장음표시 사용
41쪽
quomodo in sis fidim omnibus , in quibus non agunus' de a gulis : aut ex angulis saltem partialiter dependente triangulorum quantitatumque inter se similium Gruina , maxime utili pro inuentione nroportionis quam inter se habent variae lineae:
vel certe non lamramus in accurata terminorum expostione as. ferenda: praecipua nostra cura versetur, tu iis quη aut nece tia aut utilia sunt, ut non minns circa reliquas quantitates,quam
circa numeros vulgares institui possint, Addictio, Subtractio . Multiplicatio , & Diuisior hoc est quatuor operationes quibus
Logistica nostra iniittitur 3 vel certe, ut compendiata ac com-miaa in iptione exhiberi possint pro cta ex his operationibus. Laboris huius tactus apparet in paucis uniuersalioribus veritatibus statuendis , aut ex his facile inferenta, fere innumeris diauersariun quantitatum proprietatibus,quarum cognitio pertinet ad Mathesim . Ad finem in hoc decimo quinto gradu propositum etiam maxime utiles arbitramur, sex priores epistolas libri primi epistolarum Mathematicarum quarta praetermissa; Rroindeque, ut iam de Idea Logisticae diximus,lta etiam dictae epistolae non exiguo fructu legerentur; pro fine hic proposito.
DEcimus sextus gradus consistit, in intelligentia
praecipuarum proprietatum, quae conueniunt, vel omnibus, vel tantum aliquibus ex numeris contentis tribus numerorum speciebus inter se diuersis rquarum una constituitur a numeris vulgaribus integris , fruc est pro denominatore habentibus unitatem risera a numeris vulgaribus fractis, siue pro denominatore habentibus numerum diuersum ab unitate: temtia a numeris radicalibus .
P RO hoe gradu evranda intelligentia eorum qirae continentur Epistola 4. libri I. Epistolarum Mathematicarum . Doctrio in hae quarta Epistola propositae , amnis est illa , quae continetur eiusdem libri Epistola 7. in qua singillae septimi libri E elidis propositiones, Ordine proponuntur & demonstrantur m rhodon inae Logisticae:has demonstrationes cum Euelideis mi serre maxime utile siret, pro illo qui desiderat intelligere, an,vel quomodo armerorum Droprietates stabiliendi mosius, qui Euρ
42쪽
Gradux ad Matheseos intelligentiam 3 s
clideae Arithmeticae magis proprius est, diffluat a modo qui no- strae Logisticae proprius est. Pro utriusque citatae Epistolae doctritia, diligenter aduertendum a iuxta nostram Logisticam , . quamlibet discretam quantitatem esse numcirum: di quemlibet numerum esse discretam quantitatem; deinde non dari numeros diuersi generis , licet dentur quantitates cominuae diuersi se-ncris: sed tamen inueniri multas numerorum species diuersas inter se: atque numeros vulgares integros, & numeros vinares tractos, tum inter se, tum a numeris radicalibus specie di re; praeterea has tres numeroriun species magis uniuersales, subdiuisibiles esse in varias species magis restrietas, & prioribus conteiitas : atque pro hac praedictaruin specierum subdiuisione, differentias specificas de imi posse , primo a diuersitate denominatorum quem admittunt numeri omnes , siue vulgares sint, siviradicales . Secundo adiuersitate inditiiduorum quae indicantura numeratoribus vulgarium numerorum, aut a numeratore numeri qui post asterismum scriptus est, in radicalibus numeris.
