장음표시 사용
301쪽
perbolam , relate ad diametros consideratam.
Ponatur deinde in aequatione ista ad hypet bolam loco xx valor ejus ο ς & habebit ut hoc pacto aequatio altera ad parabolam IF f f ex - ad o. Sed duabus hisce aequationibus ad paraholam iacillime poterit obtineri , tam locus ad circulum, si incognita
duae rectos angulos continent , quam locus ad huperbolam aequi lateram. Nam , addendo
eas simul, fiet xx lv -- ο - Θ f cx - ad α o , qui est locus ad circulum , subducenis
do vero unam ex alia, orietur xx μευ - ον
' θ - ex ' ad αα o, qui est locus ad hyper-
Ellipsis porro , quae deest , habebitur , si
aequatio ad parabolam simplicissima xx--ππα ο per fractionem aliquam cognitam multiplicetur . sit enim B i a fractio ista. Iamque. multiplicatione peracta,fiet hxx: a. - o. Sed habetur quoque V ,-- Θ ' cx - ad o. Quare , addendo simul duas istas aequationes, orietur tertia θ' -- Θ - Θ ' θxx tal cx-- ad-o . quae proculdubio per ellipsim debet explicari. Notetue hic autem , quod si ultimus ae in quationis terminus nihiIo aequalis supponatu e . tunc aequatio fiet tertii gradus, ct Ioccidus habebitur haec alia x3 - abx st aac o.
302쪽
ELEMENTA. asyUnde, si i sta suerit problematis aequati O,eru ne relate ad eam xx 3-ο o locus ad parabo
IV. sed, ut eiusdem rei aliud exomplum eia 2,.-
asseramus,sit x' ' abxx--aacx l a 3d - Οα- quatio,orta ex resolutione alicujus problematis solidi. Capiatur quoque Iocus ad parabolam fmplieissimus xx in aν, sive xx- a mo. Et quoniam habetur xue in aadis A substitutione peracta . erit auu ' abxx-aaex ' a d- o , sive etiam is ' bis: a -- cx f od o, qui est locus ad eis psim. Ponatur postea in aequatione ista ad elliis psim loeo xx valor eiusa' ; & habebitur hoc pacto aequatio altera ad parabolam 'ν ε Θ cx ' ad in o. Unde hic quoque , si duae istae aequationes ad parabolam simul addantur, fiet locus ad circulum xx l 'ν ' Θ-- cχ' ad - ο; si vero una ex alia subducatur,orietur locus ad hyperbolam aequi lateram xx v - ο - Θ ' ex . . ad in o.
Deest hic autem hyperbola non aequilatera di, sed facili negotio ea comparabitur , si aequatio ad parabolam simplicissima xx πω ο per datam aliquam fractionem multiplicetur. sit enim θ: a fractio ista . Jamque , multiplieatione peracta, fiet hxm a - Θino.
303쪽
hoo IECTIO NuM EDNIcΑRu Mutiare, subductis a se mutuo duabus hisce aeis quationibus, rietur tertia vlbfh --bxx: a ,- cx ' ad mo, quae per hyperbolam non aeAquilateram debet explicari. Etiam in hoc exemplo , si ultimus aec quationis terminus nihilo aequalis supponatur, habebitur loco ejus haec alia x3 f abx aac die o . Unde , si ista suerit problematis aevi
perbolam aliam non aequi lateram. Q. V. Ostendemus deinde qaa ratione eraesis
substitutione peracta , erit aara ν-Τxx -- abxx t aacκ - a 3d in o , sive etiam υ Dae: aa - bxx: a ' cx . ad , o, qui est locus ad hyperbolam, relate ad diametros consideratam. Ex eo autem , quod sit xx f μ - ον, erit etiam xx - θ - μ. Unde in inventa aequatione ad hyperbolam poterit quoque loco xx valor ille subrogari. Plane vero mane
hit locus semper ait hyperbolam, si substitiistio
304쪽
ELEMENTA. 3 It Io In uno tantum termino fiat. Nam erit v
i ad rar o, si substitutio sat dumtaxat in termino lxx: a . Sed si in utroque termino valor ille subrogetur ; locus fiet ad parabolam , Re
Compertis duobus locis ad parabolam, habebitur eorum additione locus ad circu
