De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

51쪽

excedat numelum Parabola: unitate , sitquovit, mus terminu, minimus k; fiat autem ut G B, ad N. sic k, ad Ηοῦ quae ratio continuetur in totrςrminos , ut numerus eorum excedat nUmerum parabolae vritate 3 sitque ultimus minimus termi- quotus est numerus patρbolar vpirate auctus , auexcessum iptarum supra k, Η, & caeteras tot propinaionales, quo simi ipsae, Dum turl εχ pDrallela NG, Quoniam enim N F, est ad QΙ, ut CF, ad FEs nen pe eae genesi parabolae, ut potestis D B, corigi ucas parabolae, ad similem potesta-

52쪽

MBER TRIMVS. 33 potestatem BG; nempe ut DB, ad k; nempe ut DB, accepta secundum numerum parabolae unitate auoum , ad tot numero h a Pariterque conuertendo, ex secunda parte propos. s. est F, ad trapezium MFEO, ut tot FA , seu GB, quotus est numeruS ipsius unitate auctus , ad tot numero continue proportionalium in ratione F A, ad A M, seu GB, ad BNsi nempe ut tot ri quotus est numerus parabola: unitate auctus, ῆd k, H,& caeteras tot proportionales quot iunt ipse factum est enim supra , ut G B, ad B N, se ii F A, ad AM, sic k, ad H. &c. J Ergo ex aequali, erit N F, ad trapezium MFEO, ut tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad k, H, &caeteras tot proportionales quot sunt ipsae. Quare per conuersionem rationis, erit N F, ad segmentum CECN, ut tot D B , quotus est numerus parabolae unitate auctiis, ad excessum ipsarum supra E, H, & caeteras. Quod &c.

SCHOLIUM L

In parabola ergo quadr xica , erit N F , ad OEG N, ut tripla DB, ad excessum suora tres

. Sed & aliam rationem parallelogrammi N F, ad E segmen-

53쪽

M DE INFINITIS PARABOLIS ETC. segmentum OEGN, possumus in parabola quadratica assignare 3 nimirum quod sit, Vt quadratum DB, ad rectangulum BD G, cum rectangulis BGD, BN G, & cum duabus tcriijs partibus quadrati NG. Cum enim parallelegrammum N F, iit ad Q F, ut GF, ad F , nempe ut quadratum D B, ad quadratum BGι nempe ut triplum ut tripla GB, ad GD, B N, & R; itertiam minorem proportionalem G B, BNὶ nempe ducendo omnia in BG, ut triplum quadratum BG, ad quadratum

54쪽

BG,cum rectangulis G BN,GB , R. Ergo ex aequa-li,erit N F, ad trapeaetum M FEO, ut triplum quadra. tum DB, ad quadratum G B, cum duobus rectangulis G BN ; GB R; nempe ad quadrata Gn, BN, cum rectangulo G BN s q*ia rectan.

gulum extremarum G B, R, est aequale quadrato mediae ΒΝ. Ergo per conuersionem rationis, erit N F, ad segmentum OEG Ν, ut triplam quadratum DB, ad cxcessum supra duo quadrata GB, BN, & supra rectangulum G BN ; neminpe ut quadratum DB, ad tertiam partem huius excessus. At tertia pari huius excessus , sunt rectanguIa BD G, ηGD, BN G, cum duabus reriijs partibus quadrati tu G, Vt statim patebit.

Quod vero astumptusv est , sic patebit. Nam quadratum B D , excedit quadratum BG, rectangulis BD G, BG D. Pariter quadfatum BD, cxcedit quadratLm BN, rectan galis B N D , B DN. idemque quadratum BD, exeedit rectangulum G BN, rectangulis B GD, BDC, &BGN. Unde totus talis excessu; , aequabitur dum ti s rectangui. s BD G, duobus B GD, & re. ctangulis B DN , BN D, BGN. Arrectangu- Ium B DN, aequatur rectangu Iis BD G, & η D,

N G quod sectangulum B D , N G , arqu turrectangulis N G D, B NG , & quadrato NG.

55쪽

DE INFINITIS PARABOLU ETC.& rectangulis BND, BGN, NGD, BN G,

& quadrato NG. Pariter rectangulum BND, aequatur rectangulis BNG; BN, GD; & duo rectangula BN, GD; NGD, faciunt rectam gulum BG D. Ergo denuo colligendo, praedictus excessus aequabitur tribus rectangulis BD G, tribus B GD, duobus BNG , rectangulo BGN,& quadrato NG. Sed pariter rectangulum BGN, aequatur rectangulo BN G, & quadrato NG. Engo a primo ad ultimum, praedictuS excessuS aequa tur tribus rectangulis BD G, tribus B GD, tribus BN G, & duobus quadratis N G. Quorum

tertia

56쪽

. II 'LIBER PRIMVSo a tertia parserunt rectangula BD G, BGD, BNU,& duae terti; partes quadrati NG . Mare &c.

PROPOSITIO XIII.

