장음표시 사용
381쪽
Ies. Dico rectangulum DEG, aequale esse quadrato LM; vicissimque rectangulum kLN, aequale esse quadrato EF. Quoniam enim ex schol. Proposit. 2 lib. piim. quadratum B O, seu DF, aequatur quadratis EF, L M, & pariter aequatur quadrato EF, & rectangulo DEG; ergo quadrata EF, L M, aequabuntur rectangulo DEG, α quadrato EF. Quo ablato hinc inde . Ergo rectangulum DEG, erit aequale quadrato LM. Eodem modo ostendetur rectangulum k LN, a quari quadrato EF. Quare patet propositum. :
382쪽
3 L DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
Si quatuor magnitudinum proportionalium prima, sist tertia proportionaliterfecentur inpuncto, sitque pari primae ad partem secundae , 'Di pars tertiae fimas parti primae ad partem quartae Erit reliqua pars primae ad reliquam partem secundae , it reliqua pars tertiae ad reliquam pamr m quartae.
S Isti quatuor m/gnitudines proportionales, A R
r prima, CD, secunda, EF, tertia, & GH, quarta..ut sit AB, ad CD, ut EF, ad GH; sintque :Α B, prima, &i E F, tertia sectae propo tionaliter in k, & M, ut AB, sit ad ΒΚ, ut EF, ad FM; pariter CD, GH, sint sectae in
383쪽
Dico Ah, esse ad CL, ut FM, ad GN. Quoniam ex hypothesi, est conuertendo, CD, ad A B, ut GH, ad EF; & AB, ad ΒΚ, ut EF, ad FM; & kB, ad LD, ut MF, ad NH. Ergo ex aequali, erit diuidendo, CL, ad LD, ut G N, ad NH. Rursum quoniam ex hypothesi conuertendo, Vt L D, ad k B, sic N H, ad M F; Sc pariter ex hypothesi diuidendo, & conuertendo, est ΒΚ, ad k A, ut FM, ad ME. Ergo pariter ex aequali, erit CL, ad ΑΚ, ut G , ad Ε M. Conuertendoque,erit Ah, ad CL, ut EM, ad GN. Quod, &C.
Excessus vlindri circumscripti conoidiparabolico quadratι- co supra ipsum, aequatur ipsiconoidi. αuodlibetue segmentum talis excessus resciri plano, metplanis basi pa
rastelis , aequatur segmento eiusdem conorous inuerae positi,ac contento inter eadem plana.
E xo conpides parabolicum B A C, cui sit citis
cum scriptus cylindrus H C. Dico primo, exincessum cylindri supra conoides aequari conOidi. S cta diametro DA, in quotcumque parteS aequales
Α E, E F, F G, G D, &c. per puncta E, F, G,rra stant plana kL, MN, O P, ipsi BDC, parallela ;super
384쪽
3 DE INFINITIS PARABOLIS Brc. super basi autem IEQ, intelligantur cylindri Xa item superbasii R FS, cylindri SY, S.; p, riterque super basi TG V, cylindri VE, T F. P
tet , in excessu cylindri supra conoides, inscriptos esse tubos, cylindricos sibi super impositos ortos ex reuolutione parallelogram morum EM KR, M circa AD: item in conoide, inscriptos esse cylindros inh, S , T Φ, ut in schemate, tot numero
quot sunt tubi inscripti in excessu. Tunc, quoniam Α Ε, aequatur D G; ergo ex proposit. antec. rectangulum k IL, erit aequale quadrato T G. Ergo γ a milia circulatis, cuius latitudo hi, crit aequalis circulo, cuius semidiameter T G. Ergo tubus cylindrucus EX L, inscriptus in excessu erit aequalis cylim dro T,ε,, inscripto in conoide, quia&bases,& altitudines horum solidorum sunt aequales. Eodem modo Ostendetur tubum MYN, aequari cylindro S : itemque tubum OZ P, sequari cylindro OR:& idem ostenderetur de omnibus alijs, quia sunt