Iam vero in A. & 7.Epistola considerantur numeri pertintaites ad praedictas tres species munerorum, abstrahendo tamen a diuersitatibus specificis dependentibus a diuersitate indiuiduorum,quae indicari positini, vel a numeratoribus vulgarium numerorum, vela numeratore numeri post asterisiarum scripti in radicali numero : siue supiκγnendo quod isti numeratotes seinper indicent eiusdem speciei indiuidua. In hac hypothesi consulerando numeros tum vulgares integros, tum vulgares stactos, tum etiam radicalest in citata A. Epistola proponuntur variae proprietates, penes quas inter se conueniunt, vel ab inuicem differunt: atque ostenditur Exempli Gratia dari plurimas proportiones inter continuas quantitates, quae per nullos praedictarum specierum numeros vulgares integros , aut fractos , indicari possuit: licet istae proportiones indicari possint per numeros radicales. Similiter licet multi numeri vulgares radicem primam habeant, siue produci possint ex aliquo vulgari numero ducto in se r tamen de- Inonstratur multos vulgares numeros inueniri, qui non habeant radicem primam: siue qui produci non possint ex ullo vulgari numero ducto in ledicet produci possitat ex numero radicali duceo in se. Pari modo probatur, quod licet quilibet vulgaris integer numerus, ductus in quemlliat vulgarem integrum nurne-riim, producat vulgarem integrum numerum : tamen numerum
vulgarem frae una, ductum in alium vulgarem fractuna, non minus posse producere numerum vulgarem aequivalentem intecto, E a ' quam
43쪽
36 Clauis Logisticae Cap. III.
quam non aequi ualet tem integro. De his alis sque huiusnodi proprietatibus, penes qua S com eniunt, vel inter se differunt ni meri contenti indicatis tribus speciebus numerorum, atque comsideratis in hypothesi paulo ante indicata, agitur in Epistola . si quis velici conferre , aut Epistola: septimae propositiones . cum propositionibus libri T. Euclidis: aut illa quae Epistola . tradimus de quantitatibus il commensurabilibus, cum iis quarile hi ς quantitatibus Proponuntur libro I o. Euclidis: aduertere debet, quod etiam ab Euclide numeri considerentiir in illa hypotheli, in qua ante monuimus considerari in A. N 7. Epistola: tamen ab Euclide , ex tribus numerorum ἰdiuersis speciebus quae
a nobis eoii siderantur, tantum Vnica illa expenditur, quae constituitur a vulgaribus integri S numeris I adeo ut iuxta hunc autho- rem sussiciat aliquid verum esse de numeris vulgaribus integris , ut asierat uniuersaliter Verum esse , atque omnibus omnino ni meris conuenire : sic Exempli Gratia, iuxta Euclidem verum est,
omnium omnino numerorum coin intinem mensuram esse vilitatem ; tametsi verum non sit Vulgarium stactoriim, aut radicatiuinnumerorum omnium, communem mensilran esse unitatem ; atque tantummodo verum sit, omnium integrorum vulgarium numerorum communem mensuram esse unitatem, considerando
istos numeros vulgares integros , ita ut semper eiusdem speciei Vnitates indicent, hoc est, in hypothesi quam paulo ante diximus, Euclidi & in citatis Epistolis nobis communem; dixi considerando istos numeros vulgarcs in hypothesi paulo ante indicata :Etenim supposito quod ex duobus numeris vulgaribus integris unus sit numeruS decem Palmorum , alter sit num crus decem Ic- dum i qui vulgares integri numeri inter se specie diiserunt, diuersitate specinca desumpta ab indiuiduis quae indicantur: hoc inquam stipposito , falsum esse potest, quod detur vlla unitas que sit me iisti ra communis utriusque istius numeri vulgaris atque integri & tamen quidquid sit de aliorum speculatilia Arichmeticae doctrina, nemo ut opinor versatus In Practica Arithmetica vulgari negare potest, Praedictos duos numeros , aut elie vulgares , aut esse integros , aut inter se specie differre .Qu do in nostra Logistica, consideranda , atqtie adeo indieanda est huiusmodi diuersitas specifica, eam indicamus per di- gnitatem numerorum denominatorum; ipsa enim dignitas , ex vi praecedentis hypothesis indicat, qualia sint indiuidita a nun -
ratoribus indicata : adeo ut numerus ut0garis Io, & numei: Sdenominatus Io Α : Specie conueniant, atque inter se aequalis
44쪽
Gradus ad Matheseos intelligentiam. 3 7
