra B ad D. Tercio componendo, siue potius addendo dictos terminos: singulos scilicet antecedentes singulis consequentibus, ita ut aggregata ex additione producta, fiant antecedentes, vel consequentes termini. Exempli Gratia,
supposito quod A ad B αα C ad D , componendo legitime sequiatur , quod Λt Bad B α Ct Dad D r & insuper , quod A ad ΑΤΒα C ad Ct D. Q rarto diuidendo, siue potius subtrahe
do dictos terminos: ita vi disserentiae antecedentium &consequentium terminorum, fiant , vel antecedentes, vel couseque
res termini. Exempli Gratia, supposito quod Aad B ra C ad D, diuidendo sequitur, quod A Bad Bra C Dad Didi praei tea quod ad Ar B α Cad C-D . Postremum ex iis quae ad Mac gradinnsi inint, siue resol tio
23쪽
r6 Clauis Logisticae Cap. III.
tio aequationum simplicium proponitur cap. 7. lib. I. Iogisucaerpro qua vix aliud requiritur quam usus regulae aureae, spei tantis ad primum gradum . Nota quod pro hoc gradu requiramus quidem praxes aliquas
ex proportionum doctrina derivatas , non tamen praxium fundamenta , siue proportionum doctrinam : quoniam tamen in
aliquibus ex his praxitius agitur de proportionibus, aequalibus inter se , lassicit hic aduertere, tunc vcrum este quod A ad B die C ad D, quando Α in D m B in Ct an vero A in D α B in C, sine difficultate cognoscitur, quoties singulae quantitates Α, Β, C, D, cognitae sunt; quoties vero singulae istae quantitates, siue proportionum termini cogniti non sunt, non aliter quam ex ipsa
hypothesi ; vel per illationem ex h) pothesi legitime deductania, cognosci potest , virum Α-B ra C ad D .
O Vinium gradum statuimus in mediocri intelligentia, & usu, regulae Logisticae: quae proponitur cap. s. libri primi Logisticae .
Nota , praecedentes gradus omnes esse pure practicos, adeo ut pro ipsis nulla villus scientiae fundamenta , a Logica vel Dialectica subministrata requirantur: hic vero praesuppositis pra-xibus spectantibus ad anteriores gradus, inchoatur methodus in stituendi discursus in Qrma syllogisticar ut ex circumstantiIs cognitis in problemate legitimer proposito, inferatur eius solutio r atque ad hunc finem maxime utilia aliqua praecepta, ordinemque discursus instituendi: continet regula Logisticae . V t hic gradus commode saperetur : primo aduertendum ad singula praecepta , qtiae in ipsa regula proponuntur; deinde tria, exemplo rcgulae appolito consideranduin, quomodo regulae prς-cepta obserualido , exus quae supponuntur cognita legitimo discursu inferatur problematis solutio ἔ neque curandum quod problema dissicile non sit , aut aliter solui possit: etenim pro regulae declaratione, facile exemplum requireba tur; quodque aliter solui possit, nihil impedit aut imminuit, eius utilitate in pro regulae declaratione. Tertio, ad pleniorem intelligentiam regulae Logisticae; utile foret legere reflexionem sextam pag. 9I. Arithmeticae introductionis ad Logisticam . Quarto, ad acquirendum usum praeticum regulae Logisticae qui pro hoc gradu sus-ficiat: utile est prius in probIematibus capitis primi lib. I. Logiasticae , vltimo praetermittis, obseruare , quomodo iuxta regul
praesaipta inierauu solutio; deinde problemtum simplicesti.