aequales numero, dummodo tubus, qui comparatur
eum cylindro, aequaliter distet ab A , sicuti cylindrus a D. Ergo omnes tubi inscripti in excessu, erunt ςquales omnibus cylindris inscriptis in conoiade. Ergo & excessus erit aequalis conoidi . Nam cum per continuatam b: sectionem , & stibisecti nem AD, partiumque eiusdem, possint, more vistato apud geometras, inscribi in excessu tot tubi cylindrici, in conoide vero tot cylindri, ut illi quidem ab excessu, hi vero a conoide, dessiciant quantitate
385쪽
dum si aliter dicatur quam nos dicimus. Excessus ergo praedictus, erit aequalis conoidi . Quare patet primum. Dico secundo, quod si A si, sit aequalis GD, adeo ut si conoides inuerseponeretur, segmentum B TV C, contineretur inter plana Het, kL; nihilominus cxcessiim cylindri H L, supra conoidest A Q, aequari segmento conoidis B T V C. Nam diuidendo A E, in quotlibet partes, & GD, in tot ipsis in AE, numero aequales, & per puncta A E, GD, ductis planis BDC, parallelis ; modo supra exposito, in excessu E A L, inscriberentur tu-Xx bi
386쪽
3 6 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. bi cylindrici, in segmento vero B TUC, cylindri.
tubique cylindrici essent aequales numero cylindris;&omnes tubi cylindrici probarentur aequales Omnibus cylindris, comparando semper tubum aequaliter distantem ab A , cum cylindro aequaliter distan. te a D. Vnde etiam, more usitato apud geometras, per deductionem ad impossibile ostenderetur,excessum praedictum K AL, aequari segmento B TV C.
Ergo totus cylindrus erit duplus conoidis. Ergo conoides erit sesquialterum coni qui est tertia pars cylindri sibi circumscripti. Ergo conoides erit subsesquitertium hemisphae iij, seu hemisphaeroidis ii scripti in eodem cylindro H C. Quae omnia conco dant cum doctrinis Archimedis,& aliorum.
Patet ergo ex dictis iii Irac, & superioribus proposit excessiim praedictum cylindri supra conoides, ipsumque conoides, esse magnitudines proportionaliter analogas , iuxta sensum des nitionis supra posita . Ad uberriorem autem doctrinam notetur, quod cum in schol. a. proposit. is . lib. a. uniuersaliter assignata sit ratio, quam habet cylindrus v g. OC, ad
387쪽
frustum BTUC, conoidis cuiuscumque parabolici a se inclusiq0ae in conoide quadratico,Vt ex regu la generali ibidem tradita clicitur, cst eadem cum ea, quam habent duae B D, cum duabus T G, nempe BC, cum TV, ad BD, T G, cum alijs duabus se lilentibus in continua proportione BD ad 1 G;&cum supponendo A E, GD, aequales esse probatum sit, excessum cylindri H L, supra i AQ, aequalem esse sigmento B T VC, & pariter cylindrus HL, sit aqualis cylindro OC: sequitur c-tiam, cylindrum H L, esse ad excessum ipsi s supra conoides lA ut BC, T V, ad B D, T G, cum illis duabus proportionalibus. Ex quibus patet Xx a per
