장음표시 사용
61쪽
se remotiore ex eade parte sic demo- strabimus. Ducantur AB AP secantes circumferentias MAMCin puctis ENAE P.S: sit B punctora propinquior quam P. Qio igitur ABminor est qua AP, AE vero equalis AN, -- reliqua Et minor erit quam reliqua NP,lloc est propinquior puncto M minor qui mea quae est re nactior. 1 ursus ducantur AH A ex altera sectionis parte secan rc scircumsecetitias K A in punctis HL OL&sita punishom propinquior quam OH. Eadem ratione A maior est quam AO MALaequalis A N erit reliqua L minor quam OH reliqua hoc est propinquior puncto Icctioni minor remotiore, quod erat ostendetuluna.
IIsdem positis. Sit autem A minor maiore re starum A F
A . maior minore. Ergo puncto ad circumferen
tiam Κ F ducatur Ara aequali AI eaque producatur ad circumferentiam ABC in O. Dico maiorem rectaruna AK C maximam esse oninium quae per A ductae inter
circumferentia ABC F inter ij ciuntur, minimam, rom Aliarum autem propinquiorem mmimae, remotiore ex eadem parte in morem esse.
Ducatur enim per A quaecunque recta linea AB secans circumferentias AB KF in punctis B E, dc compleatur circillus EFH, quem in K continuatae secent in puncti H R,, conectantur CH GK D, eisque parallelae ducantur CS CY X secantes AK F etiam productas in punctis YX. Et sit primum AK maior quam C. Qitoniam igitur ut AG ad AC ita est A K ad A V. LM ira FC ad CX erit AK hoc est A ad A ut FG ad X, S cxistente puncto A inter R, erit conuertendo compone do ac rursus conuertendo,existente vero R inter AY, erit conuertendo S d uidendo ruisus conuertendo, at existentea inter AR, eri per con-
Uersionem rationis vi AR ad R ita F ad F. sed AR, hoc est AK ponitur maior quam FC Ergo QR quam X F maior erit. Et quoniam rectangulum Y ΛΚ, hoc est in aequale ' est re c., tricctangulo E A X Prorottionales erum A MA AX AN, sed RY ι . . .,
62쪽
ostensa est maior quam X F, hoc est composita ex extremis maior
quam composita ea mediis,vel differentia extremarum maior quam Lam. s. differentia naediarum, ergo altera extremarum Α Α maxima σιε ιν erit, altera minima Existente quidem centros interina sic argu-
. mentor Sed AR non est maxima,quia 'minor est quam ΑΤ. Ergo L P erit, S consequenter Ac maxima Itaque A maior erit quam AF, 5 multo maior quam AE. misi Et quoniam propter aequalitatem rectangulorum ΑΚ EAS est a. m. c. v ΑΚ ad ΛΕ, minor videlicet ad majorem ita AS ad ΛY eritS A minor quam ΛY, seu quod idem valet A maior quam AS. Cum igitur ΑY maior sit quam AS, a maior quam AE acetiam maior quam ΑΚ videmonstrauimus,erit ipsa ΑYmaxima quatuor ς. proportionalium AK AE ALAY, unde ΑΚ minima. Quare RYo et j maior erit quam S E. Existente vero centro V interra argumento hoc modo. Sed ν. Toνιν A non est minima , est enim maior quam Aa, ergo maxima erit,unde minima. Itaque A minor erit quam Aa, ct ideo multo minor quamina.
Σ.-. Et quoniam aequalia' sunt rectangula Y ΑΚ EAS, eritv ΑΚν inj x lini, maior videlicet ad minorem, ita x ad a, ergo in Smaior erit quamina, seu quod idem estina minor quam AS.
Cum igitur Aa minor sit quam KS, S minor quam Assi, S etiam minor quam ΛΚ, ut est demonstratum. Erit ipsa A minima qua-χ-. p. tuo Proportionalium ΑΚ ΑΕΑ ΑY, quare ΑΚ maxima, a, Quis unde Y maior erit quam SE, quod et demonstrauimus S supra. M γ In utroque igitur casu quoniam est ut AG ad A C ita 'AΚad AY, L . . S ita Mad BS,erit ΑΚ, hoc est AR ad AYsicut EB ad BS,S existente A inter YR,erit conuertendo S componedo,existen te vero' inter ΑY,erit conuertedo S diuidedo, at existente, interina erit perconuersionem rationis B conuertendo,utina ad Αρ hoc est ad Amitara ad EB, sed Ra Ostensa est maior quam SE, ergo Nquam EB maior erit. Eademque ratione demonstrabitur omnibus alijs maior Maxima est igitur Κ.