Si euilibet parabolae sit circumscriptum parastelogrammum, quod cum ipsa secetur linea diametro parastela . Erat pars ipsius includens maiorem portιonem, adibam, 'Ut tot ba's praedicta portionis, quotus ea numerus par bolae initate auctus, ad tot bases semiparabolae, qu

tus est numerus parabolae, una cum excessu tot interceptarum inter diametrum , γ' parallelam ductam, quotus ea numerus parabola CUnitate auotas , supra misimam mιmmam eontinue proportionasem ; quarum

maxima sit basis semiparabolae s secunda intercepta imter Hametrum , in parallelam ductam quarum

numerus excedat numerum parabola binario.

- . t . . . . .

cumscripto parallelogrammo B D, quod cum ipsa secetur Gk EF, diametro paralfela; & ratio AF , ad Fh , continuetur in tot terminos, Ut numeruS eorum excedat numerum parabolae bunario G sintque duo ultimi minimi termini M, &Q. Dico parallelogra nar sit B k, esse ad portionem maiorem AEHk, ut Ah, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum, ad Α F, acceptam secundum numerum parabolae, una cum

57쪽

excessit tot F h, quotus est numerus parabolae Vnitate auctus, supra unicam αQuoniam enim paralleIogrammum ΒΚ, est ad parallelogrammum GF, ut Ah, ad kF; nem-

pe ut Ah , accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad tot numero Fh ; parallelogrammum autem GF, est: ad segmentum E H Κ F, ex propos. Io. ut tot AF, quotus est n merus parabolae unitate auctus , ad excessum ipsarum supra M, nempe ut tot FK, quotus est numerus para-bOIae unitate auctus, ad excessum ipsarum supra Q. Ergo ex aequali , erit B Κ, ad L H K F, ut A accepta secundum numerum parabola: unitate auctum , ad excessum tot numero F , , supra Q. Rursum

58쪽

LIBER PRIMUS. Is Rursum , eodem modo probabitur, k B, esse ad

BF, ut ΚΑ, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad tot numero A F. Sed BF, est ad semiparabolam Α EF, ut AF, accepta secundum numerum Parabolae unitate auctum, ad eandem, acceptam secundum numerum parabolae . Quare rursum exaequali,erit Bh, ad semipatarabolam, ut A , accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad Α F , acceptam secundum numerum parabolae. Ergo colligendo ambo consequentia, erit v K , ad portionem maiorem AEHk. ut Α Μ, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad A F , acceptam secundum numerum parabolae, una cum excessu tot FK, quotus est numerus parabolae unitate auctus , supra Q . Quod erat ostςnden.

SCHOLIUM

In parabola , ergo quadratica erit B K, ad AE HK, ut tres SA, ad duas AF, cum excessu trium Fk, supra Q.

PROPOSITIO XIV.

Si parallelogrammum cum portione anteced. proposit. μυ-tur aba tae a diametro parallela, adeo ivt duae parallelae iniaudant diametrum . Erit parallelogrammum inter

59쪽

ηo DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

. ιnter paralleias contentum , ad segmentum parabile, quod com ebendit, mi linea , ad quam basis semip ruoia habeat eam proportionem, quam batit imterceptarum ιnter inam parallelarum diametrum, ad aliam, ina cum bas emiparabolae , acceptis amba bus secundum numerum parabolae initate auctum, ad magnitudinem constantem ex duabus magnitudinibus squarum αυna , fit excessus tot basium semiparabri,

, quotus est numerus Esius unitate auctus, seupra m timam minorem proportionalem, quarum numerus ex cedat numerum parabola initate, in quarum mari

ma sit basii semipara tis Secunda intercepta illa in ter diametrum i ω paralbiam , quae erat antecedens primae proportioni : Aba vero magnitudo sit illa , ad quam conseqMens proportionis basis semiparabole , iuratioue interceptarum inter paralistas , is diametrum, accepta fecuniam numerum parabolae initate aucturi habeat eam proportionem , quam habet basis semiparabolae accepta secundum Numerum ipsius mmtate auctum, ad excessum supra inimam minorem proporti Valem , suarum numerus excedat numerum parabola nitate ; quarum maxima sit basis semipar. bolae s Secunda mero illa intercepta inter diametruw, γ' parasielam , quae erat consequens prima proportiouis.

Portio maior AE HK, cum sibi citcumscripto parallelogramino Bh , secetur N O P, EF, parallela , adeo ut NP, Gk, includant diametrum EF it fiat autem, ut L F, ad FP, sic FD, ad

60쪽

ad L. ratio aut D F, ad F Κ, continuetur in ruttermina, vinnmerus eortina excedat numerum pa

rabolae ibita ; sitque ultimus terminus M. Eodem modo, coniis uetur ratio AF, ad FP; llique ulumus tertiatrius QSTandem fiat ut tot AF, quotus est numerias parabolae unitate auctus, ad excessum ipsarum fit pyra rusc L, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum ad st. Dico di Κ, esse ad POEHV., ut L, cum A F, acceptae secundum numerum parabolae unitate auctum,ad R, una cuiIT excessu tot AP, quotus innumerus para Munitate auctus, supra M. Quoniam enim ex eonstructisine, conuertendo,