24쪽
Gradus ad Matheseos inteIligentia in . II
tulos describendo , proprio m .irte tentare illatiotiein solutionis, iuxta regulae praescripta: non ta inen consulendo soli itionein problemati appositain, nisi quando noa succedit tentatus discurius . Nota primo. Ne in tentanda Proprio marte solutione alici ius prontematis libri secundi ut lain diximus , nimium , iuuet selicior memoria, atque exercitd huius fructum impediati utile est , in titulo problematis qai describitur , simpliciter mutari litteras repraesentantes numeros incognitos; praeterea in disci ii suquo solutio infertur nihil quod ex vi forinae syllogisticae non sequitur inserta, vel assumere, praetermissa citatione, vel capitis. vel problematis , ex quo constet legitime sequi vel assumi, quod infertur, vel assumitur, sic enim melius discutitur, & altius ii haerent singulae praxes , Octantes ad anteriores gradus . Vt in exemplo melius intelligantur quae hic vltimo loco notauit mutatis litteris numeros iudeterminatos significantibus, appono hie problema secundum cap. I.lib. 2. Logisticae: atque eius solutioni, addo citationes de quibus hic egimus.
DIfferentia duorum numerorum C&D sit II, & ratio minoris numeri C, ad maiorem D, sit et ad oporteat iniienire numeros C&D.
Solutio. Quoniam per hypothesim minor numerus est I Cx , ex ipsa hypothefi patet, D IC It Ia r igitur per hypothesim , IC1 ad 2CIt Iaraa ad 3: ergo per theorema A cap. 8. lib. I. Logisticae , I C I m 3 α δ C I t Ia in a et sed per problema 3. cap. lib. I. Logissicae, ICI in 3 3CI,&praeterea
per idem problema IC Ita ala a 2CItaq; ergo, 3 CIm a C st zΦ et ergo per antithesim , 3 C I - a C I ra 24; sed
per prob. I. cap. 3. lib. I. 3CI - 2CI ICI r ergo I C Im Μ: ergo per hypothesim minor numerus C, est 2A: ergo per hypothesim maior numerus D 2 t Ia Eb36. igitur minor . munerus C, est asse & maior numerus D , est 36.
Si pro simili exercitio placent alia, atque paulo dissiciliora problemata: talia inuenies capite x. lib. 2. Logisticae r & in raris, re septima ideae Logisticae: pro his tamen requiritur notitia alia
quarum praxium spectanti i ad tres gradus proximὰ stas
25쪽
, 18 Clauu Logisticae Cab. III .' θ'
SExtum gradum statuimus, in modo , siue praxi
examinandi virum in casibus particularibus vera sint theoremata uniuersalia, quae proponuntur in appendice lib. 2. Logisticat.
VT hic gradus superetur prius discendum problema primum .& quartum, cap. 6. lib. I. Logisticae. Deinde Humendo pro libitu numeros vulgares, qui significentur per litterV ii , theoremate adhibitas quique tales sint quales requiruntur in hypothesi inueniatur valor utriusque partis aequationis quae asseritur : qt sic constet, an utramque partem aequationis expone do, habeantur numeri inter se aequales et adeoque verum sit, quod in theoremate asseritur: Exempli Gratia in primo theorentate agitu de quibuscunque duobus numeris A vi B , & .dicit prima assertione semper verum esse,quod Α 2 t B a.& t A . in a Bra itaque supponendo quod singulae litterae A. B , significent singulos numeros vulgares, qualescunque illi sint: a que Exempli Gratia quod Α a, & quod B α 3 r inuenies Primo quod Α 2 π q, deinde quod varas, tertio quod Ain et Bra Ia : & consequenter-Α-B ara i Ain a B α qt 9t i recte 23. R sita manente eadem hypothesi circa valorem litterarum A B , inuenies, filiod A t B et atque adeo Ait B qm 23 : hinc constat utriusque partis aequatiouis propositae ,. valo rem esse a 3 : & consequenter in hac particulari, atque alsiuupta hypotheti, verum elle, quod in thcoremate alteritur uniuersaliter verum esse , qtralescunque sint muneri A R B . Simili modo in casibus larticularibus exanimare posse an verum sit aliquod theorema appendicis , est illud, quod requirimus pro hos gr*du.
