장음표시 사용
131쪽
latus a Sit triangulum rectangulum BCD. cuius basis BD. latus εminus m. maius CD. Dico minorem esse rationem CR ad BD. quam BD. ad utrumq; BC. CD. & maiorem csserationem CD. ad BD. quam BD. ad utrumque CB. CD. Eu angulo recto C. in b.isim demittatur perpendicularisCE. erit BE. segmentum minus segmcnto Eri sed&EC. minor est quam ED. est enim ut BC. minor ad CD. maiorem ita CE. minor ad ED. maiorem addita ergo communi EB. maior erit tota DB. quam C E. EB. simul. Igitur minor est ratio CB. ad BD. lateris scilicet minoris ad basim,quam CB. ad BE. EC. simul, id est quam basis DB. ad CB. DC. utrumq; latus simul. Rursus cum maior sit DC. quam CB. id est C E. quam EB. addita communi ED. maiores eriint DE. EC. quam tota DB. Igitur maior est ratio CD.
ad BD lateris scilicet maioris ad basim quam CD.ad DE. EC. simul id est DB. basis ad DC. CB. utrumq, latus stamul. Quod erit demonstrandum. t
THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXV. i
DV rvm rcctarum, quae in semicirculo angulum rectam continent maximς sunt quς inter se aequales, inaequalium vero quae aequalibus viciniores, maiores Irant quam quae r
In semicirculo ABC. cuius centrum D. ducta diameim AC. & semidiametro DR ad eam perpendiculari: Ducatur AB. CB. item AE. EC. &AI.I in semicirculo, quarum illae
132쪽
Curui ac recti proportio promota
illae primis AB. CB. sint viciniores, istie remotiores. Cum in triangulis ADB. CDB. duo latera AD. DB. duobus CD DB. aequalia sint , & anguli ad D. compraehensi recti , ideo que aequales, aequales erunt bases AB. CB. Dico maiorcs esse AB. CB. simul , duabus AE. CE. simul&ipsas AE Cta ipsis AI. CΙ. simul esse maiores. Ducatur enim perpendicularis BF. in rectam CE. & connectatur BE. EA. secetque recta C Erectam AB.in G. Item ducatur Bperpendicularis EH.
AGC.angulus aequa- 'lis est duobus interio- Arib',& oppositisGBC. BCG. estque GBC. rectus , erit AGC. obtusus , ac proinde BGC. acutus , cadet igitur BF. perpendicularis inter puncta GC.estque BG.su tendens rectum angulum F. maior ipsa BF. Iam in triangulo BFE. Quoniam angulus BEC. est semirectus insistit enim ad circumferentiam quadranti BC. & angulus ad F. rectus, erit etiam FBE. semirectus: aequalia igitur sunt latera FE. FB. Cum igitur batus CB. subtendens rectum F. sit maius latere CF. si aequalia addantur BF. FE. maior erit CB. BF. simul qaam tota CF. FE. multo igitur maior erit CB. BG. quam CE. cum BG. ostensant maior quam BF. Cum vero AG. subtendens angulum rectum AEG. sit maior quam EA. subtendente acutum EGA. si ad CB. BG. suae Mint maiores qua CE. addatur AG. maior, & ad CE. addatur EA. minor ellunt CB. BG. GA. id estduae rectae CB. BA. simul maiores' duabus rectis CE. EA. Quod erat primo demonstrandum. Rursus eodem modo quo supra ostendetur
cadere perpendiculare EH. inter C. & K. & quod angulus
133쪽
AKc. sit obtusus, ac proinde ΕΚΗ. acutus, quare maior erit EΚ.quam ΕΗ. Rursus in triangulo rectangulo EHI.an pulus EI H. seu EIC. innixus arcui EC. qui maior est qu Erante est maior semirecto, minor igitur est IEH. semir cto maius igitur est latus ΕΗ. latere IIJ. Nunc eadem pro sus ratione qua superius, ostendemus, cum CE. sit maiotquam CH. subtendens scilicet angulum rectum ad H.&maior etiam ostensa sit EH. quam HI. maiores esse CE. EH. simul quam CH. HI. quare multo maiores erunt CE. ΕΚ. simul ccum ΕΚ. sit maior quae ΕΗ. quam CH. HI. si igitur is. r. inaequalibus CE. ΕΚ. simul,& CIq. ΗΙ. simul, addantur inaequales, illis maior ΚA. subtendens angulum rectum 3 ΚIA. istis minor IA.subtendens angulum acutum in eodem triangulo KIA. erunt rectar CE.ΕΚ.ΚA. id est duae CE.EA. simul, tribus CH. HI. IA. simul id est duabus CI. m. maiores. Q99d quaerebamus demopstrare. . Atque ita deinceps ostendetur quo linea ex puncto C. ad circumferentiam B . ducta erit remotior a linea CB. esse si mul cum reliqua ad A. ducta, minorem viciniori, ut CI.IA. minores sunt quam CE. EA.