hy Ux: a ex --, ad-o . Sed si vadem ill loca complicentur simul subtractione, orietur Iocus ad huperbolam aequi lateram xx fD--ον - Μ fB. Ο - faxi sta i δ' - Ux : a -- ex ' ad ira a. Unde non aliud superest, quam ut locum exhibcamus ad ellipsim,quem iacit lime reperire licebit, si termini omnes prioris aequationiS ad parabolam per datam aliquam fractionem multiplicentur, tum ea cum altera ad parabolam aequatione conjungatur. VI. Et ut aliud ejusdem rei exemplum VI. asseramus , fit x Ux3 f alxx -aacx la3d a aquatio , orta ex resolu ione alicuius problematis solidi. Capiatur quoque locus ς ad parabolam paulo compositus xx - μήο, sive xx - μ v o . st quoniam ha hetur x' Uxῖ αα βρον --. fxx , substitu ne peracta , erit ovF -Τxx ' abxx - aacx a 3d α o , sue etiam 3 - 1fra: aa l lxx: o,-- ex ' ad in o et qui est locus ad parabolam,
si si Pera ab , locus ad hyperbolam , si sit fmaior, quam ob ἀ qc denique locus ad elli-
305쪽
3M, 3ECTIONUM CONICA Ru Mpsm , sit sit F minor , quam ab. Quum autem sit xx - ο'' ἔ poterit in hac alia aequatione subrogari valor iste i co ipsus xx . Et quidem , si substitutio fiat tantum in termino ν x: aa ; habebitur a Ο:a Dx os f hxx.a cx t ad i o,qui est locus ad ellipsim. Quod si vero fiat dumtaxat in termino bxx:a, orietur u - =xx:oo Φ Ο ΦUx: a - cx l ad o , qui est locus ad hyperbolam . Et denique , si valor ille substituatur in utroque termino I aequatio fietu,
quae ad parabolam nos ducet. Compertis duobus ad parabolam locis, habebitur eorum additione locus ad circulum xx -- ον --μ f v. f. a -Dx: ao
complicentur smul subtractione, orietur locus ad hyperbolam te qui lateram xx -ερο ν
cx - ad o . Possentque adhuc duo alia ad ellipsim , ct hyperbolam loca reperiri, si multiplicatis terminis omnibus prioris aequationis ad parabolam per notam aliquam fracti nem , eadem tum additionis , cum subtraetionis ope cum altera ad parabolam aequatione complicetur. Dip ι .. Vii. His igitur rationibus eruendae sunt species omnes locorum secundi generis ex ae-
uia P quationibus problematum solidorum . Necmm 6'μή ' difficile erit intelligere , quale quidem sis discrimen inter aequationes , fecundo termino praeditur, ct eas , in quibus idem ille termianus deest. lam enim in utroque casu debet esse
306쪽
ELEMENTA. 3o 3 esse ad parabolam locus, qui assumitur ab initio . Sed, quum aequatio secundo termino caret , reserenda est parabola per suam aequatio. nem ad axem ipsus ς quum vero eodem illo termino est praedita, ad aliquam axis paralle.
Necessc est autem, referre parabolam ad aliquam axis parallelam, quum adest in aequatione secundus terminus ; ut, substitutione peracta , possit ex ipsa aequatione , tum primus , cum secundus terminus deleri . Atque hinc est , ut locus ad parabolam debeat esse XX lo π, quum aequatio problematis est
- μ αρο , quum eadem problematis aequa.
tio est κ' --2δεῖ f alxx - aacx laad ino. Nam aliter , substitutionis ope, priores duci quationis termini deleri non poterunt. Delendi sunt porro , per locum ad para volam , qui assumitur , priores duo aequati Ois nis termini; ut aliae locorum secundi generis species non ita compositae oriantur . Si enim, existente κ' ' af xῖν abxx ' oacx -,a3d- o problematis aequatione . capiatur Iocus ad parabolam xx - v m o a substitutionis ope habebitur , tum γ' f 2Dy: a -- ho et ast cx - ad - ο . cum II f afv: a -- Θ fcη-- ad mo, quorum uterque est locus ad hy- si multiplicatis tetmin Is aequationis ad parabolam per fractionem aliquam indeterminatam m: a, conjungatur eadem cum te
307쪽
ae 4 SECTIONUM CONICA Ru MF- Θ -mF f cx ad mo, quae , Pro varirio valore ipsius m , ad omnes coni sectiones, tum item ad circulum,si duae incognitae obliquum angulum continent, nos ducere pote rit . Sed perspicuum est, Omnes hasce aequa. t ones casus valde compositos locorum se cundi generis continere .