sinit supposito qnod eiusdem speciei individuum indicetur, ta in ab unitate vulgari, quam at dignitate Α; Uerum numerus vulgariS IO , numerus denominatus Io Α , inter se specie diuersi atque inaequales erunt: facta hypothesi quod unitas vulgaris dignitas Α, non indicent eiusdein speciei individuum; quemadmodum autem non aliunde quam ex hypothesi dependec , quod dignitas A significet certae atque determinatae speciei iii liuiduum : ita etiam non aliunde quam ex hypothesi dependet, quod viaitas vulgaris significet certae atque determinatae speciei indiuiduum ; dc secundum se considerata , aut unitas vulgaris . aut quaevis dignitas,eanidem indifferentiam habet ad si glii ficanduni cuiuscunque speciei indiuidi unaa : hinc in methodo nostrae Logisticae : siue ut speculative considerentur, siue ut in praxi adhibe tur , numeri diuersae speciei indiuidua indicantes, utiles sinat nostri numeri denominati; licet vero in praetica Arithmetica vulgari plane communis, & obuius lit ustis numelorum Vulgarium, qui differentiam specificam mutuentur a diuersis ita diuiduis qtio per tales numeros indicantum atque haec practica vulgaris Arithmetica subordinata sit speculativae Arithmetice traditae ab Euclide : tamen non liuiemo viri in hac speculatilia Arithmetica considerctur diuersitas specifica , quae conuenire potest numeris ex diuersitate indiuiduorima quae Indicantur. Ni forte aliquis hoc apso ex capite arbitretur, pro specillativa Arithmetica inutilem considerationem iuimeroruin specie differentium exco quod diuersas unitates indicent: praesertim cum minime probabile , ideri possit, ab Euclide praetermissana utilena aliquam mi merorum considerariolamir meminerit inter maxime celebres Euclidis propositiones speculatilias, numerari illam quae asicrit, eiusdem quadrati diametrum & latus esse quantitates inter se incominensurabiles : atqtie adeo inueniri continuas quantitates inter se in commensurabiles; quo cognito , quid magis pronum, quam inquirerer, utrum possibiles sint duae discretae quantitates inter se incoinmensurabiles. Vbi speculatiui huius dubii solutionem Euclides asserat ignoro immo non satis ast equor quomodo ex
Pluribus eius speculationibus inferii possit; pris extim si pro hac
quaeitionc quae ad speculati uana Arithmeticam pertinet, atque non minus scitu digna , aut utilis est , quam virum dentur conti-miae quantitates incommensurabiles inter se non considerentur numeri, qui differentiam specificam mutuantur ab indi ciduis quae indicant. Uid ad hanc quaestionem dicendum ii ix ' Logi-iticae nostrae docilitiam , satis constat ex citata A. Epistola ; utile
45쪽
33 Clauis Logis icie Cap. III.
ramen foret , etiam leεere dubium decinium capitis s.
DEcimus septimus gradus requirit fundamenta
doctrinae de conicis sectionibus, & triangulis aut parallelogrammis cylindricis.
ΡRo hoe gradu seruit pars sexta Ideae Logisticae . In hac parate propositorum elementorum utilitas, di ' usus, melius ain
parebit ex secundo libro Ideae Logisticae , quando prodibit in lucem ; interea assignare non possum authorem, apud quem plura legi possint de triangulis aut parallelogrammis cylindricis: quandoquidem ignorem Mathematicorum aliquem Rripsitae de hac materia. Qui de conicis sectionibus bene ,& fuse scripserint,
Plures inueniuntur; tum antiqui, tum etiam moderni authores; verum inter hos nullum inueni qui stabilitas proponat paucas praecipuas atque maxime necessarias propositiones , ex quibus caeterae ad eamdem materiam spectantes satis commode possint inferri: quemadmodum ex paucis propositionibus in Idea Logi Deicae prius stabilitis, inseruntur Euclidis aut Archimedis propositiones: propositae cae. 3. partis 3. Ideae Logisticae; neque contendo ad talem finem sussicere quae proponuntur in sexta parte Ideae Logisticae; haec tamen, licet a pauco tempore impressa sint, non paucis profuerunt, tum ut aliorum de conicis sectioni-hus lucubrationes intelligerent, tum etiam ut in his , nonnullos qui irrepserant defectus aduenerent, atque emendarent. Superatis his gradibus, per materias Mathematicas magis arridentes liberer diuuandi facultatem concedendani puto. Vt commodius , atque magis via-λαni me liodo possint proficere tu materiis Phisico-M thematicis,
parum arbitror profutura principia Physica quibus utor, quae tamen hisenus publici iuris facere integrum non fuit.