Sed sit C maior quam ΑΚ, quoniam igitur ut AG ad AC et . c. ita' est Fina CX S ita ΑΚ ad AY, erit Fina CX v ΑΚ'
hoc est Α ad AY, S existente A inter R, erit conuertendo S componendo S rursus conuertendo, existente vero' inter ΑY erit conuertendo&diuidendo&rursus conuerrendo, at existente
inter A erit per conuersionem rationis, ut FGad a ita ARad RS, sed ponitur c maior quamina, hoc est quam Α Κ, e go S X maior erit quam RY, sed X composita est ex extremis Quatuor proportionalium A FAYARAX, ipsa vero Y exm dijs, vel x differentia est extremarum, Ra differentia mediarum
sunt enim proportionales Λ Λ Λ AX, quia rectangulum
63쪽
Ponatur hoe folium inter paginas 46.C7 47. Et Figurae resticiantpaginam 46.
64쪽
Ponatur Me folium inter paginas 46.. 47. Eth Figuris resticiantpaginam 4 7.
65쪽
FAX aequatur rectangialo in hoc est in I . Igitur altera rea..c extremarum A AX maxima erit, altera minima Exiliente qui s. dem centro V inter AF hac ratione argumento . Sed Aa non σι est minima, quia maior est quam Aa, ergo maxima erit,unde A X. 'minima Itaque A minor est quam ΑR, S multo minor quam L. r. AE. Et quoniam est, ut AF ad A maior videlicet ad minorem Caνia. . . ita ΑΔ ad A V lunt enim aequatia lectangula in X EA S, ergo M AS maior erit quam AX, hoc estra minor quam AS, sed S AX ut demonstrauimus minor est quam AE, S consequenter minor etiam quam AT, ergo quatuor proportionalium A AEAS A X minima erit A X, unde maxima . tiare a ma- .ior erit quam SE AE te π.Existente vero centro V inter AD, hoc modo argumentor Sed 'AEF non est maxima,quia minor est quam A K. Ergo nam ima erit, . Tm . per consequens maxima Λ X. Itaque , maior erit quam AK, ω multo maior quam AE. Et quoniam propter aequalitatem re χαν. .ctangulorum ULMEAS proportionales lunt A AMAS A Lem. . 8c est mmor quam AE ergo Mori minor erit quam AX, Z τε /r seu quod idem est Λα maior quam Ari, sed A X ostenta est quoque maior quam AE N per consequens maior quoque quam A F. Ergo quatuor proportionalium AI ME AMAX maxima est A X. unde minima AF. Itaque a maior erit quam SE. Atque hoc L mri idem demonstrauimus supra. AE . .
Itaque in utroque casu quoniam est ut AG ad AC ita FC alta
CX S ita EB ad BS erit FC ad Ccut EB ad BS, S existente
inter X, erit conuertendo dccomponendo, existente vero Uinter C erit conuertendo S diuidendo, at existente Viriter C, erit per conuersionem rationis, conuertendo ut v ad FC ita, ad Ei, sed ostensia est a maior quam S E Ergo αλ maioterit quam EB Similiter demo. strabitur omnibus alijs maior Ergo maxima est C.
Sed sint aequales AK C. Qira igitur ut AG ad AC ita est FCadiis j CX,&ita AK ad AY, erit FCad X vi AK hoc est A ad ΛY, sed F ponitur aequalis AR, vel A K, ergo Bem X aequalis erit ipsi Λa; quare per additionem, vel lubductionem aequalium aequalibus erit XI aequalis ' sed a composita est ex extremis quatuor proportionalium ΛΛYARAX, ipsa vero Ra ex med ijs, vel differetia est extremarum, R disterentia mediara sunt enim propter aequalitatem rectangulorum4 hoc est proportioirales FA WAR AX, ergo A A ipsit A A L.M.
aeq.iale, erut,maior videlicet maiori, minor minori,Itaque AF aequa isi. xii.
lis erit altero piarum A AR, sed existente centro, inter puncta F, pia i maior est quam AR Ergo A aequalis erit ipsi' , atque adeo Λ maior quam A E. Et quoia iam aequalia
66쪽
sunt rectangula YR EAS, erit Acad ΛΕ, maior videlicet adnainorem, ut A S ad Κ, hoc est ad Aa, ergo S AS maior erit quam Ak, sed S A maior est quam Aa, similiter maior S AT,1. ergo quatuor proportionalium A WAE AMAR minima erit AR,
i, .grisis S consequenter maxima' YLVnde Ra maior erit quam SE O .. r. Existente vero centro; interpuncta AD, erit A minor quani R ergo aequalis erit ipsi AY,ostensa enim est AI aequalis alteri ipsarum A AR, Itaque A minor erit quam AE . Et quoniam,co Zε.c. propter aequalitatem rectangulorum Y AN EA S, est ut , ad 3c ε i. AI, minor videlicet ad maiorem, ita Ari ad A , vel ad Aa, ergo S AS minor erit quam Aa, sed S utraque ipsarum muas. in nor est quam A M. Ergo quatuor proportionalium A WA E A SOL pr. R maxima erit Αρ, unde minima AY, quare' maior erit quam ST . Atque hoc idem dumonstrauimus S supra.
