장음표시 사용
121쪽
Si catis ρ em, quae in antipropos rectangulum c B, ER' aquais fit quartae parti quaNati s F, τ' CF, sit
secta bifariam in G, ω agatur OGH. Trian- s gula'ad merticem , M imit aequalia rectangulo AB F. e
NAm, cum rectangulum CGF, aequetur reis ctangulo C B, E F; sequendo vestigia ari propos concludemus tandem,quadrata C G, G B, aequari duplo rectangulo GB F. Ergo haec ad duplum rectangulum ABF, erunt in eadem proportione . At duo rectangula G B F, sunt ad duo rectangula AB F; Vt G B, ad BA. Ergo quadrata CG, G B, erunt ad duo rectangula ABF, ut G B, ad B A . Et ad consequentium dimidia, quadrata erunt ad rectangulum ABF, ut G B, ad Bh; nempe ex proposit. 33- Vt eadem quadrata , ad trianis gula . Ergo triangula erunt aequalia rectangulo. Quod &c. .
Datis duabus tineis B, CD, com CB, mi supra. Ducere AGH, ωι triangula cGH, AOP, sint aqvilia Datio dato.
SPario dato esto aequale quadratum rectar Q; &fiat ut AB, ad QS sic Q, ad aliam. Haec eI
122쪽
erit aequalis dimidiae BC, vel m inor, vel maior. Si est aequalis BG, d inaidne BC, duratur AGH. co triangula aequari quadrato Quod est luce clarius. N cum rectangulum A BG, duplum sit trianguli ABG. Ergyrectangulum ABG; nempe quadratum ruerit aequale trianguliS,&c. Si vero illa tertia proportionalis sit minor dimidia B C, sit haec BF, minor B E, dimidia B C. Haec
autem , vel est adeo minor B E, ut rectangulum C d, EF, maius sit quarta parte quadrati CF: de tunc, ut patet ex schol. proposit. 34. problema ne quit construi. vel rectangulum C B, E F, est aequale quartae parti quadrati CF. Et tunc, diuisa CF, bifariam in G, deducta AGH; patet exproP. antiduo triangula aequalia esse rectangulo ABF, nempe qZadrato Q. Vel tandem illa tertia, est adeo munor, ut rectangulum CB, EF, minus sit quarta parte quadrati C F. Et tunc, super diametro CF, facto semicirculo C M F, & inuenta media propor tipnali inter CR, L F, erigatur ei aequalis FL, a puncto F, perpendicularis super CN; N perpum cium L, ducatur L M, parallela CB, occurrens periphaerie in M occurret enim, quia rectangulum CB, EF, nempe quadratum FL, minus est quarta parte quadrati CF; nempe quadrato dimidiae CF9 8ea puncto M, cadat M G, porsendicularis super CB, ac ducatur AGH. Dico triangui, CGH, AGB, esse quaesta. m cum rectangulum CGF, sit aequaIe quadrato
123쪽
erato nempe quadrato FL; nempe rectangulo CB,iEF. Ergo ad modum superiorum comcludemus, triangula esse aequalistrectangulo. AB Fa, nempe quadrim Si vero illa tertia proportionalis sit maior BEώVel erit aequalis CB, vel minor, vel maior. Si sit aequalis sinter BC, CE , situ media proportionalis CG8ες per G, agatur AGH. Dico trian a asverticem, aequalia esse rectangulo ABC 'nempe quadrato Q. Nam, cum quadratum L G sin aequale rectangulo BG E. Ergo etiam duo quadrata G, erunt aequalia duplo rectangulo BCE; nem . Pe
124쪽
De quadrato CB. Additoque communI alio quadrato CB. Ergo duo quadrata B L, erunt aequalia Quadrato & duobus quadratis CG. AblatiDu hincindequobus recrangulis. BC . . Ergo duo rectangula fBG , erunt aequatis duobus quadratri G, G B. Ergo concludemus ut prius, duo quadra- .
