장음표시 사용
61쪽
σ1 SECTIONUM CONICA Ru MV. Atque hinc modo plura nobis der/vantur. Nimirum primo , quod si uni ex a xl-b0s, veluti KL , ducantur duae parallelae OR, PQ, convenientes cum asymptotis , ct hyperbola 3 rectangulum sub segmentis uni u OMR aequale sit tectangulo sub segmentis alterius P SQ ue quum utrumque sit aequale quadrato, quod fit ex CK. Secundo , quod si per eadem hyperbolae puncta M, & S ducantur duae quaevis aliae parallelae TU,XZ,ad utramque asymptotum pariter terminatae , rectangulum TMU sit etiam aequale tectangulo XSZ . Nam rectanguliam OMR ad tectantulum T MV rationem habee
compositam ex MO ad MT . & ex MR ad iMU; sive etiam ex SP ad SX,S ex SQ ad SE quum aequiangula sint, tam triangula OMT, PS X , quam triangula RMU , QS Z . Sed
duae istae rationes componunt pariter rati in
nem , quam habet rectangulum PSQ ad tectangulum XSZ. Quare erit ex aequali, ut rectangulum UMR ad rectangulum TMU , ita rectangulum PSQ ad tectangulum XSZ: RPropterea , sicuti rectangulum OMR est aequale rectangulo PSQ , ita quoque rectangulum TMV aequale erit tem neu lo XS Z. Tertio , quod etsi rectae M V , S Z non sint in directum cum rems MT , SX, modo . tamen parallelae sint Inter se , tam istae , quam illae, semper rectangulum TMV sit aequale reactangulo XSZ . Quum enim adhue aequian. gula sint , tam it langula OMT , PS X , quam triangu Ia RMu , in Z ἔ semper quidem erit, ut rectangulum OMR ad rectangulum
62쪽
TMU , ita rectantillum PSQ ad rectangulum XS Z. Unde, si cu ti rectangulum OMR ostenissum est aequale rectangulo PS Q, ita quoque rectangulum TMU aequale erit rectanguloxSZ. Et quarto demum , quod , si rectae M T , Fio. 26 SX , ad unam asymptotum ductae , sint parallelae alteri astmptoto, rectangulum CTM sit aequale rectangillo CXS. Nam , completis parallelogrammἰs CM , CS , erit rectangulum TMV aequale rectangulo XS Z. Sed , ob rein quales MV , CT, rectangulum TMV est aequale tectangulo CT M. Pariterque, Ob aequa. les S Z, CX, rediangulum XSZ est aequale rerictangulo CXS . Quare erit etiam rectanguintum CTM aequale tectangulo CXS. VI. Asymptotis hyperbolae competit
etiam haee alia proprietas , quod portiones cuin
iussis rectae, hyperbola , ct a mptotis intercepta, inter se t aequales.
Maneant enim omnia, ut supra, ct duc Fici. a . tur utcumque remo R, quae tum curvam, cum a lymptotos secet. DIco portiones duasMO , SR , hyperbola , ct asymptotis intercein
Pta , aequales esse inter se. Jam enim,ex ostenssirecta neu Ium ΟM Rest aequale rectangulo OS R. Sed, sem OR hi- satiam in puncto N,aequalia sunt quoque quadrata quae fiunt ex ipsis No,NR. Quare erit, ut No quadratum ad rectangulum OMR, Ita NR quadratum ad rectangulum OSR;& convertendo erit etiam, ut No quadratum ad
MN quadratum , ita NR quadratum ad SN
63쪽
so SECTIO NuΜ CONICA Ru MHine, quum sit, ut No ad MN , ita NK ad SN ; erit rursus convertendo , ut NO alMO, ita NR ad SR. Sed duae NO, NR in te e se sunt aequales , quum ex construditone tota ΟR hi sedia si in puncto N . Quare etiam aequales erunt duae Mo , SR. VII. Ex hac autem proprietate prono aliveo fluit, quod si recta, ad uis totum term nata , bifariam fecta sit in puncto , in quo ιν- perbola occurrit, ea sit tangent ipsius hype
bala. Recta etenim PQ, terminata ad utram. que asymptotum , secetur bifariam in puncto T, in quo occurrit hyperbolae. Dico, eandem
rectam PQ contingere hyperbolam in solo puncto T. Si enim fieri potest, eadem recta PQ ociscurrat etiam hyperbolae in puncto U. Itaque. per ostensam proprietatem, duae PT , QV aequales erunt inter se. Sed ex hvpothes PV
est aequalis ipsi QT . Quare duae QU, QT in
ter se erunt aequales. Quod fieri non potest. VIII. Rusdem proprietatis ope , licebit etiam, conversum hujus ostendere. Nimirum, quod si tecta PQ, hyperbolam contingens in T, ad utramque asymptotum terminetur; portiones ejus PT, QT inter se sint aequales. Ducatur enim recta alia OR , ipsi PQ parallela , quae secans hyperbolam in punctis N , R S , cum utraque asymptoto simillier conveniat. Jamque, si per punctum contactus T diameter ducatur . erit ejus ordinata recta NS ς tuleoque e dem M S a diametro illa bisa. tiam secabitur tu N. .