388쪽
348 DE INFINITIS PARABGLIS ETC.
per conuersionem rationis, quaenam sirnio cylindri H L, ad conoides I A Q. Sed etiam ad uberriorem scientiam, licet in co-noide parabolico quadratico aliarii rationem cylindri Osi, ad frustum B T V C, colligere. Nimirum, quod sit ut dupla D A, ad DA cum A G, seu ut duplum quadratum B D, ad quadrata BD, T G. Quod sic patebit. Cylindrus HL, ad cylindrum X Q, est ut quadratum Κ E, ad quadratum EI; nempe ut duplum quadratum E E, ad duplum quadratum EI. Cylindrus X Q, est ad conoidest A Q, ut duplum quadratum l E, ad quadratum I E. Ergo ex aequali , cylindrus HL, erit ad conoides IA ut duplum quadratum kE, ad quadra,
tum l E. Ergo & per conuersionem rationis, cylin-dius HL, erit ad excessum ipsius supra conoides, ut
duplum quadratum kE, ad excessum iptius supra quadratum. IE. Quare & cylindrus OC, aequalis H L suppositis A E, .G D, aequat us erit ad se mentum B Tyc , aequale praedicto excessui, ut duo quadrata kE, seu BD, ad excessum i psorsim su pi a quadratum IE; nc pe ad quadrata BD, T G; quia quadrata IE, T G, squalia sunt quadrato B D. Cum autem sit ut quadratum B D, ad quadratum T G, sic DA, ad AG. Ergo & viduo quadrata B D, ad quadrata B D, T G, sic dupla DA, ad
DA, AG - Patet ergo in Oinnibal, & per omnia , prop0situm .
389쪽
Tara elogrammum circumscriptum parabolae quadraticae,ecta 'sim, mi Glindrus circumsiriptussphaerae et phα- . roid: ad phaerum, veliphaeroides, tam secundum totum, quam secundam partes proportiouales si diameter sph/ra et baeroi is, st basis parabolasccutur in partes pro
o parabola ABC, cum sibi circumscripto
parallelogrammo DA, sitque eius balis C A; item sit semicirculus, vel semiellipsis C F A iue C A, diameter ipsi is sit aequalis basi C A, parabolae,riue non, nam ponitur eadem facilitatis gratia in cum sibi circumscripto rectangulo GA; &intelligamus ipsum cum semicirculo, vel semiellipsi rotari circa C A. Dico parallelograminum D A, esse adparabulam A BC, ut cylindrus ex G A, ad sphaeram, veI pha roides, quod semper debet intelligi) ex CFA. Pari ter d ico si C A, secetur proportionali ter, &inpa abola, & parallelogrammo ducantur linear BE, parallelae, & in sphaera ducentur plana parallela circulo descripto a semidiametro E F; semper parallelogrammum, & parabolam, itemque spliceram, Acylindrum, secari in partes proportionale S. Hoc os endetur primo in sena i parabola EB C, D in heminphaerio ex C F Eo Diuidatitur C ii, semibasis parabolae, & semidiameter circuli proportionaliter iapanctis
390쪽
3ue o DE INFINITIS PARABOLII Erc.
punctis H, k,&c. &in parabola ducantur H L, KLBE, parallelae, in semicirculo vero H P, EO, EF, parallelae: item ducentur ba T, OV, RX, S Z, CA.
parallelae, ut apparet in schemate. Tunc . Quoniam in parabola est ex coroll. proposit. 22. p. rectangu
him AEC, ad rectangulum AkC, ut B E, ad Oh, 1eu ad UE; hoc est ut parallelogrammtim BE, ad parallelograminum V k; estque ut rectangulum AEC, in parabola, ad rectangulum AEC, sic re- ct ingulum A E C, in sphaera, vel spharoide , ad rectangulum Ah C ; & ut rectangulum A E C, ad rectangulum Ah C, sic ex Apollon. p. conic. propo sit. 2 i. quadratum E F, ad quadratum k S, sed EZ;&vt quadratum E F, ad quadratum EZ, sic cylindrus ex parallclogrammo E , circa CA, ad cylindrum ex E S, circa eandem. Ergo & ut paralle logrammum B Κ, ad parallelograminum V k, sic cylindrus ex E ad cylindrum ex ES. Eodem modo ostendetur, es e parallelograminum I H, ad parallelogrammum TH, ut cylindrus ex kP, ad cylindrum ex K R; idemque ostenderetur de ali; s, si adessent. Ergo ad modum superiorum facile con- ct udemus, parallclograminum DE, esse ad parallelogramma in semiparabola inscripta, ut cylindrus ex EG, ad omnes cylindros in hemisphaerio inscriptos. Quare etiam modo Archimedeo facile concludemus, esse D E, ad EB C, semiparabolam, ut