SEptiinus gradus est, ex problematibus particula
ribus eruere uniuersalia , atque ex his: deducere theoremata Vniuersalia. , ιVT hi gradus commode superetur, primo conserendam problema pag. 61. Logisticae propositum , cum proble a te I. quod habetur pag. 87. Logisticae;primum problema pamciNlare est, aride restrictum ad certos determinatosque numeros: alte m vniuersale est, atque indeterminate agit de quibuscunnque numeris i & licet ob istam uniuersalitatem longe praestantiuSs tamen eadem propemodum facilitate λliutui. Ex hoc Exermplo satis patet, quae differentia intercedat, inter problema parti .culare di valuersale: siue in proponendo, siue in soluendo Pr
26쪽
Gradus ad Matheseos intelligentiam , t I9
blemate, quare reliquum est, ut hoc exemplum imitas, do reli qua cap. I. libri secundi problemata particularia , uniuersaliter proponendo atque soluendo, discant particularia problemata conuertere in uniuersalia; ubi saltem initio consultum est, in reliquis problematibus , numeris vulgaribus expressam proportionem non variare, aut uniuersaliter Proponere. Denique quomodo ex uniuersali problemate .uniuersale theorema deducatur, satis videtur patere ex.exemplo proposito pag. 89. lib. I. Logi- ubi notatur theoremae uniuersale, deduAum ex Problema-- te uniuersali, Pod habetur Pag. 87. Logisticae. : Pro faciliori intelligentia atque exemplq,eius quod hic dictum est, de modo, quo ex particulari problemate , exuitur Problema .unipersale: siue proportio relinquatur particularis, atque vulga' ribus numeris expressa, & consequenter non fiat maxime uniuerssale: siue etiam ipsa proporeio reddatur uniuersalis, atque adeo problema fiat maxime uniuersale; utilia erunt tria subsequetitia problemata. Primunt est particulare, atque illud idem quod secundo loco proponitur in capite primo lib. 2. Logisticae, Secuti-duui non differt a primo, nisi quod viiii iersalitis proponatur, seruata tamen proportione particulari, atque expresta numeris vulgaribus . Tertium nou differt a primo, vel secundo, nisi quod maxime uniuersale sit, ita ut etiam ipsa proportio sit uniuersalis, siue quaecunque
DIsserentia duorum numerorum X&Z, sit Ia: atque XadZ orteat imaenire singulos numeros X Z . Solutio. Per hypothesim Xt Iaz: Z: sed rtiam per hypothesim X ad Zmaad 3: ergo Xas X t et ad 3 : ergo per axioma 3. cap. partis q. Ideae Logisticae, X in 3 α X t et et in aretgo per prob. 3. cap. 3. lib. I. Logisticae , 3 X α 2 X t et i ergo per antithefim, 3 X ' a X α 24 : ergo per Prob. I. cap. 3. lib. T. Lygisticae, X m et 'sed per hypothesim X t I a α Z r ergo Z αz'tra eta 3 Igitur numerus X est 24 , & nainerus Z est 3ε. -
27쪽
ao Clauis iamlicie Cas. III Problema IL
D Isserentia duamnquantitatum X de et, sit Fraeque xad 2Denique cognita sit quantitas F. Oporteat inuenire singulas quantitares X&Z. Solutio. Per hypothesim X t F m Zr sed etiam per hypoth X ad Z -r ergo X ad Yt Fra et ad 3 et 'o Per Axi ma 3. cap. a. partis A. Ideae Logisticae. X in 3-X in a re t F in mergo per Probl. 3. cap. 3. lib. R. Logisticae , 3Xα2Xt a Fr e M per antithesim 3X-axima Fr ergo per prob. t. cap. 3. lib. l. Logisticae, X a Fr talm hypothesim , At F Z tergo etiam Z α et F t F am 3 F. Igitur X a Fr & Zα 3 F; hoc est duas quantitates cognitas F, simul addendo habetur quantitas X i & tres quantitares cognitas F, simu addendo , habetur quantitas Z.
