De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

71쪽

11 DE INPINITIT PARABOLIS ETC.

reptae inter diametrum,'parallelam, supra mitanam minorem proportionalem.

ΙΝ parabola AED, ducatur H h, diametro

EF, parallela ; & compleatur parallelogra naum L Κ; ratioque AF, ad Fh, continuetur

in tot terminos, ut numerus eorum excedat num

rum parabolae binario ue sintque ultimi minimi ter. mini M, in Dico LΚ, esse ad ΑEHk, ut e cessus AF, supra M, & FK, supra Q, accepti secundum numerum parabolae unitate auctum, ad Α Ε, acceptam secundum numerum parabolae, Una cum excessu Fk, supra Quoniam enim, ex natura para Ire, est ut E Rad GH, sic potestas DF, congruens parabolae, ad si-

72쪽

. LIBER PRIMO. ad similem potestatem Fh; nempe sic DF, sed AF, ad M. Ergo per can einodemi rationis, &conuertendo, erit kH, ad EG, vi ςxeessus A supra M, ad A FU Cufii autom fit ut excessus AF, supra M, ad A F, sic excessus Pn supra a ad Fh. Irgo erit permutando, AF, ad F x, urexcessus A F, supra M, ad excessuin F Κ, supra conuertendo, Sc componendo, ut L A, ad A F, sia excessius E A, iuria in & M, Mexcessum AF, ωpra M. Et rursum permutando , dc conuertendo, Vt excessus A F, supra M, ad AF, sic excessus Ah, sipra M, ad Ak. Sed ut exces, sus A F, supra M, ad AF, sic probatum est enkH, ad kG; nempe parallelogrammum L K, ad Bk. Ergo ut L Κ, ad B L, sic excessus A h. supra M, ad A K; nempe sic talis excessus acceptuS

secundψm numerum parabolae unitate auctum, ad tot numero Αω. Verum ex propos 3 ΒΚ, est ad portionem A EHk, ut A λ, accepta secundum numerum parabola unitate auctam, ad eandem acceptam secundum numerum parabolae , una cum excessu F λ, supra Ergo ex aequali, erit L , ad pomtionem A E H K, ut excessus Ah, septa M. & O, acceptus secundum numerum parabolae unitate auctum, ad A Κ, aeceptam secundum numerum parabolae, una cum excessu F sipra Q. Quod erat ostendendum.

73쪽

s DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

In parabola ergo quadratica i in qua proportionales AF, F , M, ει α ,spnt tantum quatuor, erit L , ad portionem, ut excessus triplus Ak, suis pra M, & ad duplam Ak, cum excessu F k, supra nempe subtriplando terminos, ut taliuexcessus una vice sumptus , ad subsesquialteram A K, cum tertia parte excessus F K, supra V - rum excessus A X, supra M, S Q, est excessiis A F, supra FK,duplus excessus FK, supra M,&excessus M, supra Q; quia A F, excedit M, excessu A F, supra FK, & F , supra M; FK, vero excedit Q,

74쪽

excessu ipsus supra M, & M, supra Frgo erit L , ad AE Hκ, ut excessus primά A F, supra secundam FK, cum duplo excessu secundae FK, supra tertiatu M, una cum excessu tertiae M, supra quartam Q , ad subsesquialteram AK ; nempe compositae ex prima,& secunda, una cum tertia parte excessii secundar FK, supra quartam Sed ex propositione antecedente, ostensum est esse in eadem ratione,excessum priae ae A F ; seu F D, supra F K, secundaminempe K D, ad sui subsesquialteram, cum tertia parte F S, secundae s nempe ad dimidiam D K, cum sexta parte A X: quia duae tertiae paries D K, nempe quatuor sextae partes D K , faciunt diamidiam D K, cum sexta parte eiusdem j & tertia pars FK, est idem, ac sexta pars duplae FK: sexta ergo

pars duplae F, cum sexta parte Κ D, faciunt sextam partem AK. Ergo LK, erit ad A F HK , ut D K, ad sui dimidiam, cum sexta parte A K . Verum cum in scholio propos a 3. ostensum sit,quod si porationi HKD, circumscribatur parallelogrammum, hoc erit, ad portionem, ut A , ad dimidiam AK, Cum sexta parte SD . Ergo ex istis potest deduci haec regula generalis. Nimirum ; Quod si parabola quadratica secetur linea diametro parallela, secante ipsam in duas portiones: erit parallelogrammum

75쪽

PROPOSITIO XVIII.

Si quaelibet semiparabola secetur duatas lineis diametro p rasteus ι αμ segmento intremedio ab illis eontento, timeumscribatur parallelogrammum. me erit ad dictum segmemtum a se inclusum, it tot excessus basis semip rabin , quotus eginumerus ipsius initate auctus,supra illimam minimam proportionalem ; ροαrum numerus excedat numerum parabati initate, 6ν qvirum maxima sit basis semiparabotis secunda intercepta inter H metrom, ω paratulam proximiorem, ad consequenspm- ρή ia ; nempe ad excessum rothasium se parabile,

quotus aB numerus ipsius initate auctus, fluxatum mers continueproportunatium, m Taene murra a in ter Hametrum,-parallelam remotIorem, admierinptam inter diametrum, er parallelam pro ximiorem, να-rum maxima sit ultima minor proportionalium, m rais ne basis simiparabola, ad interceptam inter diametrum. parallatim remotioremi , quinum numerusexertar

numerum paraboia mmtate. ' , .

