De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

91쪽

DE INFINITI RARABOLIS ET .

rum parabolae unitate; sitque vItimus terminus h. Dico segmentum AON B, esse ad portionem OD N, ut rectanguliun contentum sub BN, M sub BD, accepta secundum numerum parabolae, una cum rectangulo sub eadem B N, S sub exceΩB DB, supra k, ad rectangulum contenturi sub N & sub excessu tot DB, quotus est ni erus parabolis unitate auctuS, supra tot DB. BN, &alias proportionales praedictas. Nam ratio segme ti AON B, ad portionem ODN, componitur

ex ration4segmenti, ad BM; huius ad MD;& h ius , ad portionem PD N. Ratio AONB , ad

conuerten do , eadem cum ratione

excessus tot pD B, quotus

est numeruSparabolae φnitate au

tus, supra k, ad tot B D, u

quotus est

rabolae unitate auctiis; nempe ut tot BD, quotus est numerus' parabolae, cum unico excessu DB, si pta k, ad idem consequens. Ratio EM, ad MD, est

92쪽

est eadem cum ratione B N, ad N D. r Et ratIDNC, ad portionem , est cadem cum ratione tot BD, quotus est numerus parabolae via itate auctus, ad excessum ipsarum, supra DB, BN, & alias pro. portionales, quot sunt ipsae,ex secunda parte proposit. ν. per conuersionem rationis. Ergo ratio AON B, ad ODN, componetur ex ijsdem rationibus: nempe ex ratione tot DB, quotus est nua merus parabolae, una eum excessu D η , supra h, ad tot D n, quotus est numerus parabolae unitate auctus ; harum, ad excessum ipsarum, supra D B, ΒΝ,& caeteras tot proportionales, quot sunt ipsar; &B N, ad N D. Sed rationes tot D B, quotus est numerus parabolae, cum excessii DB, supra ad tot D B, quotus est numerus parabolae unitate auctus s&harum Ed excessum ipsa rum supra Dd, B N, &caeteras tot proportionales, quot sunt ipsae , componunt rationem tot DB, quotus est numerus p

rabolae, una cum excessia D B, supra k, ad excessum tot DB , quotus est numerus parabolae unitate auctus,supra D B, B N, S caeteras tot proportionaleS, quot sunt ipsae. Ergo ratio AO N B, ad OD N, componetur ex antedicta ratione,&ex ratione B N, ad N D. Sed ex istis rationibus, coinponitur quinque ratio rectanguli sub BN, in Dis, acceptam se-Ldndum numerum parabolae, & rectanguli sub ea dem B N, in excessum DB, supra k, ad rectangulum sub DN, in excessum tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus, supra .DB,: BN, &

93쪽

M DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

cceteras praedictas proportionales. Quare patet pr positum.

SCHOLIV M.

Ex quibus licet inserre; quod in parabola quadratica, erit segmentum A UN B, ad portionemo DN, ut duplum rectangulum DBN, cum rectangulo sub BN, in excessiim D supra k, quae sit tertia proportionalis ipsarum DB, BN , ad quadratum N D, una clam rectangulo sub di D, & sub excessu DB, supra k; nimirum, ad duplum quadratum N D, cum rectangulo sub N D, in excessum

MN, supra

PROPOSITIO XXI.

Si in qualibet'fabola, applicentur ordinatim ad diametrum

Esto qualibet parabola B A C, in qua ordinatim

applicentur duae E Κ, G L, adeo ut A k, D L, sint aequales . Dico potestatis ΕΚ, GL, eiusdem gradus cum parabola es aequari simili potestati B D. Quoniam enim, ut D A, ad A k, sic potestas eiusdem gradus Gam parabola, ad similem potestatem Leae: , pariter, ut eadem D A, ad A L, sic

ID: eadem

94쪽

LIA BR PRIMUL eadem potestas DB, M similem pote- .

simul I, erunt ae- Aquales potestati D B. Ex hac propositione elicitur illud, quod partic lariter probauimus in nostro libello, cuius titulus. Sexaginta Problemata Geometrica, propositione posita pagina ἔν q. nimirum in parabola quadratica, quadratai EE, G L, aequari quadrato B D.

PROPOSITIO XXII.

Linea dum in qualibet parabati Hametro parastelae, stat inter se , t excessus patefiatis basis ρmi parabinamsidem gradus cum parabola , supra pote tates eiusdem gradus interceptarum inter ishm diametrum.

95쪽

εε DE INFINITII PARABOLIS ETC. E fixo quaelibet parabola ABC, cuius diameten

BD, cui sint ductae parallelae FE, HGἀDico FE, ad HG, en ut excessus potestatis A D, congruentis parabolae,supra similem potest

tem ED, ad l

excessum eiu

dem potestatis AD, seu DR supra similem

potestatem DG. Ducam

lae . Quoniam .

Bk,sic potestasA D, eiusdem gradus cum parabola, ad similem potestatem FK, seu ED. Ergo per conuersionem rationis, Sconuertendo , erit ut Dk, seu EF, ad DB, sic excessus potestatis A D, supra similem potestatem E Di, ad similem potestatem A D. Pariter per conuersonem rationis, DB, est ad D L, seu ad GH, ut potestas AD, scii DC, ad excessum illius, supra potestatem similem DG. Ergo exaequali , erit F E, ad H G, ut primus excessus, ad secundum excessum. Quod Sc.sCHO-

96쪽

In parabola ergo quadratica erit F E, adHG, ut rectangulum AEC, ad rectangulum A G C.

PROPOSITIO XXIII.

Si a mertice tuiuscumque trilivei a primo, dueatur Mea in basimo secans curuam parabolicam: in per punctum v, scat euruam, ducatur Cinque ad diametrum parastela basi. Erit basis trimi ad sui partem intemceptam inter ductam, ω diametrum, it potestis divi metra trilinei ira gradu inferior potestate trilinei, ad similem potestatem diametri fritari ad terticem.

