De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

31쪽

11 DE INFINMI PARABOLIS ETC. la ad semiparabolam , quam segmentum , ad segmentum , & trilineum , ad trilinemn, sint, ut potestas AD, seu N B, uno gradu altior potestate parabolae, ad frnalem potestatem E F, seu L B; Et Cum, vitalis potestas,ad talem potestatem, ita sit Α D , ad ultimum terminum proportionis A D, ad EF, sic continua

tae, ut numerus proportionum superet numerum Parabolae unit ue; numerus vero terminorum talium propo tionum, excedat numerum parabolae binario. Ergo, & ratio illarum figurarum,erit i A D, ad illum ultimum ter minum. V. g. in para bola cubica, continuata proportione A D , ad EF, in quatuor proportiones , & in quinque terminos,erit semiparabola, ad semiparabolam &c. ut AD, ad illum quintum terminum .

PROΡOSITIO QUARTA

Tam parabolae eiu em gratas , quam trilinea eiu em graias , quorum eadem basis, punt simile, ad simile M

. Iatione Hametrorum. .

, Sint

32쪽

rabolae ApE, A DE, eiusdem gradus , quarum eadem basis A E . Dico A B E , esse ad

A D E , ut BE , ad si

E D Circumscribantur ipsis parallelogramma F E, G E. Quoniam ex dictis in propositione an intecedenti , est ut A

sic semiparabola ABE, ad ADE. Sed supponamus ABE, ADE, esse trilinea eiusdem generis, quorum eadem basis A E. Eodem modo probabitur, esse trilineum ABE, ad trilineum ADE, ut diameter B B, ad diam trum ED. Quare patet propositum.

33쪽

' PROPOSIT 'O QVINTA.

Si quaelibet semiparabola secatur linea basi parastata, ω Iuper eadem basi, gr circa diametrum segmenti, constituatur alia semiparabola Gusem generis cum priorι. aeris residuum istius semipara bolae, empta ab ea secumda semiparabola , ad semiparabolam ad terticem, it basis, ad paratulam ipsi ductam .

miparabola, cuia lius balis AE,&i si ubilibet sit acta H D , parallela , Scintelligantiis A DE, semiparabolam eiusdem gradus , cum A B E . Dico residuum ABDA, e L .

Ratio A E. . ad A H D , continuetur

in tot termInoS , ut numerus eorum excedat numerum pa

rabolae binario ; & sint ultimi termini L, M. Quoniam ex propos ant. AB E, est ad A DE, ut BE, ad

34쪽

LIBER FRδM Ai p. ' ψέ ad EO; Ergo per conuersionem rationis, &comuertendo , erit A B D A. ad A BE, it B D. ad B E . Sed ex natura parabolae , est ut B D , ad B E sic potestis H D. eiusdem gradus cum p rabola .iad similem potestatem AE; ει ut talis podestas ad talem potestatem . sic , ex dictis, ultima proportionalium proportionis A E, ad H D, continuatae in todi terminos, ut num .dirus eorum eacedat numerum parabolae unitate o qui imminus, ex

constructione, est L, ad AB. Ergo & ut L, ad Α Ε, sic AB DA, ad ARE. . At AB E, est ad HBD, ex scholio. a. Propos. 3. ut AE , ad M. . Ergo ex aequali, erit AB L Α, ad HBD, ut L, ad M. Sed ut L, ad M, sic A S, ad Η D. Qu re pater propositum.

PROPOSITIO SEXTA.

Si quodlibet trilineum secetur lineis basi parallela, stes s per eadem basi confluatur trilineum circa diametrum trape j eiusdem generis cum priori .. Erit residuum totatius , dempto a toto trilineo tritaeo constituto , ad - trilineum ad m,erticem , it basis totius tri ei, ad si actam parastelam.

paralsela ; S super base FA, & circa di metrum FD, silconstituyum aliud trilineum elusi dein genetis cum trilines FBΑ . Dico D BA,

35쪽

ns iup TU PARABOUS ETC. . . esse ad trilineum ad verticem DBH, ve FA,hasis trilinei F B A , ad D H. Rstio FB, ad DB, continuetur in tot termi

nos Iut numerus eorum excedat numerum trilinei

binario; & sint duo ultimi tormini L, & M. Quoniam, ex Propos est F B A , ad F D A, ut BF, ad FD; Ergo per conuersionem rationis, &conuertendo, erit DBA, ad FB AC ut DB, ad BF.' Sed ex scholio a. propos. 3. est FB', ad DB H, ut FB, ad ultimum terminum tot proportionalium in ra I iῖ - tione continuata R I

eorum numerus

Quare ex aequali, f

erit DBA , ad ν

stas FB, eiusdem gradus cum trilineo ad similem potestatem DB; ω ut talis 'potestas , ad ra- lem '

36쪽

LIBER FRIMVS. 27 Iem potestatem, sic, ex genesi parabolae, G D, sed AF, ad DH. Lrgo & ut ΑF, ad DH, sic DBA, ad DB H. Quod erat ostendendum .

PROPOSITIO SEPTIMA.

Si quotlibet magnitudines ,sint continue proportionales iuproportione maioris inaequatitatis. Erunt etiam ista rum excessus continue proportionales in eade m proportione totarum magnitudinum.

