장음표시 사용
101쪽
s o Curvi ac recti proportio promota.
N circulo ABC. cuius centrum. F. diameter AE. st matur extra circulum in diametro producta punctum T a quo ducantur in conuexam peripheriam duae rectar DS. DK, quae productae secent cauam in B. C. sintq; puncta Κ. S. sub puncto contactus. G. quem escit tangens circulum ducta recta DG. expuncto D. & connectantur FK. FS. Dico maiorem esse
rationem anguli FSD. ad an- gulum FΚD. quam anguli B E D. ad angulum C E D. Ducantur CFL. BFM. secantes circulum in L. M. erit u differentia angulorum LCK.
lis aequalium medietas arcus ML. & medietas arcus K S. Differentia vero angulorum FEC. FEB. id est FCE. FBE. illis aequalium est medi ias sola arcus CB. id est medietas arcus ML. maior igitur est differentia angulorum FΚC. FSB. quam differentia angulorum FEC. FEB. maior etiam est angulus ΚCF. id est CKF. angulo ECF. id est FEC. idemq; angulus CKF. est maior angulo BSF. ut patet ex superioribus,&angulus FEC. maior angulo FEB. Quare si ex duobus rectis auferantur FKC. & FSB. item etiam ex duobus γε huius. rectis demantur FEC. FEB. maior erit proportio complementi ipsius FSB. ad duos rectos, nimirum anguli FSD. ad complementum ipsius FKC. nimiium ad FKD. quam complementi ipsius FEB. videlicet ipsius BED. ad complemcntum ipsius FEC. nempe ad CED. Quod fuit probandum.
102쪽
LIBER II. 'a THEOREM A XVII. PROPOS. XVII. SI ab extremitate diametri duo arcus inaequales,
accipiantur ad quos ex duobus punctis diametri singulis duae sectae ducantur, sintq; duae ex
puncto propiore extremitati ductae,aut aequales inter se, aut propinquior minor remotiore,& angulorum ad punctum remotius constitutorum maximus, maior sit angulo quem ex datis punctis ductae ad remotiorem arcum essiciunt: anguli quos illae cum diametro essciunt constituti ad punctum re motius ab extremitate diametri, maiorem inter se proportionem habent, quam constituti ad propinquius, si maiores cum minoribus conferantur. In circulo BCD. cuius diameter AH. sumantur ab extremo puncto. B. duo arcus inaequales BD. maior BC. minor;&in diametro duo puncta, A. G. quorum illud cxtremitati B. vicinius sit, hoc remotius ex quibus ductae fini ad arcus rectae AC. AD. GC. GD. cfficientcs cum diametro angulos illae quidem C AB. minorem, DAB. maiorem;istar CGB. minorem DGB. maiorem;sintq; rectae A D. AC. aut aequales inter se, aut AC. minor;& angulus AGD. maior angulo GDA. Dico maiorem esse rationem anguli DGB. ad anuulum CGB. quam anguli DAB. ad angulum CAB. Sint primum lineae AC. A D. inter se aequales. Quoniam duo triangula CAG. DAG. habeat duo latera. CA. AG. duobus lateribus DA. AG. aequalia, & angulus DAG. comprehensus minor est angulo compraehenso CAG. maiorq; est
103쪽
ν 1 Curui ac recti proportio promota.
huius angulus AGD. angulo ADG. ex suppositionemaior erit ratio anguli DGA. ad angulum ADG. quam CGA. ad ACG. & componendo maior ratio DGA. ADG. simul
. mutando maior ratio DGA. ADG. simul ad CGA. ACG. simul quam ADG. ad ACG. Cuin ergo totius AGI . ADG. simul, ad totum CGA. ACG. simul,maior sitra. 33 tio quam partis ADG. ad partem ACG. dereliqui A. ad reliquum CGA. maior erit ratio quam totius DGA. ADG. id est anguli DAB. ad totum A. ACG. simul, id est angulum CAB. ISit rursus linea AC. minor linea A D.producatur AGin E.& sumatur AE.aequalis ipsi AD.& iungatur GE.Cum aequales stat AE. AD. eodem prorsus modo quo priore parte huius,ostendemus maiore esse rationem DGA.ad EGA. quam DAB. ad EAB. sed adhuc maior est ratio DGA. aci
CGA.quam ad EGA. cu minor sit CGA. ipso EGA. Igitur anguli DGA. ad angulum CGA. maior est ratio quam anguli DAB. ad angulum CAB. Quod fuit&c.