DIsserentia duarum quantitatum X&Z sit Fr atque X ad Zm 6 ad B. Deniq; cognitae sint singulae quantitates oporteatinuenire singulas quantitates κ&Z. Solutio. Per hypothesim XtFαZr sed etiam per hypothesim X ad Zα6 ad Br ergo X ad XtFα ε ad B et ergo per
axion a 3. cap. a. partis q. Ideae Logisticae, Xm Bra Xmοεrt Fin 6 r ergo per antitheam, X in B M - X inqm F in X in Bet-Xius die X in B - s i ergo X HB--ε ras in6 tergo per Prob. q. cap. s. lib. I. Logisticae, X . Igitur prius F diicendo in s , atque hoc productum diuidendo per B ' 6, habetur quantitas X : atque hoc modo imientae quantititati X, addendo cognitam quantitatem F , habetur quantitas z. Exempli Gratia supposito casu primi problematis,in quo F α I a ritem et ad 3α 6 ad B, adeoque B zz 9: l atet,--- α quare Xmet ;&Zα3εο atque haec uniuersalis solutio,consona est partieulari mlutioni allatae in primo Problemate.
VIII.'Clauus gradus , consistit in modo, siue praxi , inueniendi cuiustis vulgaris numeri radicem
28쪽
Gradus ad Matheseos intelliontiam . ar
quamlibet, aut veram, aut verae radici proximam veram radicem non habeat. iPRo hoc gradu, primo sciendum qitui sivificet , radix prinia , vel secunda , vel tertia &c. alicuius numeri r quod breuiter ex stimur definitione XII, pag. 6l. Logisticae a iumta hanc cinnitionem , Exempli Gratia, numeri 64 radix prima, est 8: quia numerus 3 semel auctus in seipsim producit Osimuliter numeri 6 radix secunda, est numerus 6: quia numerus εbis ductus in seipsum , producit μ; etenim numerus 6 semel ductus in seipsum , producit 1ει deinde numerus 26 iterum d ctus in numerum Α, Producit Met adeoque numerus 6 bis doctus in seipsum producit M. Secundo,legendo Prius quod pag. I. Logisticae breuiter dicitur de modo legendi scriptionem L gisticam indicantem numerum radicalem , procedendum ad diascendam praxim inuemendi quamlibet radicem proximanu cuiusuis propositi vulgaris numeri r quae praxis satis fiasd pr Ponitur , atque in exemplis declaratur in appendice lib. I. Logisticae. Nota. Si placet scire modum siue praxim componetidi sedimulas quibus in praedicta appendice utimur pro radicum inuen-rione, consulatur epistola H. lib. I. epistolarum Mathemati
NOnus gradus a nobis statuitur , in sufficienti
notitia eorum quae complectimur, primo lesecundo libro nosti ae Logisticae.
PRO hoc gradu, a capite resumenda Logistica, leuiter quidem percurrendo singula quae pro anteceuentibus gradibus lac2a , atque sussicienter intellecta sunt et reliqua vero attentius considerando; singula enim arbitramur satis utilia , licet non aectualiter necessaria sint, aut . equaliter frequens sit singulorum
DEcimiis gradus consstit in doctrina de angulis S triangulis quae a nobis proponitur in tertia
parte 1 deae Logisticae . . . AD hunc gradum pertinent quidem singula quae habentur
in tertia parte Ideae Logisticae, & reliqua in quibus de angulis , aut angulorum mensi iris, radi3s , sinibus &c. agitur, in Minioribus Ideae partibus; ex his tamen magis necessaria sinu primo
29쪽
1 3. et iisdem Ideaer ae.1que Theoremata propesita in parte te tia eiusdem Ideae Logisticae; quiseum sex priora ; fiequentiorem
um habent qtiam reliqua . - ι Nota primo, pro tyronibus, Theorematum ad hunc gradum speetantium dein stationes legere, examinare, atque intelib. gerer utile quidem est, sed non Plane necessarium a proinde, quibus hoc molestum est,i suadere, iconfiteri . vitantrum procurent scire quid Theoremata asserant. pponendo singula legitime demonstrata esse a & tunc tantum. demonstrationes cxaminent, quando veLoccurrit ratio dubitavit. de theorematum veritate vel ciui suas, aut alia utilitas inuitat, ad examen demotuu
Nota secundo. Si pro triangul-m similitum doctrina ad hunc gradum pertinente, desideretur plenior Gruina propo
,ra num aequalium: consulatur subsequens gradus.
