De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

61쪽

x DE INFINITu PARABOLIT ETQnendo, erit P Κ, ad K F ; nempe parallelogram

nium NE, ad parallelmmmmum ΕΚ, ut L, cum FD, ad FD; nempe ut L, cum FD, acceptis ambabus secundum numerum parabolae unitate auctum, ad tot numero FD. Sed ex propos Io. E Κ, est, ad E H k F, ut tot F D, quotus est numeruS parabolie unitate auctus, ad excessiim ipsarum supra M. Ergo ex aequali , erit NE, ad E H E F, ut tot L, cum tot F D, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum tot

numero FD, supra M. Rursum eodem modo probabimi s, esse parallelogrammum kN , ad parallelogrammum N F, ut tot DF, eum tot L, quintus est numerus parabolae unitate auctus , ad tot

numero

62쪽

quotus est numerus parabola: unitate auctus, ad excessiim ipsarum supra Q; nempe Vt tot L, quotus est numerus parabolae unitate auctus , ad R factum est enim supra , ut tot 'F, quotus est num rus parabolae unitate auctus,ad excessum ipsarum supra Q, sic tot L, quotus est numerus parabolae unitate auctus ad R., Ergo rutium exaequali, erit NE, ad POEF, ut FD, cum L, acceptis ambabus secundum numerum parabolae unitate auctum , ad R. Quare colligendo omnia conis sequentia, erit NE, ad POEHk, ut tot L, cum tot FD, quotus cst numerus parabolae unitate auctus, ad R, simul cum excessu tot F o, quotuSest numerus parabolae . unitate auctus supra M. Quod erat ostendendu II.

SCHOLIV M.

Deducemus ergo ex dictis, quod in parabola quadratica, erit Nk, ad POEHk, ut tres L, cum tribus F D, ad duas FD, cum kD,&cum excessu F Κ , supra M , una cum it & subtriplando terminos, ut L, cum FD, ad DK, cum duabus tertij, partibus FS, & cum tertia parte excessus ipsius supra M, una cum tertia par te R.

63쪽

- DE INFINITIS PAR B LM ETC.

PROPOSITIO XV.

Si semipardoti qua eumque secetur sinea diametro para

leo ,-portiore psius , qua es miri r totius parab is, circumscriba ιν parastelogrammum . Hoc erit ad portionem , quam includit , it tot contιnue preportionales , in ratnaee basis semiparaboia , ad interceptam inger diametrum,u parastelam ductam, rarum maximo fit basis se parabis, quotus est numerus par Lia s tot micibus acceptae , quotus en uum rus parabola initate auctus , ad easdem proportion ses sic acceptas, it basis semiparabis accipiatar se cundum numerum parabia; Secunda, secundum nu- merum mnιtate minorem sinsic demc s.

ESto semiparabola BAD, quae sit secta N O,

diametro A B, parallelai & segmento OND, sit circumscriptum parallelogrammum NE. Dico N E, esse ad OND, ut tot in proportione D B, ad B N, quarum maxima sit DB, secunda N B, quotus e st numerus parabolae; S hae, tot vicibus acceptae, quotuS est Dumerus parabolae unitate auctus, ad has easdem proportionales ; sed sica ceptas , ut DB, accipiatur secundum numerun parabolae; BN, secundum nun erum parabolae unitate minorem; & sic deinceps. V. g. in prima, Vt dupla DB, ad DB. in secunda, ut tripla DB, cum tripla BN, ad duplam DB, cum unica B N. in

64쪽

LIBER NM'. 41 In tertia, re quadrupla DB, quadrupla BN, &quadrupla E, s si haec sit tertia proportionalis m,nor ipsarum, DB, BN,ὶ ad triplam DB, dupi m unicam h. Et sic in infinitum.

