장음표시 사용
111쪽
ctum praescripta lege in C E D, aequale. Si ergo dato triangulo G F D, non maximo , qui iubeat construere aliud squale;ei satisfiet, faciendo ut DC, ad CG,sic duplam FE,ad BH, ponendam in directa ipsi EB deinde diuidendo BH, bifariam in Κ, &Ω-ciendo B L, aequalem C F. Nam patet in primis, triangulum GF D, aequari triangulo, cuius basis C D. altitudo B H. Cum enim factum sit ut DC, ad CG, sic dupla F F, ad RH. . Ergo triangulum, cuius basis CD, altitudo ΒΗ, erit aequale tria
112쪽
ex dicim , trianguis GFD. Patet deinde rectanis gulum p hac, aequari rectangulo EB H. Etenim rursum, cum factum sit ut DC. ad C G; seu ut AB, ad C G; seu ut B F, ad F C, sic dupla F E, seu LB, ad B H. Ergo componendo, ut B C, ad C F, sed ad E L, sic dupla L B, cum B H, ad B H. Ergo rectangulum CB H, erit aequale rectangulo sub EL, in duplam LB, cum B H. Erg ire dimidium, aequale dimidio ; nempe rectangulum EB H, erit aequa te rectangulo EL h. vel ergo EL, est maior LE, Vel minor ; & secundum, quod est maior, vel minor, diuidatur etiam in alio puncto I., ut recta uia EL Κ, sint aequalia, & E L, far aquartis CF a leo ut habeamus duo puncta F, Vnum magis, alie minus distans a C, & fiat prior constructio,& habebumus triangulum aequale dato triangulo.
i,uingula AFLk FED, erunt aequatia . Quare trapeaium F D, maius erit triangulo FA F. AEdditisque cormnumbus triangulis A E B, C FG. Ergo duo triangula CFG, A E B, cim, trapeato. F D;
113쪽
LIBER PRIAtra. 83FD; nempe duo triangula C E D, A E B, maiora erint tribus triangulis CFG, FAE, EA B; nempe, Mangulis CFG, A F Bi. Quod&c.
OVoniam enim ED, maior est EA. Ergo,acta F D, triangulum F E D, maius erit trianguinto AFE. Ergo traperium FD, erit multo maius triangulo FAE. Additis ergo ut prius, triangulis CFG, AEB. Triangula CED, A EB, erunt m lora triangulis CFG. Α F B. Quod &α
Patet ergo ex dictis, quod si data AB, cui CD, sit parallela, & quibus occurrat CB, aliquis iubeat ducere A FG, ut duo triangula CFG, AFB, sint omni im minima, hoc haud praestaria linea cadente sub A ED, secante CB, bifariam ; quia haec constituit semper triangula maiora rriangulis C E D, AEB. Hoc ergo non adimplebitur nisi a linea cadente supra A E D . Haec autem nequit esse nisi A FG, ducta tin lege, ut triangulum GF D, sit
114쪽
8s DE INFINITIS PARABOLIS ETC. omnium maximum ducibilium intra triangulum C ED, sic, ut latus GF, pertingat ad Α . Ratio autem huius asserti est , quia cum duo triangula CED, A EB, excedant duo triangula CFG, AFReriangulo FGD; quando excessus erit maximus , nempe ii iangulum GF D, relinquentur triangula CFG, A FB, minima. Sit ergo.
Disa AB, magnitudine et parallela, quibus o currat s B. Ducere Am, mi duo tνiangula cFG, AF B, sint omnium minima.
Diuidatur CB, bifariam in E, S EB, produc tur in H, ut diuisa B H , bifariam in k, rectangulum EB H, sit aequale quartae parti quadrati E K; secetur Ek, bifariam in L, & ipsi E L, fiat aequalis CF; & ducatur Α F G. Dico trianguis Ia CFG, A F B , esse quaesita . Demonstratio patet cx dictis.
Ut supra innuimus, constructio huius' problemω tis, non eli totaliter aliena a materia infinitarum . parabolarum. Nam cum triangulis CFG, AFB, pi stimus intelligere circumscribi semiparabolas c iustumque gradus, quarum diametri sint CF, FB semu
115쪽
semibases vero CG, AB, quae utique relatae ad alias parabolas eiusdem gradus, erunt ut triangula, ad alia triangula ; patet quod semiparabolae circumscriptae minimis triangulis, erunt etiam ipsae minimae. Unde ex dictis patet solui posse hoc Problema, nempe. Datis , quae supra, ducere A F G, ut semiparabola: cuiuscumque gradus, quarum diametri CF, FB, semibases vero CG, AB, sint omnium minimae. Sed Problema de inueniendis duobus minimis triangulis libet uniuersaliter proponere , nimirum. Inuenire duo. triangula spatio dato aequalia, seu, quod idem est, ad spatium datum, proportionem datam habentia. Ex cuius resolutio-njs progressu , patebunt etiam minima triangula. Pros utione ergo problematis, procedatur per sequentes propositione S.
