De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

41쪽

11 DE INFINITIS pARABOLIS ETC.

quotus est numerus parabolae, sit ut numerus p rabolae unitate auctus, ad numerum parabolae. Quare patet proposi tum.

COROLLARIUM.

Ex prima parec propositionis insertur, quod diuidendo, erit AH D, ad A DE, ut ultima minima proportionalium antecedentium, ad easdem proportionales consequenteS. V. g in prima para-besa , ut H D, ad B E. In secunda , ut L, ad Α β, H D. In tertia ut M , ad Α Ε, H D, ML. Et sic in infinitum.

PROPOSITIO NONA

Si quodlibet ex in sinit s trilineis secetur, mi dictum esin props 6. si in fiant eadem , quae ibidem . Erit tra-μυum ad tri eum a se im, km , mr tot proparti

nates in ratione diametri trilinei, ad diametrum tria hueι ad terticem , quarum prima maior sit diameteririnei , quotus est numerus tralinei mnitate auctus, ad diametrum tritaei. sed parastelogrammum moro sibi ciri u i tum , ut i rim antecedens , ad eoi H

metros totius trilineι, quotus est numerus tritari πνω- tate auctus.

IN schemate propos. 6. Esto tralineum FBA, cuius bass Γ Δ, cum alio trilineo eiusdem ge

neris

42쪽

neris FDA.&c. Dico trapezium FDHA, esse trilineum F D A , ut tot proportionales continue in ratione FB, ad BD. quarum maxima sit FBI quotus est numerus tri Iinei unitate auctus, ad FB. V. g. in primo trilineo, ut FB, cum BD, ad FB. in secundo , ut FB, cum BD, & L , ad F B. In tertio, ut F B, B D , L, &M , ad FB . & sic in infinitum . Ad parallelo graminum vero F G, sibi circ. mscriptum, ut idem antecedens , ad tot FB, quotus est numerus trili-

quarto, ut PB,

ad ' quadruplam F B. & sic in in

finitum . Continuetur,

ut factum est in propos ant. Ratio FB, ad BD , in tot termi-ΠOS, ut numerus eorum excedat numcrum trilinei binario, & sint duo ultimi termini, L, M. Quoniam

43쪽

. 24 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

. propositi estr UFBA, ad DB H, ut FB, ad M. Ergo

per conuersonem rationis,&con Uertendo, erit trapezium FDHA, ad F B A, ut excessus

FB, supra M, ad F R. At FBA, est

FDA, ut excessus FB, supra M, ad , F D. At exccssus . iF B , supra M , aequatur tot excessibus , quCtus est numerus trilinei unitate auctus & FD, est Uni sexcessus, nempe maior & ut excessus FB, supra M, ad F D, sic ex propos 7. tot illarum proportionalium, quotus est numerus trilinei unitate auctus, ad F B. Ergo & trapezium FDHA, erit ad trilineum FDA , ut PB, & caeterae tot proportionales, quotus est numerus trilinei Vnitate auctus, ad FB. Vnde patet prima pars , Secunda pars sic probabitur . Cum enim , ex propos prima, sit trilineum FDA, ad FG, ut unitas

44쪽

ottas ad numerum trilinei unitate auctum; nempe ut FB, ad tot FB, quotus est numerus trili nes unitate auctus . Ergo ea aequali patebit pro-

COROLLARIUM.

Figo ex prima parte, erit diuidendo, ADH, ad A F D , ut illae proportionato , F B , cxcv-pta , ad ipsam FB. V. g. is primo, ut DB, ad F B. In secundo, ut DB , clim L , ad F B. In tertio ut DB, L, & M, ad FB. & sic in in

PROPOSITIO DECIMA.

Si qualibet semiparabola cum stibi circumscripto paralliso- grammo secetur linea diametra parallela . Erit pia ἡ rul υν-- orcumfriptam figmento ad diam trum , itium segmentum , ut tot bases semipar baia , Parua es numerus ipsius Unitate auctas , ad excessum lorum supra αυθιmam minorem proportionalem , si Eerrtio basis semiparaboia, ad interceptam inter diametrum, in ιpsi ductam parallelam, coutinum.

tur in tot terminos, quotus eu numeruJ parabola uniatate auctus.

Semiparabola Α DB , cum sibi citcumscripto parallelogrammo BC, secetur MN, dia-

. . D metro

45쪽

as DE INFINITIS PARABOLIS ETC. etro AB, paralicia; & ratio DB, ad BN,

continuetur in tot terminoS, Ut numerus eorum

excedat numerum parabolae unitate ; sique vitiamus terminus Κ. Assero parallelogrammum M esse ad segmcntum A O N B, ut tot B D, quotus est numerus parabola: unitate auctus, ad excessum ipsirum supia K. Ducatur OP, parallela BD.