46쪽
Proponuntur, &soluuntur aliqua dubia , siue quaesita: quae Mathematicarum scientiarum candidatis videntur scitu utilia.
DVbium primum. Eadem propositio, non potest esse rig
rosunt axioma, hoc est prolκγsitio per se nota; & theorema , hoc est propositio non per se nota ; sed propositio contenta axiomate 3. partis Α. Ιdeae Logisticae, bene ab Euclide proponitia inter tiaoremata, & etiam in capite 8. libri I. Logisticae constituit theorema ergo in parte . Ideae Logisticae , haec eadem
propositio male numeratur inter axiomata, atque tertium axi ma , non est verum axioma rigor surn. Respondeo distinguendo maiorem , eadem propositio non potest esse ex termitiis nota siue axioma rigorolam, & non exterminis nota siue theorema, lappositis hinem terminis sitieis
definitionibust, concedo maiorem r sumsitis diuersis terminis siue definitionibus, nego maiorem; sed propositio contentia axiomate partis ψ. Ideae Logisticae, bene ab Euclide, & in primo libis Logisticae , a nobis numeratur inter theorematardi ctinguo minorem di sippositis definitionibus quae ab Euclide vel a nobis in libro primo iapponuntur , concedo minorem: simpositis definitionibus quae a nobis adhibentur in parte A. Ideae Logisticae nego minorem : & nego consequentiam. In capite 8. libri primi Logisticae expresse monemus , supeoni a nobis doctrinam de proportionibus, propositam in libello nostro quem inscripsimus Geometriae planae elementa et quae doctrina proxime conuenit cum illa quam P. Andreas Taquet proponit in suis Geometriae elementis: de qna doctrina plura noto cap. I. par ris Α, Ideae LNistieae de expresse moneo me deserere hane do,
nam a me prius adhibitam: adeo ut illa quae de proportionibus dicimus in primo libro Logisticae, vera lint, sirpposita doctrina , vel a me , vel a P. Taquet tradita in Geo triae elementis 3
47쪽
o Clauis Logisticae Cap. IIII.
vertitii iuxta soliuiorem nin talior Proportionum doctrinanici iam propono in A. parte Ideae Logisticae : theoienia A. pap.
lib. I. Logiiticae . ni verum atque rigorosum axioma ; quandoquidem immediate pateat eius veritλs , ex rationum aequali uimilasinitione, quae proponirur cap. a. partio A. Ideae ; quo a caput. legere iuuaret, si dubium occurrat an haec definitio sit legitima. Similiter iuxta nostram proportionum doctrinam propositam in parte A. Ideae fiunt theoremata , variae propositiones quae cap. s. libra i Logisticae iuxta aliam proportionum doctrinain asteriintur vera axiomata: ut intelligetur, si axioma 8. lib. I. L gisticae conferatur cum theoremate 3. cap. 3. partis A. Ideae Lo
Dubium secundum . Ab Euclide , aut eius commentatoribus annotata axiomata , sufficiunt pro doctrina elementornm Geo metriae N Arithmeticae : igitur superflua , quae liis adduntur cap.. I 3. partis a. Ideae Logisticae. rRespondeo. Ab Euclide &eius commentatoribus non expresse annotantur singula axiomata, quae in discursibus supponuntur atque allumuntur, licet. sint minus clara illis ipsis propositionibus quae expresse anilolaiatur inter axiomata utinam hoc non stequenter accideret ut constet hoci accidere , sussicitii faurima propositio lihri Prinia clementorum Euclidis, & videre , quae circa hanc propositionem notantur in scholio pag. Loet. I. epistolarum Mathcinati caruin. Dubium tertium . Axiomata ab Elaclide proposita , atqui passini in scholis Mathematicis usitata , sine necessitate aut utilitate immutare est sine fructu repraehensibilem noxiam nouitatem affectare; atqui hoc tit.in Logistica , ut patet, si cum Piomatibus propositis cap. II. partis 2. Ideae Logisticae, coii- ferantur axiomata propinita ab Euclide : ergo male mutant
Respondeo concessa maiori, nego minorem ; ut vero sumi cienter intelligatur quo fimdamento negetur minor, satis est le- gere atque attente considerare, Pauca qui hac de re noto cap. .