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII.
SI duo triangula habuerint duo latera circa an
gulos inaequales proportionalia; auguli mal ris compraehensi ad reliquos maior erit ratio , quam anguli minoris compraehens ad reliquos, si prout proportionalibus lateribus Opponuntur, inter se conferantur. Et trianguli, in quo est minor
angulus compraehensus , reliquorum angulorum maior ad minorem maiorem habet ratione, quam in alio triangulo reliquorum maior ad minorem, int duo triangula ABC. DEF. quae habeant duo latera AB. DE. Idem BC. DE. circa angulos inaequales ABC.
104쪽
ABC. maius DEF. minus, proportionalia; siri ut AB. ad BC. ita DE. ad EF. Dico maiorem e rationem anguli ABC. ad angulum BAC. quam anguli DEF. ad angulum EDF. Item maiorem ABC. ad BCA. quam DEG. ad EGD. Deniq; si EFD. maior sit qua EDF. maiorem esse rationem EFD. ad EDF. quam BCA. ad BAC. Fiat ad rectania DE. angulus DEG. aequalis angulo ABC. &sumatur EG. aequalis ipsi EF. Quoniam est ut AB. ad BC. ita DE. ad EF. ex hypothesi , α ut DE. ad EF. ita DE. ad EG. ipsi EF. sumptam aequalem erit ut AB. ad BC. ita DE. ad EG. sunt autem,ex hypothesi, anguli ABC. DEG. aequales, erunt ei go triangula ABC. AEG. similia. Quoniam e go in triangulis DEF. DEG angulus DEG. maior est angulo DEF. & latera DE. EG. lateribus DE. EF. aequalia sunt,constat primo ex s. proposit.secundi huius ma- s. a huius. iorem esse rationem anguli DEG. ad angulum EGD. id est C. ad BCA. quam anguli DEF. ad angulum EFD. Item maiorem eiusdem anguli DEG. ad angulum EDG. id est ABC. ad BAC. quam DEF. ad EDF. Constat si
cundo ex I o.propositione secundi hutns maiorem esse rati ro.et diutus.
AD; ita triangulis habentibus duo latera , circa angulum
rnaequalem,proportionalia, aptavimus propositiones norantior decimam huius. Eadem vero ratione illis accommoda- NI AEnt PacumG proristionibas 11. 12. 13.14. II. demonstrata
105쪽
9 Curui ac recti proportio promota.
aiasn Nam quaecum; de inaequali anguloru- ratione , io
triangulis duo latera aequalia circa inaequalem angulam habe tibus inens uni, eadem etiam triangulis duo latera proporri nalia circa angulum inaequalem obtinentibus conueniant ; modo latera unius,aut maiora, I mivora, eos Io, quo in havrv si ionefac - in, ad latera alterias reducantur. Euodquia manifestomum e robatione , t tesuperuacanea, ab Pinebo Habent autem superiores propo tiones,acpraeserti seri res , a nona, mirum in Geometricis usu is exsequenti spassim consabis: ac quemadmodum insuperiori libro, aequalitate ius anguli in duobus trianguli magno usu inqui uimus in qualem laterum ratione proposit. 2 3. 2q. a F .ita hic ex duobus lateribus aut aequalibus , aut proportionalibus , in duobus triangulis anguloruminaequalem proportioncm non minori compendio perustamus. Vt vero memoriae consitamus, eorum quae hac de re hactentis probauimus, hic epilogismus so . In figura I 3. huius inficiantur duo triangula LAU. LAOquae habeant LA. Ax. lateribus LA. M. aut aequalia autρυ- portionalia,circa angulos LAS. L . maiorem illum hunc minorem,sintq; reliquaeseperioribuspropos tionibus detineat a. s. huius. I. LAV. ad AKL. maiorem habes rationem quam L M. ad AOL. s. huius. II. LAX. ad ALX. maiorem habet rationem quam ras. ad ALO.
o. huius. III. Maior ess ratio LOA. ad OLA. quam LSA. ad XLA. ix.& 13.hui. IV. Rario SAL. ad OAL. est maioriquam XXL. ad VsL. . ra. hin . V. Ratio OL. ad OAL. in maioriquam TLX. ad TLO.' 11. huius. VI. Maior ratio LOA. ad LSA. quam O . ad OD. 1 i. huius. VII. Minor ea ratio OLA. ad SLA. quam O . ad Ko.