64쪽
Quum igitue aequales sint inter se , Minduae Mo , SR, quam duae MN, SN, erit tota No toti NR pariter aequalis . Sed No est ad
NR , ut PT ad QT. Quare duae PT , QT
etiam aequales erunt: & propterea tangen PQ bifariam secta erit in puncto contactus T. IX. Atque hinc modo , determinatis Θ- pectola aBmptotis , nullo negotio ducetur tam gens ad aliquod ejus patruum . Maneant enim ia.
omnia, ut supra . Et oporteat , tangentem dueere ad punctum hyperbolae T. - ad Maena aem. . Ducatur ex puncto T recta TX, paralle. 'la asymptoto CH , quae conveniat eum asynis' ς'*7'ptoto altera CE in puncto X. Captatur postea tu per eadem asymptoto C E portio DX aequalis ipsi CX. Et recta Pin dueta per punctumT, erit tangens quaesita. Quum enim ex constructione paralleIae
sint rectae TX, CQ ; erit, ut PK ad CX , ita PT ad QT. Sed ΡX posita est aequalis ipsi CX . Quare etiam PT. ipsi QT aequalis erit:
S propterea per ea, quae mox ostensa sunt, re. Eta PT tangens erit hyperbolae. . . X. Ex ostensa tangentis proprietate il- ... Iud etiam consequitur , quod si duae BFperbolae tangentes, ad utramque asymptotum terminentur, ea tu eadem ratione fefrae sint is puncto, in quo μι mutuo occurrunt. . s. a Manentibus namque omnibus , ut supra, VI V . 's ni P LEH duae hyperbolae tangentes , ad utramque asymptotum terminatae . Conve- FIO. 28. niant autem tangentes istae inter se in puncto
65쪽
ah A tectae TX , AT asymptoto CH paralle-
De, quae conveniant cum asymptoto altera CE
in punctis X , S Z. Et quoniam , ex superi ostensis tectangulum CXT est aequale rectangulo CZA;etit ut CK ad CZ,ita AZ ad TX. Quia autem, ob tangentes PQ, ΕΗ his ctas in punctis contactus T, & A , rectae CP, CE sunt duplae ipsarum CX, CZ; erit, ut CXad CZ, ita CP ad CE. Et simiIiter, quia , ob easdem tangentes, rectae CH, Caelint duplae ipsarum AZ , TX ; erit, ut AZ ad TX , ita CH ad CQ. Unde erit ex aequali, ut CP ad
CE, ita CH ad CQ. Hine triangula duo PCQ , ECH aequalia
erunt Inter se : proindeque . ablato communi trapetio CEU , erit quoque triangulum
PE U aequale triangulo V . Quumque duo
sta triangula habeant unum angulum uni an gulo aequalem ἰ habebunt quoque latera ei cum aequales istos angulos reciproce proporis
XI. Exinde vero consequitur ulterius. tangestem overbolae, ad utramque a Imptotum terminatam, aequalem esse conjugatae illius diametri, quae transit per punctum contactur.