Quoniam e- . -

est ad PM, ut BA, ad AP ; nem pe ex natu- pra parabolae, ut potestas B D , eiusdem gradus

bola , ad si u

accepta secundum numerum parabola unitate auctum , ad tot numero Κ . Ergo & B M, erit ad PM, ut BD, accepta secundum nu erum parabolae unitate auctum, ad tot numero L. Sed ex quadratura infinitorum trilineorum, P M, est ad trilineum AMO, ut numerus parabolae Unitate auctus, ad unitatem; nempe ut K , accepta secundum

46쪽

LIBER PRIMUS. . 27cundum numerum parabolae unitate auctum , ad K, semel acceptam. Ergo ex aequali, erit B M, ad trilineum AMO, ut B D, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum, ad h. Quare& per conuersionem rationis , erit B M, ad segmentum AON B, ut tot B D , quotus est num rus parabolae unitate auctus, ad excessum ipsarum

supra h. t . t

SCHOLIUM L

Ex dictis ergo potest concludi, quod in parab ta quadratica, erit B M , ad AON B, ut tripla DB, ad duplam BD, cum excessu DB, supra k, quae sit tertia proportiona Iis ipsarum D R, B &subtriplando terminos, quod erit ut DB, ad suta sesquialteram DB, cum tertia parte excessus DB, supra k; quae tertia pars excessus, aequatur tertiadi parti DN, & tertiae parti excessu, BN, supra k. Cum ergo subsesquialtera DB, nempe duae terti e partes DB, aequentur duabus tertijs partibus DN, & duabus terti' partibus B N; ergo B erit ad A O N B, ut BD, ad N D , cum duabus tertiis partibus B N, S cum tertia Parte e

47쪽

ER DE INFINITIS PARABILIS ETC.

SCHOLIUM IL

Sed & aliam rationem B M , ad A o N B, licet uniuersaliter colligere. Nempe, quod sit, ut tot AB, quotus est numerus parabolae unitate auctis, ad tot AB, quotus est numerus parabolae, simu Icum PB, seu NO. Quod cit euidens ; quia BM , est ad PM, ut BA , ad AP ; ncmpe ut

BA, accepta secundum numerum palabolae unitate auctum, ad tot numero A P. Parallelogra

PM, est ad c

trilineum

tot A P,quotus est iis merus parabolae unitate auctus , ad

A P. Ergo exaequali , &

tionis , erit B M, ad A D N B, ut B A, accepta secundum numerum pa abi lar unitare auctum , ad excessiim si praA P; ncmpe ad tot BA, quotus est numerus parabolae , simul cum B P. SCHO-

48쪽

Ex superiori Scholio I ieet colligere in parabo. Ia quadratica, s M, esse ad AON B, ut tripla BA, ad duplam BA, cum B P, seu NO; nempe subtriplando terminos, ut BA, ad duas tertias partes B A, cum tertia parte BP, scii No. inuic κ dictis licet coli gere quandam proprietatem p rabolae cuiuscumque, quam licet iudicemus parum, aut nihil sequentibus inseruire , attamen nobis videtur pulcherrima scitu . Proprietas autem est. Quod .

PROPOSITIO XI.

DAgmento ora dotis opositionis, tot fria uti A B quotus es Nume us parabola,cum et no triangulo sNA, sisnt ad segmentum ON B, ut numerus parabola initate auctus, ad Manum. ' '

OVoniam enim ex dictis, B M, est ad AON B,

ut AB, accepta secundum ni merum parab. D unitate auctum , ad eandem AB, acceptam secundum numerum paraboLe, cum NO; ut vero tot Ad , quotuS est numerus paraboIaemnitate auctus, ad tot Ad quotus est numerus par bolae, una cum N O, sic tot triangula AN B, quotus est numerus parabolae viaitate auctuS , ad tot

49쪽

s o DE INFINITIS PARABOLῖS ET . tot triangula AN B, quotus est numeruS parabolae , simul cum triangulo OBN, Ergo , & ut tot triangula A B N, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot talium triangulorum, quotus est numerus parabolae, cum triangulo OBN, MBM, ad AONB. Ergo & permutando , Ut tot triangula Ar is, quotus cst numerus parabolae unitate auctus, ad dM; nempe ad duplum triangulumJAlNη; nempe ut numerus parabolae auctus unitate , ad binarium , sic tot triangula AN quotus est numerus parabolaticum triangulo O B N, ad segmentum AONB. Quod &ci

s CHOLIVM

Ex quibus licet notare, quod in parabola quadratica dumtaxat, illa triangula , ad segmentum retinent semper eandem rationem , quam habet parallelogramum s C, ad semiparabolam nempae talia triangula ,sunt segmenti sesquialtera, ut con sideranti patet.

Si quaelibet semipamabola , eum sibi circumscripto parasio

tumsem parab lae , quod in cludit, it tot bases semiparaboia, quotus est numeνus ipsius rumine auctus , ad

50쪽

aκressum Farum sepra tot --Neontinue proporti vales ι. ratione ιnterceptae inter diametrum , in paraculam ab ipse remotiorem, ad Aterceptam inter diameiatrum , ω paria iam proximιorem, quarum prima maior sit altera proportionalium m ratione basis seramparatabolae , ad interceptam inter diametrum, or parallelamis Esa remotiorem , qui earum numerui superet num rvm parabola rvmtate.

BC, ergo parallelogrammum, cum sibi inscri-pra semiparabola, secetur MN, FG, di, metro AB, parallelis ; & ratio DB, ad BG,

continuetur in tot terminos , ut numerus eorumi exce-