장음표시 사용
101쪽
ra DE INFINITIs RAMOS Erc. rum supra tales partes potestatis 3 F, uno gradu altioris potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam,
ut numerus trilinei unitate minutus, ad numerum trilinei gnitate auctum. Ergo rursum ex aequali, erit
triangulam CBD, ad spatium comprehensum a rectis C B, B E, & a curua C E, ut factum sub excessii potestatis AB, Uno gradu depraestioris potestate trilinei , supra similem potestatem BF, in quadratum BA, ad excessum talium partium potestatis A C, uno gradu altioris potestate trilinei,quae se habeari; ad ipsam numerus trilinei unitate minutus d numerum trilinei unitate auctum, supra sita miles partes potestatis si nilis BFi nempe ad talem partem excessus potestatis praedictae AB, supra similam potestatem TF, quae se habeant ad ipsum
excessuin, ut numerus trilinei unitate minutus, adnumerum trilinei unitate auctum. Quod ostendere oportebat.
Sed in trilineis quadratico, & cubico , Iicet comispendiosiorem rationem, ex dictis, dedu in . latrilin eoenim quadratico, pc surnu S deducere, tLianfioulum C B D, esse ad praedictuna spatium, ut quadratum AB, ad rectangulum ABF , cum tertia parte quadrati F A. Nam cum sit, ut factum sub A F, in quadratum B A, ad tertia artem exces sus cubi As , supra cubum. BF s nempe ad ter tiam M
102쪽
tiam partem cubi A F, una cum facto sub A F, in quadratum B F, cum facto sub A F, in rectangu. tum A F B, ccubuxenim A B, ut ostenditur a multis, sed praecipue a Caualerio a. Gem. lndi prop. 38. quatur cubis partium A F, FB, tribus factis sub AF, in quadratum B F, & tribus factis sub BF. in quadratum AF, nempe tribus factis sub AF, in rectangulum. AFB, & cum in omnibus talibus solidis, sicum ne latu, γA F. Erit triangulum CBD, ad praedictum: spatium, ut quadratum AB, ad rectangiuum AFB, cum quadrato BF nempe ad rectangulum ABFo cum tertia parte quadrati FA. Pariter in trilineo cubico, erit C BD, ad praedictum spatium, ut q*adratum AB, ad rectangulum A BF, cum dimidio quadrati AF. Nam cum sit, ut factum sub quadrato Λ B, in quadratum A F, - Κ &in
103쪽
DE INFINITIS PARABOLIS ETC.&in duo iectangula BF Λ talibus enim planis,qu dra tym AB, excedit quadratum BFδ ad duo qua ta , nempe ad dimidium excessias quadratoquadrati AB, supra quadratoquadratum B F; nempe ad dimidium factorum sub quadratis ΒΛ, BF, in eaden plana ; nempe ut quadratum BA, ad dimidium quadratorum AB, BFs nempe ad rectangulum ABF, cum dimidio quadrati AF. Ergo patet propositum . Forsitam etiam in alijs trilineis praedictae potestates potet uno aliqualiter deprimi, S hoc pro certo scimus et Modum autem depraessionis Iector proprio Marte ad inueniat;nobis enim su L. fici superiora indicasse.
Paucis abhinc diebus, cum illustrissimus, ac Reuerendistinuis Dominus G rc gorius Barba dicus Patritius Venetus, Bergonaique Antistes, Venetias pe-t ijsset; accidit, ut benignitate huius praestantistimi praesulis, in quo propemodum impossibile videtur statu i posse quid magis emicet, Sanguinis clari-ras, Eruditio, Pietasue actionum, fuerit permissum, frui suaui consuetudine , doctrinaque Perillustris Cosmar Galilei, celeborrimi Galilei nepotis. Ab hoc, intei familiares discursus, excitari fuimus, incumbere solutioni cuiusdain problematis,cuius constructio, quamuis imposterum dicendis, videatur parum, aut nihil inseruire ; attamen non videtur
104쪽
- LIBER PRIMUS. I aliena infinitarum parabolarum a materia , quam , prae manibus habemus. Problema suo loco proponetur, interea conscribemus propositiones, quas ad illius solutionem conducere arbitramur. t
Datam rectam lineam raditer producere, it rectangulum
sub data, sub producta, sit aequale quarta parto
quadrati lineae vita, assumentιν . . , ΚλHr dimidiam producta. o
Esto data recta linea AB. Oportet ipsam tal, 'ter producere in m ut rectanguluni ABH, sit aequale quartae parti quadrati A G diuisa B Η, bifariam in G.)Fiat CB, sextupla AB; & per ea fiat semicirculus 3 ac a puncto B, erigatur normalis BD, aequalis BA si & per D, ducatur DE, parallela CB, occurrens peri phaeriae in E ;
105쪽
s INFINITIS PARABntis Arc. dimissaque perpendiculari s F, fiat BG, aequalis
drato AB. Qiare addito communi quadrato FB; rectanguluiu cFs, cum quadratσ sd; a perectangulum C BF; nempe rectangulum C BG; nempe sextoi plum rectangulum 60 G, et it equale quadratis os, BG. Rursimque additis eum. munibus duo,s rectangulis 6 BG. Ergo ociu-plum rectangulum os G, erit aequale quadratis Λ B, B G, & duobus rectangulis o B G ; nempe quadrato AG. Quare,& illorum quartae partes, nempe duo rectangula HBG; hoc est unicum rectangulum o B H. erit quarta pars quadrati Λ G. Producta est ergo, &c. Quod, &c.
