De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

21쪽

E DE INFINITIS PARABOLIS ETC. tur esse,ut DA, ad BA F, sic C D, seu iE F, ad F G ; ut

vero quadratuu .

ad Fl; ut autem quadratoquadratum DA, ad qua-Gdratoquadratum AF, sic EF, ad FL , & sic in infinitum ascondendo continue per infinitas pol states. His expolitaris, sit.

DEFINITIO PRIMA

t langulum BAC, duplicatum ad partes BA, vocetur prima parabola, seu parabola linearis. Spatium BAΗC, duplicatum ad partes BA,

vocetur secunda parabola , seu quadratica . BAIC, sic duplicatum, vocetur tertia parabola, seu cubica . BAL C, quadratoquadratica,& sic in infinitum ; adeo ut omnia praedicta spatia vocentur infinitae parabolae.

22쪽

DEFINITIO SECUNDA.

Pariter spatiuin C G A D, 4 quod est triangulum , & quo deficit prima parabola a parallesogransen o , vocetur primum lineum , seu lin xec CHAD , vocetur secundum trilinciun , seu quadraticum . CIA D , eulacum .: CLAD , quadratoquadraticum, & sic in infinitum. Adeo ut omnia illa spatia vocentur infinita trilinea.

DEFINITIO TERTIA.

CG F D , quod est verum trapezium ordinarium, vocetur primumtrapi et inexi, seu lineare. CH F D, quadraticum. C F D, cubicum. CL FD, qua- dratoquadraticum; S sic in infinitum.

DEFINITIO QUARTA.

GAF, vocetur trilineum lineare ad verticem. HAF, trilineum quadraticum ad verticem , &se in infinitum.

DEFINITIO QUINTA.

A, dicatur vertex tum infinitarum parabolarum, tum infinitorum trilineorum omnium. A L DE-

23쪽

DEFINITIO SEXTA.

B A, dicatur diameter, sicuti CR,. duplicata . basis infinitarum parabolarum. CD, autem dicatur basis infinitorum trilineorum , & infinitorum trapeziorum. AD, vero dicatur diameter infinitorum trilineorum , quia est diameter eorundem dupli

catorum. I. '

Explicatio horum terminorum susciat in praesenti, nam reliqua congruentibus locis explica

buntur.

Verum antequam ad ipsas propositiones deumniamus, notetur unum principale, quod ex natura, genesque infinitarum parabolarum deducitur. Et est,quod EF, F G, FH, FI, F L, & aliae infinitar,sunt continue proportionales. Hoc manifeste patebit consideranti, ut dixi, genesim, ac naturam ipsarum . Nam cum, ex hypothesi, sit ut D A, ad A F,

sic C D, seu E F , ad F G; S ut quadratum D Α, ad quadratum A F ; hoc est, ut quadratum C D, seu EF , ad quadratum FG, sic EF, ad FH;

ergo FG, erit media proportionalis inter EF, FH. Eodem inodo discuretur de caeteris. Imo cum cur probabimus inserius, quod etiam a nonnullis probatur) excessus quantitatum continue proportionalium in proportione maioris insqualitatis imi etiam in continua proportione totarum magnitudinum , sequitur etiam L G, G H, H I, IL, & cae-

24쪽

LIBER PRIMUS. s

teras infinitas, esse continue proportionales in proportione EF, ad FG. His ergo praemissis ad ipsas propositioneS deueniamus. i

PROPOSITIO PRIMA.

Paral logrammum circumscrip um cuilibet trilineo, es ad sum, mi numerus exponentis trilinei initate auctus, ad ipsam initatem. lConsideretur schema supra explicatum. Dico parallelograminum BD, ella ad quodlibet

exponentis ipsius Vmtate auctus,ad ipsam unitatem.