Semiparabota circumscribatur parallelograna-mum BC; M NO, producatur usque ad M, ω ratio G A, ad AM, seu DB, ad BN , continuetur in tot terminos, ut numeruS Corum excedat munerum parabolae unitate , sitque visimus mini mus .rminus k. Quoniam , ex genesi parabo rarum , est ut N M, ad MO, sic pΟ- testas CA,

seu N B ; nempe sic DB, ad h. D

coiiuersio

nem rationis, erit MN, ad NO; nempe parauIelogrammiim M D, ad parallelogrammum NE, ut DB, ad exces m ipsius supra h. Et conue tendo, erit NE, ad N C, ut excessus B D, Ω-pra , ad BD, nempe ut talis excessus tot vicibus

65쪽

hus acceptus, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot numero DB. At, eae secunda parte propos s. conuerrendo, N C, est ad trapezium MCDO, ut tot CA, seu DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot numero continue proportionales in ratione Ch ,' ad A M, seu DB, ad BN, quarum maxima sit DB; um de per conuersionem rationis, est NC, ad NO D. ut illae tot DB, ad excessum ipsarum sum illas proportionales . Ergo ex aequali, erit NE , ad NOD, ut tot excessus DB, supra κ, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum tot DB, quotus est numerus parabolae mirate auctus, supra DB, BN, & caeteras tot proporti nates, quot suot ipse: . At ex scholio propos 7. excessiis D B, supra , , aequatur omnibus excesUbus ipsarum proportionalium,qui sunt tot numero, quotus est numerus parabolae; unde excessus DB, supra tot vicibus acceptus, quotus est numeruSparabolae unitate auctus, arquatur tot vicibus omnibus excessibus ; Pariterque excessus tot DBiquotus est numeras parabolae unitate auctim , supra D B, BN , & caeteras tot proportionales, quot sunt ipsae, aequatur Omnibus excessibus , tot vicibus , quotus est numerus parabolae ; omnibus excessibus a primo, tot vicibus, quotus est numerus parabolae unitate minus ; alijs excessibus a primo, & secundo, tot vicibus, quotus est numerus

parabolae binario minutus, & sic deinceps Ergo

66쪽

- LIBER PRIMUS. V νη NE, erit aff OND, ut eTcessus omnes , totvLcjbq accepti, quotuSest numerus parabolae unita te auctus, ad excessum DB, supra BN, accepi Cm secundum numerum parabolae s cum excessu BN, supra x, accepto secundum numerum parabolae

deincepS . Verum ex praecitata

Proposit. 7. T

gnitudinum cotinuὶ proportionaliu, sunt in proportione c 5

tinua ei usidem rationis cum proportione totarum magnitudinum ; unde est, ut excessus DB, supra Κ, acceptus secundum numerum parabolae unitate auctum , ad praedictos excessus, sic DB, BN, &caeterae continue tot pr portionales, quotus est numerus parabolae, acceptae secundum numerum parabolae unitate auctum, ad cceptam secundum numerum parabolae; cum B N, acoepta secundum numerum paraboIae unita-- minutum; cum accepta secundum numerum

parabolae bisario minutum s & sic deinceps. Ergo

67쪽

8 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. N NE, erit ad OND, ut DB, BN,& caeterae

tot proportionales secundum numerum parabolae.& hae acceptat secundum numerum parabolae unitate auctum, ad easdem proportionales sic acceptas, ut DB, accipiatur secundum numerum paraboliae; BN, secundum numerum parabolae unitate minu-ium; & sic deinceps. Quod &c.. . ..

COROLLARIVM-

Ergo per conuersionem rationis, N E, erit ad O ED, ut pisdictum antecedens, ad excessumidi susi supra tale consequens. U. g. in prima parab

la, ut dupla B D, ad BD. In secunda, ut tripla D cum tripla BN, ad DB, cum dupla ΒΝ. sn tertia , ut quadrupla od, quadrupla ΒΝ, & quadrupla Κ, ad DB, duplam ηΝ, cum tripla K. Et se

in infinitum.