I . partis a. Ideae Logisticae. VDubium quartum. Per solam vulgarem Arithmeticam &ςius regulas quae in Logistica negliguntur, possunt etiam facilius atque commodatis soluinusta problemata, quae soluuntair per Logisticae regulam : sed frustra & male longiori atque dimciliori via quaeritur,quod magis compendiata ac commoda via
licet consequi: igitur male uegliguntur istae regulae Λtistineticae
48쪽
Respondeo: concessa maiori r caeteris paribus concedo inita rem: caeteris disparibus nego minorem , & nego conseque tiam . Circa distinctionem minoris, nota Arithmeticam vulgarem de praeticam de cuius regulis in prorosito argumento agitur , esse artem Mathesi subordinatam, quae stras regulas accipita Mathesi speculatiua , quae est scientia; cum igitur intentum nostrae Logisticae sit docere illam Mathesim quae scientia est, quamque in primo capite diximus artium dominam:non omnia quae pro artibus aliquibus utilia sunt reputari debent utilia pro scientia hutiis modi artium domina. Deinde parriculares regulae, plerumque singulae magis commodae sunt unitiersalioribus: non ideo tamen totam particularitim regularum multitudinem simul discere , atque retinere , facilius est, quam discere atque retinere unam uniuersaliorem , per quam solam haberi possiit,
quidquid per particulares omnes simul haberi potest; quaiul quidem igitur per unicam Logisticae regulam etiam scientifice inferri posse, quidquid pure practice Infertur , per practicae
Arithmeticae regulas omnes simul sumptas: ac praeterea alia Propemodum inra aera, pro quibus nihil tutiant dictae regulae Particulares: negligimus istas regulas , non ut omni ex parti inutiles , sed ut non nece si arias . Dubium quintum. Vnitatem numerum appellare, est contra
conceptum communem minaerimon tantum iuxta Euclidem qui
dicit quod numerus sit ex vilitatibus composita multitudo , ted etiam iuxta Calepinum, atque apud Grammaticos usitatam huius vocis expossitionem;igitur Arithmeticae introductionis cap.6.item Pag. II et . alibi male statuitur quod unitas sit numerus, Respondeo. Verum quidem esse, quod ubi Euclides aut eiusitata retes asserunt numeri definitionem,ita numerum definiant, ut haec definitio non conueniat unitati; de tamen nisi fallor iuxta horum authoruiti doctξinam continuer proportionalium numerorum series dicenda est illa , in qua primus terminus est unitas diuisa per binarium , secundus terminus est vilitas, tertiui verminus est binarius. Deinde non minus numerorum additioni , subtractioni, multiplicationi, atque diuisioni, annumerant praxes: in quibus circa unitatem & aggregatum unitatum, eiusmoeli operatio instituitur: quam reliquae , in quibus talis operatio instituitnr circa duo unitatuna aggregata. Verum
quidquid sit de definitione numeri, quae ab Euclide atque eius interpretibus affertur di vel an singula quae deinde denuinetis Μςndo tradunt coheream cara hac desitatione; nouum non est Disi irco by Coos e
49쪽
4 a Clauis Logisticae Cap. IV. .
in nostra Logistica Euclidis uefinitiones non admittere : neque ad hoc tenemur, qui eius doctrinam non sequiniur. Qimd spectat ad Grammaticos , si apud ipsos unitas diei non possit numerus o non percipio , quomodo numeros suos dividant in si gulares plurales, vel certe in singulares, duale s, & plurales . Verum de vocum significatione, Grammaticales disi utationes instituere, ad nos non pertinet. Dubium sextum. Inusitata ab omnibus vulgaris & practicae Arithmeticae cultoribus regula aurea, qua ex datis tribus numeris inuenitur quartus proportionalis , manifestum est, secundum & tertium numeriim posse inter se specie disserre , di tamen pro inuentione quarti numeri proportionalis praescribitur , ut secundus de tertius numerus simul multiplicentur e ex qira constat, duos numeros diuerset speciei simul multiplicari posse: adeoque Exempli Gratia numerum quinque Iuliorum numerum quinque Aureorum simul multiplicari posse. Quaero igitur, quisi merus Producatur ex praedictis duobus numeris simul multuplicatiS.