N semicirculo ex punctis extremis diametri chordas ita inflectere ut habeant proportionem datam. Sit datus semicirculus AEC. cuius diameter AC. eiusque extrema A. C. & proportio data xceis LM. ad MN. Oportet duas chordas ex AC. ita inflectere ut habeant pr portionem LM. ad MN. Componatur MN. cum recta ML. N
134쪽
iri Curui ac recti proportio promota.
illae primis AB. CB. sint viciniores, istae remotiores. Cun' in triangulis ADB. CDB. duo latera AD. DB. duobus CD. DB. aequalia sint, & anguli ad D. compranaen si recti , ideoque aequales, aequales erunt bases AB. CB. Dico maiores esse AB. CB. simul, duabus AE. CE. simul & ipsas AE CE. ipsis AI. CI. simul esse maiores. Ducatur enim perpendicularis BF. in rectam CE. & connectatur BE. EA. secetque
recta CE rectam AB.in G. Item ducatur perpendicularis EH. in rectam IC. & connectatur EI. IA.secetque recta CI. rectam. EA. in K. Quoniam AGC.angulus aequalis est duobus interio
rectus, erit AGC. obtusus , ac proinde BGC. acutus, cadet igitur BF. perpendicularis inter puncta GC.estque BG. subtendens rectum angulum F. maior ipsa BF. Iam in triangulo BFE. Quoniam angulus BEC. est semirectus insistit enim ad circumferentiam quadranti BC. & angulus ad F. rectus, erit etiam FBE. semirectus: aequalia igitur sunt latera FE. FB. Cum igitur latus CB. subtendens rectum F. sit maius latere CF. si aequalia addantur BF. FE. maior erit CB. BF. simul qaam tota CF. FE. multo igitur maior erit CB. BG. quam CE. cum BG. ostensa sit maior quam BF. Cum vero AG. subtendens angulum rectum AEG. sit maior quam EA. subtendente acutum EGA. si ad CB. BG. quae sunt maiores qua CE. addatur AG. maior, & ad CE. add tur EA. minor ellunt CB. BG. GA. id est duae rectae CB. BA. simul maiores' duabus rectis CE. EA. Quod erat primo demonstr andum. Rursus eodem modo quo supra ostendetur
cadere perpendiculare EH. inter C. & Κ. & quod angulus
135쪽
ATe. sit obtusus, ac proinde ΕΚΗ. acutus, quare maior erit EΚ.quam ΕΗ. Rursus in triangulo rectangulo EHI.an gulus EI H. seu EIC. innixus arcui EC. qui maior est quadrante est maior semirecto, minor igitur est IEH. semir t. l
cto maius igitur est latus ΕΗ. latere IH. Nunc eadem pror- sus ratione qua superius, ostendemus, cum CE. sit maior quam CH.subtendens scilicet angulum rectum ad H.&maior etiam ostensa sit EH. quam HI. maiores esse CE. EH. simul quam CH. HI. quare multo maiores erunt CE. ΕΚ. Qmul cum ΕΚ. sit maior quae EH. quam CIq. HI. si igitur 1ν. r. inaequalibus CE. ΕΚ. simul,& CH. ΗΙ. simul, addantur inaequales, illis maior ΚA. subtendens angulum rectum ΚIA. istis minor IA.subtendens angulum acutum in eodem triangulo KIA. erunt rectar CE. ΕΚ.ΚA. id est duae CE.EA. simul, tribus CH. HI. IA. simul id est duabus CI. 4 A. maiores. Quod quaerebamus demopstrare. . Atque ita deinceps ostendetur quo linea ex puncto C. ad circumferentiam BA. ducta erit remotior a linea CB. esse si mul cum reliqua ad A. ducta, minorem viciniori, ut CI.IA. minores sunt quam CE. EA.