Jam enim ostensum est, PU esse ad QU. ut est HV ad ΕV . Quare , addendo antecedentes consequentibus erit, ut P V ad PQ, ita HV ad EH; &, capiendo consequentium dimidia,erit quoque,ut PV ad PT, ita HV ad HA. Quoniam autem , dividendo , TV est ad PT, ut A V ad HU ; capiendo rursus cons quentium dupla, erit, ut TV ad PQ, Ita A U
66쪽
.d ΕΗ 3 Sc permutando erit etiam . ut TV ad AV, ita PQ ad FH.
Iam per ea . quae superius ostensa sunt, TU est ad A V , ut est conjugata diametri, quae transit per punctum T , ad conjugatam diametri, quae transit per punctum Α . Quare ex aequali in hae eadem ratione erit pariter tangens P Q ad tangentem ΕΗ . Atque hoc quidem generaliter verum est , ubicumque capiantur puncta contactu T. & Α . Quare verum etiam erit, quum Punctum Α est vertex axis hyperbolae. Sed in isto ea su tangens ΕΗ aequalis est axi conjugato . Et igitur etiam tangens altera PQ aequalis erit conjugatae diametri, quae transit per punctum eontactus T. XII. Ex quibus modo prono alveo fluit, .
o mptotos eso diagonaler, non modo ejus parat. θmνωιI Missigrammi, eaod describitur circa axes conjugatos Θperbola. verum etiam e uslibet alterius parauelogrammi , circa duas quoscumque diametros coniugatas deferisti. ε--Quod quum ita sit, liquet etiam alymptoto. hyperbolae determinari posse adhibitis, non solum axibus , verum etiam duabus quibusvis aliis diametris conjugatis ἔ quum diagonales parallelogrammi, descripti circa dia metros , sint etiam diagonales parallelogram- mi, quod describitur circa axes. Unde sequitur quoque , quod si per alia quod hyperbolae punctum recta ducatur . ali cui diametro parallela , quae cum utraque asymptoto conveniat ; rectangulum , quod sub ejus segmentia continetur , sit aequale
67쪽
XIII. Illud quoque nolim hic silentio
praeterire , quod angulus , sub osFmptotis comprehensus, sit rectus, obtusus, vel acutus,prout axis ipsius operbolae est qualis , minor , ve major suo conjugato. Sint enim AB, KL duo axes hyperbolae, sintque etiam EG , FH binae ejus asymptoti. Dico , angulum ECH , contentum sub asymptotis , esse rectum , obtusum , Vel acutum , prout axis AB est aequalis , minor , vel malost conjugato suo KL. PonamuS primo , axes AB , KL aequales esse inter se. Et quoniam recta Eld , quae hyperbolam contingit in A, est aequalis ipsi KL; erunt AB, ΕΗ pariter aequales 3 ct consequenter, tam AE , quam AH ipsi CA aequalis erit. Unde angulus ECH aequalis erit duobus a gulis CEH, CHE; atque adeo rectus erit. Ponamus secundo, axem AB minorem esse coniugato suo KL . Et quoniam tangens FH est aequalis ipsi KL ; erit AB minor quoque , quam EH ι & consequenter C A minotitidem erit unaquaque ipsarum AE, AH. Unde angulus ECH major erit duobus angulisCEH, CHEi S propterea erit obtusus. Ponamus denique , axem AB majorem esu suo conjugato ΚL . Et rursus , quia tangens ΕΗ est aequalis ipsi KL ι erit AB major quoque,quam EH; S consequenter CA major itidem erit unaquaque ipsarum A Ε, AH . Unde angulus ECH minor erit duobus angulisCEH, CHE; atque adeo erit acutus. . XIV. Cae.
68쪽
XIU. Caeterum . quod a 'mptoti sint re- XIV. ε x, quae ινρerbolam contingunt in pusuis ex- tremis, sive infinite a centro dipantibus , facile M i ,-- quidem erit ostendere. Contineat enim hyperbolam in puncto
quovis E recta ET , quae conveniat cum a Xe eoAινε δ .