Ratio dubitandi est: quia si dicas ex hac multiplicatione produci numerum 23 Iuliorum: oppositi im sic probatur. Supposito quod quaeratur , unus Iulius lucratur quinque Iulios , quinque
Aurei quid lucrantur i manifestum est quod per simplicem p
stremorum duorum numerorum multiplicationem, producatur
quartus numerus proportionalis: sed etiam in casu proposito manifestum est, quod quartus numerus proportionalis non sit numerus as Iuliorum et ergo ex multiplicatione duorum postr morum numerorum, hoc est ex multiplicatioiae de qua quaestio instituta est,non producitur numerus as Iuliorum. Si dicas productum ex praedicta multiplicatione esse numerum 23 Aureorum roppositum infertur tali argumento: Supposito quod quaeratur, unus Aureus lucratur quinque Aureos,quinque Iulis quid lucra, eis i manifestum est, quod ex simplici multiplicatione duorum
postremorum numerorum producatur quartus numerus propor-
tionalis i sed etiam in casu Woposito satis patet, quod quartus
numerus proportionalis non sit numerus as Aureorum : ergo ex multiplicatione duorum postremorum numerorum , hoc est ex multiplicatione de qua quaestio instituta est, noli producitur numerus as Aureorum. Si dicas neque produci mineralia 23 Iulio n , neque numenim a s Aureorum et oppositum concluditur tali argumento. Supposito quod quaeratur unus Iulius lucratur,
quinque Λureoa , quinque Iesu quid lucrantur imantissum est.
50쪽
quod per simplicem postremorum duorum numerorum multi. Plicationem producatur quartus numerus proportionalis r sed etiam in casu proposito satis patet, quod quartus proportion
lis ninaerus sit numerus 2s Aureorum: ergo ex multiplicatione duorum postremorum numerorum , hoc est ex multiplicatioue de qua questio instituta est, producitur numerus as Aureorum . adeoque aliquis ex duohus numeris, quorum unus est, Iuli
Qitiindoquidem ex allatis argumentis constet ad propositam qiiaestionem responderi non posse quod ex multiplicatione doqua agitur, quaeque ad vulgarem practicam Arithmeticam per
tinet, producatur vel numerus as Iuliorum,vel numerus as Aur orum: hoc est aliquis ex duobus numeris quorum unus est a Iaseliorum,alter 23 Aureorum:& tamen etiam responderi non possit
quod ex hac multiplicatione nullus ex istis duobus numeris producatum videndum est quid responderi possitanquemfinem . Notandum, quod dicitur pag. 61. Arithmeticae introductionis ad Logisticam : nimirum in practica Arithmetica unuui numerum per alterum multiplicare,nihil aliud esse quam instituere. regulam auream in quo ex tribus datis numeris primus est vitiaras. Hinc patet, quod quaerere productum quod Oritur ex murutiplicatione duorum humeroriura , quorum unus sit numerus quinque Iuliorum, alter sit numerus quinque Aureorum: nihil aliud sit, quam quaerere quartum numerum proportionalem , in casu, in quo primus numerus est unitas, atque ex secundo & temtio numero unus est numerus quinque I illi uni, alter est num rus quinque Aureorum ; quae quaestio sumienter determinata non est, nisi stati iatur, cum quo ex duobus posterioribus num ris speciei conueniat unitas, quae constituit primum ex tribus terminis pro regula aurea requisiris , ut quartus proportionalis inueniatur, quaeque pro regula aurea ad longum imposita , expresse proponitur, verum in Compendiata regula aurea quae
multiplicatio dicitur, subauditur. Re ndeo ad propositum dubium. In multiplicatione de qua agitur quaeque iuxta notam hic praenilisam , est regula a rea compendiata in qua primus terminus est unitas , atque Iniamus terminus non exprimitur, sed subauditur unitas quae subauditur, vel est unus Iulius , vel est unus Aiueus: in primo casia ex multiplicatione proposita producitur numerus 23 Aureorum , ut insertur in argumento rei tio loco propolito ini ratione dubia
tandi a in secundo casu numerus qui ex imittiplicatiqne prόd