Datam rectam lineam sectam bifariam, rursum secare non bifariam i recta uia ub tota, o sub intercepta inter sectiones, sit aequale quarta partι Τμ drati maioris segmentι totius linea.
Si data recta linea A B, secta bifariam in C.
Oportet ipsam taliter secare in D, Vt rectangulum
116쪽
aa DE INFINITIS PARABOLES ETC. gulum AB, C l , sit aequale quartae parti quadrati A D. Haec propositio est sere eadem cum proposit. 13. Nam si AC, producatur in ri ut diuiis CE, hilariam in D, rectangulum ACE, sit aequale quartae parti quadrati A D. Patet etiam rectanguis Ium AB, CD, aequale rectangulo ACE, esse quartam partem eiusdem quadrati A D.
D AGB, c G H, sint duo triangula rectangula ad συπ- ricem . Eris ενι GR ad ΒΚ, dimaeam BA,
117쪽
Nam dropter similitudinem triangulorum,ut G ad Cae nempe ut quadratum GC, ad rectangulum GCH, sic GB, ad B A; nempe sic quadratum G B, ad rectangulum G B A. Et permutando, &componendo, utq drata CG, G B, ad quadrutum G B, sierectangula H CG, GBA, ad rectam gulum G ΒΑ. Et rursum permutando, ut quadrata C G, G B, ad rectangyla: H C G, G B A, sic quadratum G B, ad rectangulum GBA; nempe sic GB, ad BA. Et ad consequontium di dia, ut quadrata CG, G B, ad triangula CGH, AGB, diamidia illorum rectangulorum, sic GB, ad Bh.
Si A B, sit data, D, sit ei parastela, quibus occurrat normaliter C B, quae si ecta Asriam in Ε, tv non bia iam in F, sic mi rectangulum CB, EF, maius sis
quarta parte quadrati s F. Si in f Fumatin arbita λtrariapi Emm G, per quod ducatur AG si δεπερ
Voniam enim, per hypothesim, rectangulum CB, EF, maius est quarta parte quadrati s Ergo maius erit rectangulo CGF. E rgo &duplum,erit maius duplo; nempe duplum rectanguintum sub CB, in Ep. erit maius duplo rectang
118쪽
io CGF. Addito ergo communi duplo reclang Io CBF: duo re ingula CBE, erunt maior aduobus. rest fgidis CGF, & duobus rectangulis CBF: Et denuo additis communibus duobus quadratis CG ; ergo duo rectangula CBEs nempe quadratum CB, cum duobus quadratis C erunt maiora duobus restangulis CGF, duobus rectangulis C ML S duobus quadratis CG se nemp erunt maiora duobus rectangulis B si C,S duobustrectangulis. GRF nam duo rectangula CGF, cum P. duobus quadratis C G, faciunt duo rectangula FCG.: duo veroscctangula CB diuiduntur iRiduo
119쪽
duo rectangula CG , FB, & in duo re tangula G B pr & finius additis duobus rectangulis F C G,& duobus rectangulis By, CG, fiunt duo rectangula BCG . latis prgo hinc de duobus rectangulis BCG, ergo diro quadraram L GC, quae remanent si a quadrato CB, cum duobus quadratis CG, auferantur duo rectangula BC Gierunt maiora duobus rectanguliS GBF. Ergo maior erit proportio qua arararum C G, G B, ad duplum rectangulum A B F, proportione dupli rectanguli GBF, ad idem duplum rectangulum ABF; nempe proportione GD, ad B A. Et ad consequentium dimidiar Ergo quadrata CG, G b, re clangulum ABF, habebunt maiorem proportio- nem proportione G b, ad In Sed Axinop. ant. ut G B, ad B Κ, sic quadrata CG, G B, ad trianis gula C G H, AGB Ergo proporrio quadratorum G, G B, ad rectangulum ABF, maior erit prinportione eorundem quadratorum, ad triangu Iata. Quare triangula maiora erunt rectangulo ABRQuod &c.
Ex quibus elicitur, quod aliquo iubente ducere A G H , ut duo triangula ad verticem, sint aequalia rectangulo ABF; oportebit B F, ablatam a CB, taliter relinquere CF, ut rectangulum CB, E F, non sit maius quarta parte quadrati CF. Imo, ex
120쪽
yx DE INFINITIS PARABOLIS Ere.
progressu demonstrationis patet, quod si rectangm tum CB, E F, sit aequale quartae parti quadrati C R& attamen punctum G, non sit bisecans CF, nihilominus duo triangula erunt maiora rectangulo A B F. Nam etiam in hoc casu, rectangulum C G F, minus erit rectangulo CB EF. Vnde sequendo vestigia antecedentis demonstrationis, idem probabitur.