AB in puncto T. Sitque etiam A X recta. quae eandem hyperbolam contingit in A. osten ' φ' sedendum est, tangentem ET asymptotum fieri, ubi punctum contactus E abit in infinitum. Ut tangens ET asymptotus fiat , duo
quidem requiruntur. Primum est, ut punctum T accedat ad centum ipsius hyperbolae C. Alterum, ut A X aequalis fiat dimidio axis conjugati CΚ . Unde eo res redir, ut ostendamus, duo ista obtineri, quotiescumque abit in infinitum punctum contactus Ε.
Ducatur itaque ad axem 4B ordinata EG . Et, propter tangentem ET , erit, ut CT ad CA, ita C A ad CG. Sed, abeunte in infinitum puncto E , CA fit infinite minor respectri ipsius CG . Quare etiam CT infinite minor erit relate ad UA: ct propterea punctum T ad
Deinde, quum punctum E abit in infiniatum, rectangulum AGB non differt sensibiliter a quadrato , quod fit ex CG , sive TG; quum disserentia sit quadratum ex CA , sive ΤΑ , quod evanescit relate ad quadratum eXCG, sive TG. Unde erit, ut EG quadratum ad rectangulum AGB , ita idem EG quadratum ad TG quadratum. Jam propter hyperbolam,ΕG quadratum est ad rectangulum AGB , ut CK quadratum . . Tom. H. E ad
69쪽
εέ SECTIO NuM CONICARUM ad CA quadratum . Et, ob triangula aequia
gula TGE, TAX, EG quadratum est ad TG
quadratum . ut A X quadratum ad TA , sive CA quadratum . Quare erit ex aequali, ut CK quadratum ad CA quadratum , ita AX quadratum ad idem CA quadratum : & propterea duae AX , CK aequales erunt inter se. I. I . XV. Nolim autem hoc loco reticere,
is ' osod eaedem a mptoti considerari quoque poset . sint veluti ultimae hypersolae diametri r quaaιam ενι. ratione iis ellipsis diametris correspondoit , qua inter se sunt aequaler. Sint enim AB , KL axes ellipsis, circa quos describMur parallelogrammum EFGH.ς Ducuntur in parallelogrammo isto diagona-
0 3ψ les EG, FH. Et quoniam hujusmodi diagonales dividunt bifariam latera opposita alterius parallelogrammi AKBL ς per superius ostensa, eae erunt diametri ellipsis aequales. Verum quidem est, quod diametris hisce non competit illa eadem proprietas , quae in hyperbolae aiymptotis obtinet . Ibi enimoli enim est , quod si uni ex axibus , veluti XL , parallela agatur OR , quae tum hyperis holam , cum asymptotos secet, rectangulum OMR sit aequale quadrato ex CK . Quod tamen in ellipsi minime locum habet. Interim,si consideremus, quod rectanguintum OMR sit aequale differentiae quadrato- tum MN, NO ; si inite quidpiam etiam in elliis psi comperiemus . Nam ducta hic quoque reis dia o R, ipsi KL parallela, quae secet tam elli psim , quam diametros aequales ; erit summa quadratorum MN , No aequalis quadrato, quod fit ex CK. . In
70쪽
ELEMENTA. εν In eadem etenim ratione . quam habee
CK . sive AE quadratum ad CA quadratum est . iam MN quadratum ad rectangulum ANS . quam No quadratum ad CN quadra tum . Quare in eadem illa ratione erit quoque summa quadratorum MN , No ad C A quadratum et S propterea duo quadrata MN. Noaequalia orunt quadrato, quod sit ex CK.
Proprietates quae parabolae tau- gentibus secantibus com petunt, osenduntur.
I. Omplectemur eodem capite pro prietates . quae competunt tangentibus, ct secantibus parabolae;quia numero pauciores sunt, nec adeo longius nos ducent. Ac primo quidem circa tangentes parabolae
jam illud superius ostensum est, quod si ex
vertice alicujus diametri recta ducatur ordia natis ejur parallela . ea tang4t parabolam in solo illo vertice. Nunc autem subjungemus, quod in locum , tangente , O parabola conten-ram, nulla alia cadat recta linea. Sit enim parabola AM, cujus AB fit diameter aliqua, AD parameter ejus,& DAH recta,ordinatis ejusdem diametri parallela. Dico, quod sicuti recta DAH contingit parabolam in solo vettiee A , ita in locum , contentum tangente, & eadem parabola , nulli alia recta