De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

81쪽

teras praedictas proportionales . Quare patet propositum.

SCHOLI U

Ex quibus licet inferre; quod in parabola quMdratica, erit segmentum AON B, ad portionemo DN, ut duplum rectangulum DBN, cum rectangulo sub BN, in excedum D B, supra k, quae sit tertia proportionalis ipsarum DB, BN, ad qua dratum N D, una cum rectangulo sub N D, & sub excessu DB, supra k; nimirum, ad duplum quadratum N D, cum rectangulo sub N D, in excessum

PROPOSITIO XXI.

Si in qualibet parabola, applicentur ordinatim ad Hametrum . dua lina aque remota, mna a vertice, ab/abasi.

E quaelibet parabola B A C, in qu ordinatim

applicentur duae E Κ, G L, adeo ut A k, D L, sint aequales. Dico potestatis ΕΚ, GL, eiusdem gradus cum parabola es aequari simili potestati B D. Quoniam enim, ut D A, ad A k, sic potestas DB, eiusdem gradus inm parabola, ad similem potestatem pariter, ut eadem DA, ad A L, sic

eadem

82쪽

LIBER PRIMVT. eadem potestas DB, M similem pote- Astatem GLia Ergo av i ut DA, ad ΑΚ, uΑ L, simul, sic

Ex hac propositione elicitur illud, quod partic lai Iter probauimus in nostro libello, cuius titulus. Sexaginta Problemata Geometrica, propositione posita pagina ἔ q. nimirum in parabola quadratica, quadratai ML G L, aequari quadrato B D.

PROPOSITIO XXII.

Linea ducta in qualibet parabati Hametro parallaia, Amisnter se, mi excessus pote satis basis flemi arabolae eiusdem gradus cum parabola, sepra pote tates eiusdem gradus interceptarum inter i as diametrum.

83쪽

εε DE INFINITII PARABOLIS ETC. E xo quaelibet parabola ABC, cuius diameter. BD , cui sint ductae parallelae FE , HGἀDico F E , ad Η G, esse ut excessus potestatis A D, congruentis parabolae,supra similem potest

excessum eiusdem potestatis AD, seu DR , supra similem

potestatem D G. Ducam

lae . Quoniam a .

Bk,sic potestas AD, eiusdem gradus cum parabola, ad similem potestatem FK, seu ED. Ergo per conuersionem rationis, S conuertendo , erit ut DL, seu EF, ad DB, sic excessus potestatis AD, supra similem potestatem E Di, ad similem potestatem AD- Pariter per conuersonem rationis, DB, est ad D L, seu ad GH, ut potestas in D, scii DC, ad excessiimillius, supra potestatem similem DG. Ergo exaequali, erit F E, ad HG, ut primus excessus, ad secundum excessum. Quod &ci

84쪽

LIBER PRIMUS.

In parabola ergo quadratica erit F E, adH G , ut rectangulum A E C, ad rectangulum

PROPOSITIO XXΙΙΙ.

Si a mertice cuiuscumque trilinei a primo, duratur Γmea in basim, secans curram parabolicam: per punctum ibi fleat euruam, sicatur Miue ad diametrum parastela basi. Erit basis trilnei ad sui partem intemceptam inter ductam, ω dia rarum, it potestis di metri tribuet ino gradu inferior potestare trilinei, ad similem potesatem diametri ιri ei ad reticem.

SIt quodlibet trilineum a primo, CBA , cuius vertex B, diameter BA, S a vertice B, ducatur BD, in basim, secan, curuam in E; &per E, ducatur E F, parallela C A. Dico CA, esse ad AD, ut potestas AB, uno gradu inferior potestate trilinei, ad similem potitatem BF. V. g. in trilineo quadratico, erit C Α, ad AD, ut AB, ad BF. In cubico , ut quadratum AB, ad qua dratum B F . in quadratoquadratico , ut cubus AB, ad cubum BF; & sic in infinitum . Quoniam enim proportio C A, ad A D, componitur ex proportione CA, ad EF, & huius ad DA; 1 a ex

85쪽

o DE INFINITIS PARARO Us ETC.

ex genesi autem parabolarum, est ut C Α, ad EF, sic potestas A B, eiusdem gradus cum trilineo, ad similem potestatem BFr &vt EF, ad D Α, sie BF , ad BA. Ergo ratio C A, ad 'A comis ponetur ex rationibus potestatis A B, eiusdem gradus cum trilineo, adsimilem potestatem BF, &ex ratione BF, ad BA. Sed mistis duabus rationibuS componitur ratio potestatis AB, gradu inferioris potestate trilinei, ad similem potestatem. F. Ergo patet propositum. ' '

PROPOSITIO XXIV.

Si cuibbet trilineo a primo, fesso .it in propositione ante-eedenti , sit circi scriptum triangulum. Erat irrari iam pars totius, cuius latus non est diameter tritaei ,

ad portionem excessus ipsius supra portionem trilineia se comprehensam, ut factum sub excessu potesta tirdiametrι trilinei mno gradu inferioris pote nate trib-ηei. supra similem potestatem diametri trilinei ad merticem, in quadratum diametri trilinei , ad tales partes excessus potentatis d ametri tritaei ino gradu altioris potestate trilineisuprasimilem potestatem tritaei ad memticem , quae ad talem excessum se habeant, me numerus trilinei initate minutus, ad numerum trilinei initate

auctum.