V. g. ad primum Ttrilineum C AD, quod est triangulum, ut a. ad i. t Ad secundum CH A D, Vt 3. ad i. Ad tertium, vi q. ad i. & sic in infinitum. Haec propositio ostenditur a Caualtero loco citato. Vbi etiam in corollario eiusdem propositi ostendit per conuersionem rationis , parallelogrammum esse ad quamlibet ex infinitis parabolis a

25쪽

α DE INFIMI PARABOLIS ETC.

lis, ut numerus parabolae v'itate auctus, in na-rum parabolae. Nempe ad primam sarabolam, quae est triangulum, ut a. ad 4. Ad secundam, Hil. ad a. Ad tertiam, vi q. ad 3. & sic in infinitum.

Cum ergo triangulum C A D , sit dimidium parallelog anami BD, erit ad quodlibet ex praedictis infinitis trilineis, ut dimidium numeri tritunei motam dimidia unitate, ad unisatem s nempe, Vt numerus trilinei auctus unitate, ad binarium. Q 'are poterit concludi per conuersionem rationis, esse triangulum ad excessum ipsius supra quodlibet ex infinitis trilineis , ut numerus trilinei unitate auctus,ad excessum ipsus supra binarium; hoc est,ut numerus trilinei unitate auctus, ad numerumrrilinei unitate mimatum. Nempe in secundo trilineo, ut 3. ad I lo tertio vi q. ad a. &sic in infinitum .

SCHOLIVM II.

Quadraturam infinitorum trilineorum, & infinitarum parabolarum nobis patefecit Causerius per auream methodum incliuisbdium. Quam quadraturam in prasenti libenter recipimus quamuissorsiran & nos aliquando de ipsa aliquid dicemus ;quia cum in hoc opere intelligamus incidenter ampliare

26쪽

ae iliare doctripim , quam tradidit P. Andrea Tac et societatis Iesu in sui3 lindrorum,& ano nutarium libris, offendendo ipsum maneum suisis, qui, nimis quam par erat censuit methodum In diuisibilium lilagitimam; quadratura per indiuisibilia haud nos prohibet,quia minus intentum mn sequamur. Nam absque Indistisibilibus poterat

Tacquet tradere varias propositiones , es cubare truncos cylindricorum rectorum super parabola varie resectorum ; quia Parabolae quadraticae a geometris pluribus modis more antiquorum assignata .miet. Quadratura . N erV Tacquet respuer, quae ex quadratura ordinariae parabolae depem dent . Sed haec clarius proprijs locis percipiem

PROPOSITIO SECUNDA.

Si quaelibet ex infinitis semiparabolis secetur linea basparallela. Partio semiparaboti ad merticem, erit semiparabola eiusdem gradus

cum tota.

Esto quaelibet ex infinitis semiparabol is ABD

quod enim ostendetur de dimidia, intelligendum etiam venit de tota cuius diameter BD, Nin ipsa sit ordinatim applicata EF. Dico EB F, esse semiparabolam eiusdem gradus cum tota Α Β D .i Sumatur inter F, B, ubilibet punctum K.

27쪽

s DA INFINITIS PARABOLIS ETC. per quod ordinatim p- ιν L nplicetur H Κ . Qia

niam, ex natura infinitarum parabolarum supra explicata,est ut potestas E F , eiusdem. gradus cum semiparabola, ad similem potestatem AD, sic BF, ad BD; pariterque est, ut potestas AD, ad

similem potestatem , AH Κ, sic D B, ad B Κ. Ergo ex aequali , ut po- . testas EF, ad similem potestatem ΗΚ, sic F ad B Κ . At punctum K, sumptum est arbitrarie . Ergo EBF , erit semiparabola, &eiusdem gradus cum A B D. Quod erat ostendendum.