SEmiparabola ABD , secetur duabus Iineis ON, EG, AB, diametro parallelis; & segmento OEGN, ct inscribatur paralle gramimum N P ό ratio autem D R, ad BN, continuetur in tot terminos, Ut numeras eorum excedat unitate numerum, parabolae; staque VltimuS. minimuSterminus R. Eodem modo continuetur ratio DB, ad BG;

. sitque

76쪽

. . UI 'Graxo restque ultimus terminus k;&fiat ut G B, ad BN, sieli, ad H; quae ratio continuetur in L, & caeteros tot terminos , vinumerus eorum excedat numerum pDrabolae unitate Dico NPi esse ad OEG N, ut tot excessus .DB, supra R, quotus est numerus p rabolae unitate auctus, ad excessiim tot D B, quotus est numerus parabolae unitate auctus , supra k , H, & caeteras tot proportionales, quot sunt

ipsae. ι. Producantur NO, GP, usque ad M, & F. Quoniam enim, ut NM, ad Mo, sic potestasCA, seu DB , eiusdem gradus cum parabola,

H ad

77쪽

18 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. ad similem potestatem MA, seu BN; nempe ut

DB, ad R. Ergo per conuersionem rationis, &conuertendo, erit ON , ad NMs nempe parallelogrammum NP, ad N F, ut excessus BD, supra R, ad BD; nempe ut tot tales excessus , quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot numero DB. At ex propos Ia. est N F, ad segn entum OEGN, ut tot DB, quotus est numerus para holae unitate auctus , ad excessum ipsarum supra Κ, H, & caeteras tot porportionales, quot sunt ipsae. Ergo ex aequali, erit OG, ad OEGN, Veisi excessus BD, supra R , quotus est numeruS

78쪽

parabolae unitate auctus,ad excessum tot DB, quot sunt ipsi, supra Κι H, & caeterastoe mFinero propo tionales. Quiaeratostendendum i et ' m

SCHOLIUM. '

In parabola ergo quadraticli erit NP , OEG N, ut triplus excessus DR, supra R, quae sit tertia minor proportionalis ipsarum DB, B N, ad excessum tripta DB, supra tres E, H, L.

PROPOSITIO XIX.

Si quaecumqμe semiparaboti secetur linea diametro para leti, ear perpunctum lineae parabobca ibi secatur , ordinatim applicetur linea ad diametrum, adeo mi Amentum ad Hametrum, secetur in parallelogrammum , , semiparabolam ad terticem . Erat parastelogram-mum ad semiparabolam ad terricem , it tot disserea tis inter diametros semiparabolarum, quotus in num rus parabola mnitate auctus , ad tot diametror femι. parabola ad merticem , quotus est numerus' parabolae .

Smiparabola ABD, secetur ON, diametro

AB, parallela; & ordinatim applicetur OP. Erit parallelogrammum PN, ad semiparabolam P Ao, ut tot BP, quotus est numerus parabolarunitate auctus , ad tot A P, quotus est numerus

79쪽

DE INFINITI ARABOLIS Erc.

rum parabolae unitate; sitque vItimus terminus h. Dico segmetitum AONB , esse ad portionemo DN, ut rectanguliun contentum sub BN, M sub BD, accepta secundum numerum parabolae, una cum rectangulo sub eadem BN, S sub excessu DB, supra k, ad rectangulum contentum sub N D, & sub excessu tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auctitS, supra tot DB, BN, &alias proportionales praedictas. Nam ratio segme ti AON B, ad portionem ODN, componitur ex ratione segmenti, ad BM; huius ad MD; & huius, ad portionem ODN. Ratio AON B, ad

B M, est, ex tib proposit. ι o.

conuerten

do , eadem cum ratione excessus tot D B, quotuSest numeruSparabolae V-n ita te au

tus, supra k, ad tot BD, D quotus est Nn umetus pa- trabolievn itate auctus; nempe ut tot BD, quotus est numerus' parabolae, cum unico excessu DB, si

pra k, ad idem consequens. Ratio EM, ad MD,

M.tia est

80쪽

est eadem cum ritione B N, ad Nn. Et ratio NC, ad portionem , est cadem cum ratione tot: BD, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum ipsarum, supta DB, BN, & alias pro. portionales, quot sunt ipsae, ex secunda parte proposit. '. per conuersionem rationis . Ergo ratio AON B, ad ODN, componerutcx ijsdem ratio nibus: nempe ex ratione tot DB i quotus innua inhrus parabolae, una eum excessu Di suprah, ad tot Dd, qu tus est numerus parabolae unitate auiactus 3 harum, ad excessum ipsarum, iupra DB, ΒΝ,&caeteras tot proportionales, quot fu ni ipsae ; &BN, ad N D. Sed rationes tot DB, quotus est numerus parabolae, cum excessu DB, supra ad tot D B, quotus est numerus parabolae unitate auctus;

S harum ad excessum ipsarum supra D B, B N, &caeteras tot proportionales, quot sunt iplae, componunt rationem tot DB, quotus est numerus parabolae, una C excessu D B, supra k, ad excessum tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus,supra D B, B ti caeteras tot proportionaleS,

quot sunt ipsae. Ergo ratio AON B, ad ODN,

componeturex antedicta ratione,&ex ratione B N,

ad N D. Sed ex istis rationibus, componitur quinque ratio rectanguli sub BN, in D d, acceptam sectandum numerum parabolae, & reclanguli sub eadem B N, in excessum DB, supra k, ad rectangulum sub DN, in excessum tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus, supra .D B,. B N, &

- caeteras i