106쪽
Ergo rectangulum sub extremis , nempe sub dupla EF, & sub GC, erit aequale rectangulo sub medijs; nempe Bb DG, &sub CF. Ergo&triangula horum dimidia, erunt aequalia I nempo triangulum, cuius basis C G, altitudo dupla FL, erit aequale triangulo , cuius basis DG , altitudo C F, PRO-
107쪽
B eodem schemate, producta EB, in B, se, ut diuisa B H, bigariam in K, rectangulum E B H, sit quarta pari quadrati si Κ. ympossibile ea inter D, reperire punctum G, Ut actis GF M, F D, triangulum GF D, maius sit triangulo , cuius basis CD, altitudo B H.
Fiat ergo si est possibile ; & sit hoc triangulum
GFo; &ipsi CF, fiat aequalis E L. Ergo reliqua LB, erit aequalis reliquae FE. Quoniam, ex hypothesi, triangulum GF D cuius basis G D, altitudo C F, maius est triangulo, cuius basis C D, altitudo B H; & ex pruposit. ant. triangulo, cuius basis DG, altitudo CF, est aequale triangulum, cuius basis CG, altitudo dupla FE. Ergo triam gulum , cuius basis CG, altitudo dupla FE, erit maius triangulo, cuius basis CD, altitudo B H. Ergo maior erit proportio duplae FE, ad BM, pr portione DC, ad CGs nempe proportione AB, ad CG, nempe proporvione BF, ad FC. Quale di componendo, maior erit proportio duplae FE, seu duplae i LBὶ cum B H, ad B H, proportione B C, ad C F, Quare rectangulum sub extremis, maius erit rectangulo sub med ijs. Rectangulum cxgo sub CF, seu sub ei aquali, EL, & sub com- posita ex dupla L B, cum B H , maius erit rectan-
108쪽
gulo CBH. Quare & dimidium,maius erit dimidio. Ergo rectangulum ELΚ , maius erit rectangulo E B H . Quod est contra hypothesim . inia supponitur, rectangulum EB H, aequale esse quartae parti quadrati Eh; hoc est maximo rectangulorum ex partibus E L. Quare patet propositum.
Ex dictis ergo facile patebit , quod si rectangm lum
109쪽
M DE INFINITIS PARARMIS ETQlum Ε ΒΗ, maius sit quarta parte quadrati E E, non solum multo minus rπeribile esse triangulum, triangulo praedi natus sed nec etiam aequale.
NOtetur tamen, quod quamuis in supra dictis,&in infra dicendis, suppositum videatur, angulos B, & C, rectos esse, nihilominus hoc haud est necesse. Nam possunt etiam esse quomodocumque obliqui. At quando non sunt recti , nequaquam debemus considerare C F; duplam F E, S RH, tamquam altitudines talium trium ti iangulorum e sed tamquam latera super basibus in eodem angulo incli
D eorim Ichemate, si seupponatur aqualis dimidia EX. Triangulum G F D, aequabitur triangulo,cuius
basis CD, Atitudo ΒΗ.ETraxstia quoniam rectangulum EB H, est a qua- ' te rectangulo SDk Muia tunc EL, ' DE, endent eqvies in e tam & duplum rectangulum EB H; nempe rectangulum CDH,c erit aequale duplo reactangulo E L Κ ; nempe rectangulo sub E L, in duplam L B Metretangulo sub eadem EL, in B H; nempe rectangulo sub C F, in compositam ex du pla
110쪽
pla F E, α ex β H. Ergo ut B C, ad Cy, sic dupla F Ε, cum B H, ad 8 H. Et diuidendo, ut B F, ad FC; nempe Α8, seu DC, ad CG, sic dupla F B, ad B H . Ergo triangulum, cuius basis CD, altitudo ΒΗ, erit aequale trian gulo,cuius basis C G, altitudo dupla F E; nempe, ex propos 26. triangu- Io, cuius basis DG, altitudo CFs nempe triangulo GFD. Quod&c.