Si quodlibet trilineum a primo, CBA , cuius

vertex B, diameter BA, S a vertice B, ducatur BD, in basim, secans curuam in E; &per E, ducatur E F, parallela C A. Dico CA, esse ad AD, ut potestas AB, uno gradu in serior potestate trilinei, adsimilem potcstatem BF. V. g. in trilineo quadratico, erit C Α, ad A D, ut AB, ad BF. In cubico , ut quadratum AB, ad quadratum B F . In quadiatoquadratico , ut cubus AB, ad cubum B F; & sic in infinitum . Quoniam enim proportio CA, ad AD, componitur ex proportione C Α, ad E F, & huius ad D A

Diuiligod by Cooster

97쪽

ex genesi autem parabolarum, est ut C A, ad E F, sic potestas Α Η, eiusdem gradus cum trilineo, ad similem potestatem BF: &vt EF, ad DA, siqBF , ad-Bt . Ergo ratio C A, ad 'AD, Gmponetur ex rationibus potestatis A B, eiusdem gradus cum ti itineo, ad similem potestatem BF, &ex ratione BF, ad BA. Sed existis duabus rationibus componitur ratio potestatis AB, undi gradu inferioris potestate trilinei, ad silmilem potestatem BF. Ergo patet propositum.

PROPOSITIO XXIV.

Si cuilibet trilineo ὰ primo, fesso it in propositione ante-eedenti, sit circumscriptum triantulum. Erit irrari iam pars totius, cuius latus non est diameter trilinei ,

ad portionem excessus ipsius supra portionem trilineia se comprebensam, mi factum sub excessu potestatis

diametri trilinei mno gradu inferioris potesate trib-ηri , supra similem potestatem diametri trilineι ad merticem, in quadratum diametri trilinei, ad tales partes excessus potestatis diametri trisnei Uno gradu altioris pace te trilinei suprasimilem potestatem trilinei ad memticem , quae ad talem excessum se habeant, me numerus trilinei initate minutus, ad numerum trilinei initate

DVeatur in schemate proposit. ant. CB. Dico triangulum C BD, ςsse ad spatium C BEC,

98쪽

rem prehensum a rectis AB, ΒΕ, curua CE, Vr factum sub excessu potestatis A B, uno gradu imferioris potestate trilinei supra similem potestatem ηF , in quadratum BA, ad tales partes excessus pO- testatis A B, uno gradu superioris potestare trilinei, supra similem potestatem BF, quae se habeant ad

talem excessum,ut numerus trilinei unitare minutus ad numerum trilinei unitate auctum. V. g. in trilineo quadratico, erit ut factum sub F A, in quadratum B A, ad tertiam partem excesses cubi B A,supra cubum B F. In cubico, ut factum sub excessu quadrati BA, supra quadratum B F, in quadratum BA, ad duas quartas partes excessiis qnadratoquadrati AB, supra quadratoquadratum B F. In quadrato- quadratico , ut factum sub excessu cubi ΑΒ , supra cubum B F, in quadratum BA, ad tr quin-ras partes excessus quadratocubi AB, supra qua

99쪽

dratocubum B F. Et sic in infinitum . . Quoniam enim ex proposit. ant. est CA, ad AD; nempe triangulum C B Α, ad triangulum D B A , ut potestas A B, uno gradu inserior potestate tr linei, ad similem potestatem BF. Ergo per comversionem rationis, di conuertendo , erit triangulum C BD, ad triangulum C 3 A, ut excessiis p testatis AB, uno gradu inferioris potestate trilinei, supra similem potestatem BF, ad potestatem BA. Et ducendo hos terminos in quadratum B A, erit CBD, ad CBA, ut factum sub excessu potestatis ΑΒ, uno gradu inferioris potestate trilinei, supra similem potestatem B F, in quadratum BA, ad factum sub potestate BA, uno gradu inferiore potestate trilinei in quadratum BA; nempe ad potestatem BA, uno gradu superiorem potestate trilinei. At triangulum CBA, est ad excessum ipsius supra trilianeum, nempe ad spatium contentum a recta, & cu in C B, ut numerus trilinei unitate auctus, ad numerum trilinei unitate minurum, ex scholio primo, pr Posit. prima ; nempe ut potestas AB, Uno gradus perior potestate trilinei, ad tales sui partes, quae se habeant ad ipsam, ut numerus trilinei unitate min t , ad numerum trilinei unitate auctum. Ergo exaequali, erit triangulum CBD ad spatium contentum a recta , & curua CB, ut factum sub excessu ρο-

testatis AB, uno gradu inferioris potestate trilinei supra similem potestatem B F, in quadratum BA,adrales partes potestatis As, uno gradu superioris

100쪽

ixis

- Potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam vinu merus trilinei unitate minutus, ad numerum inlinei unitate auctum. Rursum spatium comprehensum a recta, & curua C B, est ad spatium comprehensum a recta, & curua B E, ut potestas AB, uno gradu superior potestate trηinei, ad similem potestatem BR ex scholio primo, proposit. 3; nempe ut tales partes pra dictae potestatis ΑΒ, quae se habeant ad ipsam,ut numerus trilinei unitate minutus ad numerum trilinei unitate auctum, ad similes partes potestatis 3 F. Ergo per conuersionem rationis,erit spatium comprehensum a recta, & curua CB, ad excessiim ipsius supra spatium comprehensum a recta, & curua EB, ut tales partes potestatis AB, uno gradu altioris potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam potestatem Ad, ut numerus trilinei unitate minutus,ad. numerum trilinei unitate auctum, ad excessum ipsa-