HAEc propositio ab alijs etiam

ostenditur. Sint ergo quotcumque magnitudines AB, BC, BD, BE, Continue proportionales. Dico, etiam illarum differentias AC, CD, DE, esse continue propoletionales in eadem proportione AB, ad BC. Quoniam enim, per hyppothesim , est ut tota AB, ad totam BC, sic ablata B C, ad ablatam BD. Ergo & reliqua AC, erit ad reliquam CD, ut tota AB, ad totam B C. Idem de reliquis eodem modo concludetur . Quare patet

AC D

Ex dictis etiam observetur, quod si sint quota C cumque

37쪽

18 DE --TIS PARI LIS ETC. cumque magnitudines continue proportionales, erit disserentia intor primam, & vltinaam, aequalis omnibus disserentijs; nempe primae, & secundae secundae, & tertiae; & sic deinceps. A E, enim, quae constat et diis reniijs harum proportionalium , est excessus AB, sepia B E.

PROPOSITIO OCTAVA.

Si semiparabola cuiusiumque generis secetur linea basipa rastela s , super eadem basi, in circa diametrum Igmenti, sit ana semiparabola, it dctum eri in P,ors. 3. Erit strentum , ad semiparabolam quam imcludit , mr tot continue proportionales, in ratione bd.

sis , ad actam parallelam , ετ quarum prima , fit ἀλcta basis , quotus es t umerus parabi L multate auctas , ad has proportionales , mitima minori excipia. M parasiel grammum mero sibi cirium pium , et tidem antecedens, ad consequens, quo ad primum consequens praedictum, sit mi numerus parabolae nitate auctus, ad numerum parabolae.

ABE, semiparabola qu h libet, secetur Ordiis natim applicata H D, & super basi A E, sit alia semiparabola A D E, eiusdem gradus cum priori, cui lit circumscriptum parallelogrammum G E. Dico segmentum A H D E, esse ad A D E, ut tot proportionales , in ratione A E, ad H D, quarum prima maior, sit A E , que tus est numerus

38쪽

MBER TRIMVS. Is parabolae unitate auctus, ad has easdem proporationales , vltima minori excepta . V. g. in parabola lineari, viduae πAE, FID, ad A E.

In quadratica,Vt treSA E, H D, cum te tia L, ad duas A E, H D. In cubica, Vt

ad AE, H D, Sc L. Et sic in infinitum. Pariter A H DE,erit ad parallelogram inum G ut idem

antecedens, ad consequens , quod ad consequens prius in

uentum , sit ut nu- ἱ ε- flmerus parabolae unitate auctus , a i numerum parabolae . U. g. in prima parabola , erit trapez um A H D E, ad parallelogran mum GE, ut tu e AE, H D, ad duplam A E. in quadratica, ut A E, H D, & L, ad sesi quialterani ipsarum A E, H D. In cubica, ut A E. H D, L, St M , ad sesquitertiam A E, F D, & L, simul. & sic in infinitum. Continuetur ratio A E, ad H D, in tot termi

noS , Ut numerUS eorum ea cedat numerum para

bolae binario; sintque ultimi minimi termini i ,& M.

39쪽

Quoniam ergo, ex scholio a. propos. 3. est semiparabola ABE, ad HBD, ut AE , ad M. Ergo

per conuersionem rationis , & conuertendo , erit

segmentum ΑHDE, ad AB E, ut excessiis Α Ε, supra, M, ad ipsam AE. Verum , quoniam ut EB, ad BD, sic potestas A E, eius iena gradus cram parabola, ad similem potestatem H D; & vitalis potestas A E, ad potestatem H D, sic A E,

ad penultimam proportionalem inuentam, nempe ad L. Ergo & per conuersionem rationis, ut B E,

ad E D, sic AE, ad excessum ipsius supra L. Sed ex propos ut BE , ad ED, sic semiparabola A B E , ad semiparabolarn A D E. Frgo &ABE, erit ad A DE, ut ad excessum linsitas supra L. Cum autem etiam probatum sit, esse AH DE, ad ABE, ut excessiis A E, supra M, ad A E. Ergo ex aequali, erit A H D E, ad A D E, ut excessiis A S, supra M, ad excessum A E, B-pra L. At excessiis AE, supra M, aequatur, e schol. propos ant. omnibus eacessibus, qui tot sunt, quotuSest numerus parabolae vilitate auctus quia omneS termini proportionis excedebant numerum parabolae binario, & solus ultimus terminus alium non xcedit γ& excessiis A E, si pra i , continet tot cxcessiis , quotus est numerus pa abolae; & excelsus magnitudinum continue pi oportionalium, sunt proportionales continuem cadiam proportione cum totis magnitudinibus, ex propos ant. unde

ut excessiis Ah, supra M, ad excusium A E, supra

40쪽

OBAR PRIMUS.pra L, sic AE, HO, V

& caeterae tot pro- portionales, quotus est numerus parabOlae Unitate auctus, ad AE, H D, & caeteras tot proportionales , quotus est numeruS parabolae. Er

Caeterae tot proportionales, quotus est a numerus parabolarvn i tates auctus , ad has easdcm proportionales , ultimo minori termino excepto.

Secunda pars propositionis , patebit faciliter.

Cum enim, ex propos t. i. st A DE, ad GE, ut numerus parabolae , ad numerum parabolae unita. te auctum, nempe ut AE, H D, cum caeteris tot proportionalibuS, quotus est numerus parabolae, ad magnitudinem, quae ad ipsas sit, numerus par bolae unitate auctu S,ad numerum parabolae. Ergo ex aequali, erit A H D E, ad G E, ut A E, & caeterae tot proportionales, quarum numerus excedat numerum parabolae Unitate , ad magnitudinem, quae ad AE, cum tot caeteris proportionalibus, quotus