Ex dictis facile potost deduci imparabola quadrattea, N E, esse ad OND, ut DB, cuin 3Ν, ad dimidiam DB, cum dimidia BN, & cum sexta parte N D. Nam, cum in parabola quadratica, fit N E, ad OND, ut tripla DB, cum triplfi BN, ad duas Dd, cum B N. Ergo & ibinpiatis terminis, utit ut DB, B N, Mitertiam partem duarum DB, S unius B N. stertia pars duarum DP, ncie

68쪽

LIBER PRIMUS. iduas urtias Ra

partes B D; Cnempe duas ltertias par-

nempe ad V RBN, cum ' duabus tertiis parti s Nos nempe cum quamos seritis partibus eiusdem. At B N, cum quatuor sextis partibus ND, facit dimidiam BN, dimidiam BD,& sextampartem N D. Quare patet propositum. Imo potest deduci per conuersionem rati nis, esse N E, ad GED, ut DR B N, ad B N, cum tertia parte N D, ut considerami patebit.

PROPOSITIO XVI

S quatuor magnitudines sint eantinue proportionatis. Erit mi excessus primae maioris supra secundam, runa cum

duplo excessu secunda sumis terrum , t cum eme unia supra quartam, ad subsesquiasteram prima, ω. secunia, cum unis pane excelsus seeunda supra qua

69쪽

- so DE INFINITIS PARABGLIS ETC. tam ,sic excessu primae supra secundam, a sui subsis

quialteram, cum tertia partesecunda. .: : .: l

SInt quatuor magnitudines AB. BC, BD, iB E, continue proportionales. Dico ut A C, cum dupla CD, & cum DF, ad subsesquialte-rram AB, BC, cum tertia parte CE, sic AC, ad sui subsesquialteram, cum tertia parte CB. Quoniam enim ex proposit. 74. etiam tres AC, CD, D E , sunt continue proportionale, i & in eadem proportione cum in B, B C, Sc. Ergo & v t Α C,

CD, DE, simul ; nempe A E ; ad mediam ipsa-,rςm C D , sic tres simul C B, D B, B E, ad D B;

nempe sic tertia pars CB, DB, BE, ad tertiam partem DB. . Sed & vi R E, ad GiD, sic d e ter tiae' partcs A E, ad duas tertiastpartes CD. Ergo ut A E, ad C D, sio sunt tam duo tintiae partes AE, ad duas tertias C in quam tertia pyr CB,BD, BE, ad teitiam partem DB . Quare cum magnitudines sint continue propcniorans, Vt: AE, ad C D, sic duo tertia A E, eum tertia parte CB, DB, BE, ad duo tertia CD, cum tertia parte DB. Et componendo , erit ut AE , cum . CD, ad CD, sic duo tertia A L, CD, . cum tertia parte CB, BE, &e duobus tertijs DB, ad duo tertia CD, cum tartia parte D B. Et permutando , ut AE,cum CD,

70쪽

eum im iri ad duo tertia AC, cum tytia parte los. Ergh ut AC, bdi duo tertia ' C, cum tertia'parte C B, sc A E, humC D, ad duo tertia A E, C B, cum tertia parte CB, EB. At A E , cumIC D, est A C, cum du- pla CD, & cum DE: pariter duo tertia AE, CB, cum tertia parte CB, B d, faciunt duo tertia AB, BC, cuni tertia parte C E; nam tertia pars CB, B E, faciunt duo tertia By, cum tertia parte C E,& duo ixerita A E, E B, faciunt duo tertia Α B. Quare patet propositum . .

. . PROPOSITIO XVII.

Son quacumque parabola sit ducta parallela diametro Erit parallelogrammum contentum seub ducta, subi si maiorii portionis, ad Esem maiorem portionem, it excessus basis portionis supra duas himas minores proportiooalei , si proportio basis semiparabia, ad im

terceptam inter diametrum, in paratulam, continuetur in Iot terminos , mi numerus eorum excedat nume

rum parabolae binario, acceptus sm undum numerum p 'raboia in late auctum, a tot basespraedicta portionis quotus est numerus parabola, Ciana cum exce M inter G 1 cepta