ta LG, G B, &duo tectangula s3G, ad duo rectangula A ης ὐ habere eanderis rationem . Sed duo rectangula cBG sunt ad duo rectangui ABς, πιο η, ad BA. Ergo quadrata CG, Ud ierunt ad duo rectangula ABC, ut G si ad A ad consequentium dimidia: quadrata , D', erunt ad rectangulum A B C; nempe ad quadratum Q, ut G B, ad ΒΚ, nempe, ex supradictis.Vt ea
125쪽
. l. LIBER τRIMO. ' 'frdem quadrata, ad triangula. Quaretriangula erunt
si vero illa tertia proportionalis sit minor B C, sit haec EF, quae diuidatur bifariam in O; erectaque a puncto B, normali BM, aequali mediae proportionali inter CE, medietatem CB, & FE, iunctaque ΟM, centro o, interuallo OM, describa- ursemicirculus serans CB, productam in L. Pa
tet B L, minorem esse Eη, dimidia totius CB. N Nam
126쪽
Nam cum B M, sit media proportionalis inter CE, EF, erit minor ipsa CE. Quare B L, minor BM, erit multo minor C E, si ii E B. Fiat ergo ipsi B L, aequalis E G, & per Α, C, agatur A G H. Dico triangula A G B, C GH, esse quaesita. Quoniam enim rectangulum N B L. est aequale quadrato BM, dc rectangulo N B L, est aeqi ale rectangulum FLB quia tam N F, B L, quam N F L, sunt aequales , Ergo rectangulum F L B, nempe
127쪽
π ERPRIMVS sype. tectangulum F B L , cum quadrato B L, erit aequale quadrato b M. Sed quadratum B M, ex con- grystiqne, est aequale rectangulo CE F; & rectangulami FRI., cum quadrato B L, est aequale recta
gulo sub FB, 'in EG se simul cum quadrato EGἶquia EG, ML, factae sunt aequale, in . Ergo rectangulum FB, EG, cum quadrato EG, erit aequale rectangulo. CEP . Omnibusque quadruplicatis quatuor rectangula FB, EG, cum quatuor quadratis EG, erunt aequalia quatuor rectangulis C E F; nempe duobus rectangulis sub CB, in E REt communibus additis duobus rectangulis C B E. yrgo quatuor rectangula FB, EG, cum quatuor quadratis EG, & cum duobus rectangulis CB E, erunt aequalia duobus rectangulis CB, EF, reduobus rectangulis CBE ; nempe erunt aequalia duobus rectangulis CBF. Hinc inde vero ablatis duobus rectangulis sub FB, in C G. Ergo duo re
clangula FBG residuum duorum rectangulorum
CBF, erunt aequalia duobus rectangulis FB, EG, quatuor quadratis EG, & duobus rectangulis FCE, quae remanent de illis sex lectangulis, cum quatuor quadratis &c. Nam duo rectangula CBE, seu BCE, diuiduntur in duo rectangula BF, CE,&in duo rcctangula FCL; coniungendo vero simul duo rectangula BF, CE, cu m duobus rectangulis FB, EG, fiunt duo rectangula FB, CG. Uerum quoniam supra probatum est , rectangulum FB, EG, cum quadrato GE, aequari rectangulo
128쪽
roo DE INFINITIT PARABOLIS ETC.
CEF o Frgo duo rectangula FB, BG, cum dum bus quadratis E G, erunt a qualia duobus rectaria gelis CEP . Ergo duo rectangula FBG, erunt aequalia duobus rectangulis F CE, duobus necta
gulis FG, nempe duobus quadratis CF i Mduobus quadratis EG. Sed duo quadratae C E, eum duobus quadratis EG, ex proposit. s. secundi Et
ment. aequalia sunt quadratis CG, GR. Ergo duo rectangula FBG, erunt aequalia quadratis CG,GRB t haec ad duo i ectangula ABF, ei unt in eadem ratione. Sed duo, rectangula FBG, sunt ad duo rectangula ABF, ut G s. ad 9 A. Ergo & qu drata CG, G B, erunt ad duo rectangula A B F, ut G ad BA . Et ad consequentium dimidia. Et go quadrata erunt ad rectangulam A N F, nempe adq adratum Q, ut G d, ad nempe ex supra dictis, ut eadem quadiata, ad triangula. Eigo tria
gula sunt aequaliaquadratos andem 3P, sit maior BCι & FC, secetur bifariam in N; puncto C, erigatur NormalisCO, ipsi FB, qiae sic media proportionalis inter B C, F Ε, & iungatur N O. Deinde centro N, rimteruallo No, describatur semicirculus seeans CB, in G secabi enim semper, ut probabitur in serius & ducatur AGH. Dico triangula AGη,
CGH, este quaesita . Quoniam enim L F, sequatur CG, ergo reetan gulam LCG, aequatur rectangulo FG C. Sedr
ciangulum L CG, est etiam aquale quadrato OC,
129쪽
quod factum est aequale rectangulo sub P Ε, in. C NErgo rectangulum F G C, erit aequale rectangulo FE, C 3. Duplumq te erit aequale dupla. Et gommuni addito duplo rectangulo CDE. Ergo duplum rectangulum FG C, cum duplo rectangulo CBE, erunt a qualia duobus rectangulis CB, F E,& duobus CB E, nempe eruat aequalia duobus rectangulis FBC Et hinc inde ablatis duobus rectangulis FR, C G Ergo resid una duorum rect angulorum FG & duorum recta ngu lorum C B E, seu quadrati CB,
130쪽
rox IMMITIS PARABMIS ETC. aequalis praedictis duobus rectangulis CBE; ablatis ab his planis praedictis duobus rectangulis Ed, CG,
erit aequaIe duobus rectanguliS FBG, quae rema, ne nisi a duc us rectangulis FBC, ause rantur pra d icta duo rectangula FB, CD . Sed residuum duo rum rectangulorum FG C, & quadrati CB, abirsis demptis duobus praedictis rectangulis sunt qua.drata CG, G B. Nam quadratum BC, aquatur duobus quadratis BG, GC, & duobus rectangulis BG C, quae duo rectangula coniuncta cum duobus