X r Ndecimus gradus amplectitur nostram doctri- nam de proportionibus ; quae habetur inpar
te Ideae Logisticae. i. . ' - . . r'. iSCriptionis nostrae finis non est Psita os instruere, aut docere voces proferre, quarum significatio ignoretur: sed ad Matheseos intelligentiam viam ostendere , acqne aperire ἰ quam ob rem etiam in tyronibus abhorremus ignorantiam significationis quae conuenit vocibus , quibus utuntur: atque pro hoc gradu ante omnia requirimus utilitelligant qu0α pluriblis etiam Matheseos scriptoribus hunqiuam in lectum arbitror quid in Mathesi significent voces ratio aut proportio; & virum
Pi oportio Mantitas sit, atque adeoqitantitatibus omnibus com-Huines proprietates admittat; quales sitiat posse addi, subtrahi, militiplicari, diuidi r vel eerte quantitas non sit, adeoque non necessario admittat omisibus quantitatibus communes proprie- tates. Vbi hoc expono iii Logisticae nostrae idea , permixtae sunt Variae controuersiae , atque argumenta contra eos qui nobis asuersantire in hac parte r quoniam vero hae controuersiae initio parum iuuant tyrones , placet hic paucis exponere quid in Ma
thesi significent voces ratio & proportio. Supposito igitur quod . utriusque huius vocis significatio eadem sit, ut haec significatio legitime intelligatur quam hactenus apud nulln inscriptorem inuenire potui suificienter expositam prius notandum, quod
30쪽
quodque haec quantitas per diuersas differentias genericas , atque specificas, contrahi atque restringi possie ,aa diuertae genera& diuersas species quantitatis. Iam vero quantitates restitia ae per disserentias specificas hoc est quantitates specificat, diuidi possunt in quantitates abiblutas de quantitates relatas: per si e cificam quantitatem abiblutam, intelligendo quantitatem spes cincatu praecise sumptain , aut consideratam secundunt se. aut illa quae ipsi intrinseca sunt; di per specificam quantitatem relatam , intelligendo quantitatem speciticam praecise consideratam respective ad aliam eiusdem generis quantitatena, cum qua quoad magnitudinem consertur. Quatilitati specificae absolutae comvenire possunt variae proprietates, quae non possunt conueni specificae quantitati relatae ; di vicissim specifica quantitas rei ta , admittit diuersas proprietates, quae non admittuntur a spe cifica quantitate absoluta : etenim de specifica quantitate abs Iuta dici potest, Exempli Cratia, quod sit continua t quod sit discreta: quod unam tantum vel certe plures extensiiones habeate quod sit recta vel curua : quod sit plana vel non plana : quod sit triangularis vel quadrata, vel rotunda , vel hoc aut isto modo
terminata doc. sed tamen horum nihil dici potest de speeinc quantitate relata , de qua dici potest: quod sit magna: quod sit
parua: quod sit diapto , vel triplo, vel hoc aut isto modo maior, vel minor altera: vel certe illi aequalis, hoc est neque maior neque minor: quae dici non postiuat de specifica quantitate absoli tat siquidem nihil magnum dici potest vel paruum nisi relatum, siue comparatum ad aliud, respectu cuius dicariir magnum vel paruum. His praemissis, nisi male intelligam eos qui de Mathematicis scientijs non male scripserimi; uni Muid Mathemati- eos serino est de specifica quantitate, vix unquam aliud intelligendi im est quam quantitas specifica absolutar ubi vero agitur de proportione, nihil aliud intelligi debet per vocem proportio, quam specitica quantitas relata ; adeo ut quoties de quantitate specifica serino est, atque oppositum expressd non indicatur, vox quantitas, significet illud quod hic appellauimus specificam
quantitatem absolutam r verum vox Proportio, significet illud quod hic appellauimus specificam quantitatem relatam . Hinc quemadmo tum quilibet corpora specifica, vere ac proprie corpora sunt, omnesque corporis proprietates participatu: ita etiam non minus vere ac proprie quantitas est, atque Uiuri caequantitatis proprietates omnes participat, ipsa proportio: tuaim
reliquae specificae quantitates a praeterea quemadmodum Muaebia