Ex praesenti propositione possumus euidenter cognoscere, quod si semiparabolis, ABD, EB F, circumscribantur parallelogramina N O 4 L F, haec erunt ad semiparabolas in eadem ratione , quia omnium parabolarum eiusdem gradus, est eadem quadratura . Eandem ergo rationem habe bit parallelogrammum N D, ad simiparabolam ABD, quam parallelogrammum L F, ad demse

28쪽

i , LIBER PRIMUS. H sparabolam E B F. Ex quibus per conuersionerrati is deducetur,esse N D, ad inlineum N B Ascuti L F, ad LBE, trilineum ad verticen qu utique erit eiusdem gradus, cum trilineo N B Ai x o deducetur , quQd cum sit, ut totum paratu 1ogi ammum N D, ad totam stipi parabolam ABD sc ablatum parallelogiami num L F, ad ablatai semiparab l in B F F , etiam reliqi: Vae, ad .rέ quum, erit ut totum , ad linqm . Figus erg, L sep DAN , strit aci segmen Mna A E F o , numerus parabola: unaute auctus , ad numerui parabolae. Et diuidendo, eris segmentum traline N L E Α, ad segmenuim semiparabolae A E F Dri unitas, ad. numerum parabolae it nempe in primparabola, . vi Isafi t. ln secunda, ut i, ad a. intertia, ut a. ad 3 de sic in infinitum. - Pariter si ducantur E B, A B. Quoniam triangula EB F, AB D, sunt dimidia parallelogrammorum N D, L F . Ergo tam ad semiparabola A B D, EB F, quas ad portiones ipsarum ABBAE FI B E, erunt in eadem ratione.

PROPOSITIO TERTIA.

quaelibet ex insinuis semiparabosis , secetur ut supra Erat se parabola tota,ad garabolam ad merticem is mestas basis semiparabolae rimo gradu altior poteriale parabo , ad si lem potestatem basis semiparabo

Sint

29쪽

Sint ergo dxta eassem , quae in antecedente pro postione. Dico ABD, esse ad EBF, ut potestis A II, uno gradu altior potestate parabolae ad fidi i dim potestatem E F. U. g. in prima parabola, nempe in driangulo, ut quadratum A D, ad quadratum 'E F. in secunda, quae est parabola ordinaria, ut cubus AD, ad cubum EF. Et ficin infinitum.' Quoniam enim ex Scholio antec. parallelogram

go, te permutando, erit ' M υ

ND, ad L F, ut ABD semi parabola, ad senii parabolam sBF. Sed rario N D , ad L F,

componitur ex ratione

dem gradus curn parabola, ad smilem potestitem Ε F . Eruo & ratio semiparabolae, ad semiparab lani, compsnetur ex is siem rationibus Sed illae duae rationeS componunt rationem potestatis A D, uno gradu altioris potestate parabol , ,αd similem pote. statem EF. in are paret prono situm.

30쪽

Ex dictis faeile possumus ideducere, quodqtis misi trilineuii AN B, secethu' l. E, basi NA, mrirallela, erit trilineum N B A, ad tribite; in L vut potestas N B, diametri trilinei.vno gradu allii potestate trilinei, ad similem potestatem L d. hi vim, cum probatum sit, esse, sic tam totum N D, ad totum L F, quam ablatam semiparabolam A B D, ad ablatam EBF , sicuti potestas AD , seu NB , uno gradu altior potestate. parabolae, ad similem potestatum EF, seu LB . Ergo, & reIbi quum trilineum N BA , erit ad reliquum triti. neum L BE, ut est totum, ad totum, nempe , testpotestas N B, uno gradu altior potestate trilinei, ad similem potestatem L B. Imo ductis, ut factiunest prius, rectis B E, B A , erit eum segmentum Α E B A , semiparabolae, ad segmentum E H B E, in eadem ratione . Quia in eadem ratione, est tam tota semiparabola , ad totam semiparabolam, &ablatum triangulum A B D , ad ablatum triangulum EBF . Quare , & reliquum segmentum, ad reliquum segmentum &c.

Cum autem praedictarum figurarum sit assignata ratio praedicta ; nimirum,quod tam semiparabo: B 1 la