VIII. Ne aliquid hic omittamus, quod ad rem faciat, illud quoque sedulo xotari debet, quod etsi, in eruendis locis secundi generis exaequatione problematis solidi, capi debeat ab initio locus ad parabolam ; parametςr tamen eius parabolae haud quidem datae alicujus Iongitudinis esse debet, sed ad libitum potest as,
sumi. Unde , etsi in allatis exemplis assumpta fuerit quantitaS o pro parametro ejus parab lae;attamen,si alia quaelibet quantitas tale munus obiret, adhuc easdem locorum species eruere liceret. Poterit ergo , ut parabolae parameter assumi , inde terminata aliqua quantitas . Et tunc ipse locus , non ad unam , sed ad infinitas parabolaS erit. Quumque eadem quanti ias inde terminata omnes alias Iocorum species , quae deincepS eruuntur , ingrediatur;
perspicuum est, etiam loca ista infinitis prope modis posse explicari . Interim , ut constructio problematis , quantum fieri potest , sim plex oriatur , praestat, ut parametrum assu mere quantitatem illam , quae vel in singulis
aequationis terminis , vel in maxima eorum parte reperitur.
Capiendo autem indefinite parabolae Para metrum , licebit deinceps, construere
308쪽
E L E M E N T A. 3or problema per parabolam , cuius parameter sedata ἔ quum non aliud fieri debeat, quam Io-
eo ejus inderminatae quantitatis parametrum datam substituere. Et,quamquam eadem inde terminata quantitas reperiatur quoque , tum
in loco ad circulum , cum in loco ad hyper-holam aequi lateram ἔ nihilominus, si ope ejus fieri velit, ut datus sit alteruter horum loco. Tum, non aliter, quam per problema solidum. id poterit obtineri. Sit enim x' alxx aacae . a 3dmo aequatio problematis . Capiatur indes nite locus ad parabolam simplicissimus xx in my, sive
ta esse debeat hypeihola aequi latera. IX. Non deest interim methodus, qua IX. mediantefolius Geometria plaπae praesidioseri possit,ut sive locus ad circulum,sive locus ad β ctia ρο- byperbolam aquilateram sit datus. Sit enim
tio problematis . Fiat primo x az: m, adeo
ut per substitutionem migret aequatio illa in
309쪽
os SECTIO NuM CONICARUM capiatur locus ad parabolam simplicissimus ΣΕ - o, fiet methodo superius tradita Re iv -- ν- b : a ' c- : a -- dmm : odim o locus ad circulum. Huius autem circuli radius est in scemme
310쪽
X. Sed non abs re erit hoc loco subiun- X. gere, quid factum opus, ut problema construi possio, vel per datam empsim , vel per Θperbo. s uda ,
Iam non aquilateram datam. Sane determinatio harum curvarum ex duplici capite oritur; νεν datum Primo nempe ex axis longitudine ; tum enratione , quam habet axis ad suam parametrum . Unde , ut id , quod quaeritur, possit obtineri; oportebit , duas quidem indeteris minatas quantitates in illi usinodi locis contineri. Sit ergo rursus κ' - abo f aacx - 3dmo problematis aequatio ς & posito x incar m, tranSirmetur iterum ea in hanc aliam -bmmete: a ' cm3gra dm :a in o.Capiatur adhuc locus ad parabolam simplicissimus zz m m: O . Jamque , s ponatur loco za , & mma' loco Σε ; habebitur locus alter ad parabolam mmu . omo: a s cmaera Em': a m o , sive etiam v - , οῦ a ' cma: o
Multiplicetur deinde prior locus ad parabolam per fractionem in determinatam π : a, ita ut habeatur 11geis in .a o. Et siquidem