DVeatur in schemate proposit. ant. CB. Dico triangulum C BD, ςsse ad spatium C BEC,

86쪽

eomprehensum a rectis AB, BE, curua CE, Vr factum sub excessu potestatis A B, uno gradu inferioris potestate trilinei supra smilem potestatem ηF, in quadratum BA, ad tales partes excessu spo testatis A B, uno gradu superioris potestare trilinei, supra similem potestatem BF, quae se habeant ad talem excessum,ut numerus trilinei unitare minutus ad numerum trilinei unitate auctum. v. g. in trilineo quadratico, erit ut factuin sub F A, in quadratum B A, ad tertiam partem excessus cubi B A, supra cubum B F. In cubico, ut factum sub excessu quadrati BA, supra quadratum B F, in quadratum BA, ad duas quartas partes excessus quadratoquadrati AB, supra quadratoquadratum B F. In quadrato- quadratico , ut factum sub excessu cubi ΑΒ, supra cubum B F, in quadratum BA, ad tresqui ras partes excessus quadratocubi AB, supra qua

87쪽

1' DE INFINITIS PARABOLIS ETC. ad smilem potestatem MA, seu BN; nempe ut

DB, adjR. Ergo per conuersionem rationis, &conuertendo, eris ON., ad NMs nempe parallelogrammum NP, ad N F,xt excessus BD, supra R, ad BD; nempe ut tot tales excessus, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot numero DB. At ex propos Ia. est N F, ad segn entum OEGN, ut tot DB, quotus est numerus paranholae unitate auctus , ad excessum ipsarum Γupra Κ, H, & caeteras tot porportionalcs, quot sunt ipsae. Ergo ex aequali, erit OG, ad OEGN, Ve

88쪽

parabolae unitate auctus,ad excessum tot DB, quot sunt ipse supra H, & caeteras tot nuMem proportionales. Quia erat ostendendum l l Π

In parabola ergo quadrati cρ , erit NP , ad OEG N, ut triplus excessus DB, supra R, quaesiit tertia minor proportionalis ipsarum DB, B ad excessiim triplae DB, supra tres E, H, L.

PROPOSITIO XIX. '

Si quaecumque semiparabola secetur linea diametro para leti, es' per punctum bneae parabolica ibi secatur, ordinatim applicetur linea ad diametrum, adeo mi FP mentum ad diametrum,scetur in parallelogrammum, semiparabolam ad terticem . Em parastelogram-mum ad semiparabolam ad merticem , it tot disseremtia inter diametros se paraboiarum , quotus en num i rus paris a mnitate auctus , ad tot diametros semi- . parabola ad merticem , quotus eis numerus para

bolae.

Smiparabola ΑBD, secetur ON, diametro

AB, parallela; & ordinatim applicetur OP. Erit parallelogrammum PN, ad semiparabolam P Ao, ut tot GP, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot AP, quotus est numerus id a Para

89쪽

co DR INFINITIS PARABOLIS ETC. parabolae. QEoniam enim parallelogrammunia. PM , est ad parallelogrammum PM, ut B P, ad

PA; nempe ut i bo P, iquotus est numerus 1parabolae unitate auctus, ad tot numero A P. PM, autem , ex

Proposit. i. Aest ad PA

PA, quotus est numerus D

parabolae v- nitare auctus, ad AP, acceptam secundum numerum parabolae . Ergo ex aequali, erit P N, ad A P O , ut totv Ρ, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot AP, quotus est numerus parabolae . Quod

Sed & aIiam rationem PN, ad A PO, licet facile colligere ; nempe quod sit, ut tot differentiae, quotus est numerus parabolae unitate arectus , in

90쪽

. 'LIBAR PRI MUS. s Iter DB, & vltimam minorem proportionalem . continue, quarum prima sit Dd, secunda BN, ω Multi humerus excedat numerum parabola uni. rate, ad tot tales vltimas proportionabes:, aeceptas secundum numerum parabolae. V. g. in parabola quadratica,erit PN, ad P Α Ο, vel uteres B P, ad duas P A. Vel ut tres excessus DB, supra Κ, tetitiam minorcm proportionalem ipsarum D β, B N,

ad duas K. r. s. . . O .

PROPOSITIO XX.

s quaecumque se parabola, secetur linea diametνν paraL '' leti. Eratferentum a diametrum saψ rotiqvim pomtionem, rectangulum seta rueresibus semiparabolae , quotus est numerus ipsius, ω βb i tercepta inter divi metrum , in parat iam, ina pum rectangulosus baae imrerce a , in se bexcessu si s parabolae sura iis

mam minorem proportionalem in ratione basis semipariabolae, ad hanc interceptam, quarum numerus excedat numerum parabola mmtate , adrectangulum sta reliqua parte binsisse parabola, e r sub excessu , tubasium se miparabolae, quotus est numerus ipsius Ῥnitate auctus, sm

SEmiparabola B A D, cum sibi circumscripto parallelogrammo, secetur MON, diametro AB, parallela; huioque BD, ad BN, continuetur

in t*t terminos, ut numerus eorum excedat num rum