ἔ Quoniam igitur in utroque casu ut AG ad AC ita 'estra ad BS, S ita is ad AY, erit ΑΚ hoc est Aa ad Aa v EB ad
B S, Lexistente inter erit conuertendo S componendo, existente vero R inter A erit conuertendo S diuidendo, existente denique Winter AR, erit per conuersionem rationi S conue
tendo ut re ad Aa hoc est ad A K ita , ad EB, sed Ret ostensa est na aior quam E, ergo S in quam EB maior erit. Atque cadem ratione demonstrabitur maior omnibus alijs. Cum igitur K maior sit omnibus per A ductis, S ei aequalis sit C erit Mipsa V omnibus maior, S ideo utraque maxima. Maior igitur rectarum Κa maxima est omnium, quae peris ductae inter circumferentia ABC a intretjciuntur quod esto primum Iam vero producatur in donec secet circumserentiam D in T, S conectatur T, eique parallela agatur an secans in con-
L m. tinuatam in h. Rectangulum igitii M A . aequale erit Πx adrato Al hoc est quadrato AM, sunt enim aequales A I A MAA constru-tione, quare Ab aequalis erit ipsi Sed quoniam rectangu-Zρm c. tum PAX aequale est quadrato A I seu quadrat AM, propon. Z - tionales erunt AI A AX, sunt a uicindesinaequales ergo X Fcomposita ex extremis maior erit quam dupla media, hoc est quam
M'. t quoniam est, ut AG ad C, ita IC ad C X, cita M ad Oli erit FG ad C X ut G ad O RE S conuertendo ut G ad FG ita in ad M O, componendo ut XI ad FG ita erit M' ad Mo, sed ostensa est XI maior quam M M, ergo di .REquam O maior erit. Eadem ratione. Quoniam rectangulum A aequale est quadrato AI, id est quadrato AM, proportionales erunt ΑΚ ΝΜ AY, sunt autem 5 inaequales,ergo α composita ex extremis AK AYZem.c. maior erit quatiamin, idest, quana dupla media . Sed quoniam est
67쪽
68쪽
Ponamur hae figura interpaginas 48.249. Ita trespiciantpaginam 4 g. II inferiores ructuor gura perrinent Secundam partem Lemmaru XX. cipientem, Iam e Producatim.
69쪽
M AG ad AC ira A ad AI S ita O ad O tu, erit AK
id est A ad A sicut M ad Orai S conuertendo ut A cadΑ ita O p ad D, S componendo ut Ra ad Aa ita erit cisi ad M, sed I maior est quanam , ut demonstrauimus, ergo de R hoc est Am maior erit quam G. Similiter, quoniam rectangurim EAS aequatur qtiadrato AI idesto M proportionales erunt E M AS, sed Scinaequales γπή sunt; ergos composita ex extremis maior erit quam Mou, media videlicet dupla. Et quoniam ut AG ad AC ita est EB ad BSIta 'MO ad O t, erit Bad BSut Moad OR,S conuerten 'dovi B ad EB ita te ad M, componendo viri ad EB ita erit 3 ad M sed maior est SE quam MFie, ergo S a B quam
Mo maior erit. Atque eadem ratione demonstrabimus quamcunia
que aliam maiorem esse ipsa Mo Minima est igitur Minomnium quae perin ducuntur, S inter circumferentia ABC F interiiciuntur, quod esto secundum.
Et si in semicirculis se inuicem secantibus non datur minima, ea enim quae propinquior e I puncto sectionis remotiore ex eademsarte semper minor est, sed ut Omnibus figuris nae demque demonstratio conueniat insemicirculis sese secantibus punctum sectionis ocetur minima.
70쪽
ferentia ABC KF in punctis PN ita ut rectam P sit minima mopropinquior quam EB ,eaque producta secet quoque circem ferentia mi in L sintque N E B ex eadem parte minimae,' iung*
tur i, cui parallela ducatur Cinoccurrens in productae in in C L Erit igitur propter aequalitatem ' rectangulorum A V si AE ad A ita AQ ad AS in semicireulis quidem in quibH maiori rectarum A MAD propinquior est quam A sic argumς0 7 Vm' tor. Sed Assi 'maior est quam AN, ergo, Ad maior erit qu- AS sed quoniam rectangulum N A Q. aequatur quadrato A cit quadrato AN, Scindi vi propinquior maiori rectarum AJ A DI V ' ν maior quam Abi, quae est remotior ergo Ammaior erit qu mA 4 per consequens Assi mulio maior, atque multo maior quam At, Sic igitur quatuor proportionatrum AE AN A A ma ι' maerit Assi, minima vero AS unde S maior erit quam aes In semicirculis vero in quibus Aa a maiore rectarum AJ A D remotior est quam AN, argumentor hoc modo. Sed A minor citquam AN, ergo S A ninor erit quam AS. Sed quoniam re
Λangillum quale est quadrato AI, vel quadrato inmor quam LM, ergo ipsa di multo minor erit quam