106쪽
THEOREM A XIX. PROPOS. XIX. SI sint duo circuli eccentrici, quorum maior
minorem contineat, sintq; utriusq, centra intra circulum minorem , ex quorum utrovis duae rectae ducantur circulos secantes arcus dictis lineis contenti, ad areus utravis harum linearum,&semidiametro maioris circuli, in qua est centru minoris comptaehenses,maiorem nabent rationem. in exteriori circulo quam in interiori, ad corum vero complementa ad duos rectos, maiorem. Sint duo circuli GEF. ΗCD. eccentrici,ille maior, qui
hunc minorem contineat,illius centrum B. huius A. virumque intra circulum minorem HCD. ac recta per utriusque
centrum ducta LG. secans circulorum peripherias maioris quidem in L.G. punctis,minoris in I. H. & sit centrum circuli mi noris A. in semidiametro circuli maioris BG. Ducantur primum c ut videre est in sinistro semici culo huius figurae duae rectar excentro circuli minoris AE. AF.
secantes exteriorem circulum in
E. F. interiorem in C. D. & con nectantur BE. BF. Dico mai rem esse rationem FE. ad EG. quam DC. ad CH. aut FE. ad FG. quam DC. ad DFq. minorem vero esse proportionem EF. ad FL. quam CD. ad DI. aut EF. ad EL. quam CD. ad CI. Cum enim duo triangula FBA. EBA.habeant duo latera FB. BA. duobus EB. BA. aequalia trumq; viriq; in eodem vero triam
gulo inaequalia, maior enim FB. id est GB. quam BA. &angulus
107쪽
, o Curvi ac recti proportio promota.
r3.1.huius. angulus FBA. maior angulo EBA. erit maior ratio anni D- si li FBA. hoc est arcus FG.ad angulum EBA. id est arcum 'i' ' EG. quam complementi anguli FAB. id est angulus FAG hoc est arcus DFI. ad complementum anguli EM. id est angulum CAG. hoc est arcum CH. hoc enim 13. huius demonstratum est, & diuidendo maior ratio FE. ad E quam DC. ad CH. &c. Rursus in ijsdem triangulis, angulus E AB. continetur sub minori basi EA. & minori latere AB. & angulus FAB.ν. a. sub maiori basi FA. & minori latere AB. suntque anguli EBL. FBL. complementa angulorum aequalibus lateribus1r.1. huius. compraehensorum. Igitur maior est ratio anguli EAB. ad angulum FAB. id est arcus CI. ad arcum DI. quam anguli EBL. ad arcum FBL. id est quam arcus EL. ad arcum FL. ut undecima secundi huius probatum est&diuidendo maior ratio CD. ad DI. quam EF. ad FL. & componendo, conuertendo, ac per conuersionem rationis,maior ratio
CD. ad CI. quam EF. ad EL. Quod fuit primo demonstrandum .
Sed ducantur secundo in dextra parte figurar) ex ce tro B. maioris circuli duae BE. BF. secantes externum es V culum in punctis F. E. internum in punctis D. C. &connectantur AC. AD. Dico maiorem efferationem arcus I E. ad arcum EG. quam DC. ad CH. maiorem vero CD. ad DI. quam EF. ad FL. Rursus cum duo triangula CAB. DAB. habeant duo latera CA. AB. duobus lateribus DA. AB. aequalia virum-ὸ ἴ- dosin x que utrici; in eodem vero triangulo ins qualia nam maior est CA. id est AI. parte AB. & angulus CAB. maior anguis. definit lo DAB. erit ex i3. secudi huius,maior ratio anguli CAB i 'μ ad angulum DAB. id est arcus CI. ad arcum DI. qua co*plementi anguli CBA.id est anguli EBL. id est arcus EL.ad. complementu anguli DBA. id est angulum FBL. id est arcu FL. & diuidendo maior ratio CD. ad DI.quam EF. ad FI Denique in ijsdem triangulis anguli DBA. CBA. continentura
108쪽
tinentur ille sub minori basi,&minori latere, hic sub mai ri basi,& minori latere suntque DAH.CAH. complementa angulorum aequalibus lateribus compraehensorum. Igitur,ex II .secundi huius, maior est ratio anguli DBA. ra.ε. huius- ad angulum CBA. idest arcus FG. ad arcum EG. quam an- aguli DA H. ad an gulum CA H. id est arcus DH. ad arcum CH. &diuidendo. Igitur si sint duo circuli eccentrici &c. Quod crat demonstrandum.
SI sint duo circuli eccentrici, quorum maior
minorem contineat, sitque maloiis centrur in peripheria minoris: Duae rectae ex minoris centro ductae, ex utroque circulo arcus abscindunt, quorum exterior ad arcum sui circuli inter utramuis linearum, & semidiametrum maioris circuli, in qua est centrum circuli minoris, compraehensum, maiorem rationem habet, quam interior ad suum, ad complementum Vero minorem. Duae vero rectae ex centro maioris circuli ductae auferunt arcus proportionales arcubus ductis a lineis versus semi diametrum maioris circuli in qua est centrum minori 4 , ex alia vero parte maiori proportione interiores quam exterioreS. Sint ijdem circuli,qui in superiori propositione, sed centrum maioris B. cadat in peripheriam minoris, & cx centro minoris A. ductis rectar AE. AF. in sinistra parte schematis abscindunt ex maiori circulo arcum EF. ex minori arcum CD. Dico rursus maiorem esse rationem FE.ad EG. quam DC.ad CH.& maiorem CD.ad DB. quam EF. ad FI . Cum enim sit eadem dispositio,ac ratio triangulorum FBA. EBAN quae
109쪽
y a Curui ac recti proportio promota.
quae in prima parte praecedentis propositionis, eadem etiam omnino demonstratione, ex I3. huius, probabimus quod proposi tum est, ut ideo necesse non sit sua perflua repetitione lectorem deti
Sed ducantur in dextra part schematis ex centro maioris circuli B. duarrectar BE. BF. secantes exteriorem circulum in punctis
E. F. interiorem in punctis CD. Dico eandem esse rationem arcus DC. ad arcum CH. quae arcus FE .ad arcum EG. & maiorem CD. ad DI. quam EF. ad FL. Nam anguli HAD. HAC. dupli sunt angulorum , GBF.GBE. igitur ut GAD.ad GAC.ita GBF. ad GBE. id est,ut arcus DH.ad arcum DC. ita arcus FG. ad arcum EG.&diuidendo. Denique quia ratione maior est arcus CD.quam EF. minor DB. quam FL. angulus enim FB L. idest arcus FL. maior est angulo BAD. hoc est arcu Dh. maior erit ratio CD. ad DB. quam EF.ad DB. sed EF. ad DB. habet malo rem rationem quam EF. ad FL. Igitur maior est ratio CD. ad DB. quam EF. ad FL. Quod ultimo probat
THEOREM A XXL PROPOS. XXI SI sint duo circuli eccentrici, quorum maior
minorem contineat, sitq; maiori centru extra peripheriam minoris : Duae rectie ex minoris centro ductae ex utroque circulo arcus abscindunt , quorum exterior ad arcum sui circuli inter utramuis linearum, & semidiametrum maioris circuli,in qua
110쪽
qua est centrum circuli minoris, comprochensum , maiorem rationem habet quam interior ad suum , ad complementum Vero, minorem. At vero duae rectae ex maioris centro ductis utrumque circulum secantes , arcus abscindunt, quorum interior ad utrumuis arcuum inter ductas,& diametrum com praehensum in suo circulo, maiorem habet rationem, quam exterior ad arcus similiter positos , in suo. Ponantur ijdem circuli, qui duabus superioribus propositionibus,sed centrum maioris B.cadat extra ambitum minoris,& ex centro minoris A. ducantur, ut prius in sinistra parte figurae rectar AE. AF. abscindentes ex minori circulo arcum DC.ex maiori arcum FE. Dico iterum maiorem esse rationem FE. ad EG. quam DC. ad CH. minorem EF. ad FL. quam CD. ad DI. Hoc vero eX duobus triangulis FBA. EBA.
eadem omnino ratione probatur qua in I . parte I9.huiuS. At vero due rectar BE. BF. ex centro-maioris circuli
prodeuntes, ut cernere est in dextro semicirculo ) au-
ferant ex circulo minori arcum CD. ex maiori arcum EF. Dico maiorem esse rationem DC.ad CH. quam FE. ad EG.& maiorem CD. ad DI. quam EF. ad FI . Cum enim duo triangula CAB. DAB. duo latera CA. AB. duobus lateriabus DA AB. aequalia habeant, utrumque utrique & angulus CAB. maior angulo compraehenso DAB. complementa angulorum compraehensorum nimirum anguli DAG. CAGNet ad