IN semicirculo ex punctis extremis diametri
chordas ita inflectere ut habeant proportio
nem datam. Sit datus semicirculus AEC. cuius diameter AC. eiusque extrema A. C. & propo tio data rectae LM. ad MN. Oportet duas chordas ex AC. ita inflectere ut habeant m portionem LM. ad MN. Componatur MN. cum recta ML. N
136쪽
Curui ac recti proportio promora
in anmulum rectum & ducatur LN.& fiat ut LN. ad NM.ὶ 4 Ck ad A E & aptetur AE. adcirculum AB. connectavi LM. ad MN. ita CE ad EA. Qioniam aequalis est angulus AEG angulo NML.rectuscio, in triangulis AEC. NMI .i& circa angulos EAC
MNL. latera proportionalia, ex hypothesi,est enim vi LN. ad NM. ita CA. ad AE.& quilibet reliquorum anguloriam ECA. MLN. minor recto aequales erunt anguli EAE. L N M. sed & aequales sunt recti ad M.& E. igitur aequales sunt reliqui ad C. & L. erit igitur ut LM.ad MN. ita CE .ad EA. Quod demonstrandum erat . ,
THEOREMA XXXVI. PROPOS. XXXVII-SI sinit duo quadrata alterius quadrati dupla,
si quidem sint inter se aequalia , habebunt eorum latera ad istius latus proportione duplam, si inaequalia habebunt eorum latera actistius latus minorem proportionem dupla, leu m irem quam diameter quadrati ad costam . Sit quadratum FG.ad quod qu dr xδ hsimul sumpta habeant proportionem duplam. Inflectant AB. BC. ad angulustia Rrectum ABC. & ducta AC.diuidatur bifariam, in D.&ex D. distantia DA. vel DC. describa-Scha 3 is. turcirculus AEBC. qui Etransibit per B. Dico Aquadratoru, AB. BC.la Flera AB.BC.simul sumpta esse dupla laterisIG. Quoniam aequalia sunt An CB. & anguIus ABC. re-
137쪽
ctus, constat AB. BC. esse latera quadrati, & AC. eius diametrum . Rursus quoniam aequalia sunt quadrata AB. CB. erunt AB. CB. quadrata simul dupla ipsius AB. sed ponuntur etiam dupla ipsius FG. aequalia igitur sunt quadrata FG. 7. non me, AB.& aequalia latera FG. AB. Quoniam vero aequalia sunt quadrata AB. CB.aequalia igitur sunt latera AB. CB. igitur . AB.BC. sunt ipsius AB. id est FG. illi aequalis duplicia. Rursus sint duo quadrata inaequalia AE. EC. illud mi- , us,hoc maius quae ad idem quadratum FG.habeant ratio-em duplam Inflectatur AE. EC. in circulo ita ut habeant proportionem quam latera quadratorum AE. EC. Qu j. niam aequale est quadratum AC.quadratis AB. BC. & qu dratis AE. EC. erunt quadrata AB. BC.& AE. Ea simul aequalia,illa vero sunt dupla quadrati FG. Igitur & ista sunt dupla quadrati FG. datis aequalia, quorum latera AE. EC. cum maiora sint quam AC. diameter quadrati, & minotata r- . quam AB. BC. quae ad AB. id est FG.habent rationem dua PςΠui a uni plam ut penultima huius ostensum est ; ideo laterum AE. . EC. ad latus FG. maior erit ratio, quam diametri quadrati AC ad costam AB.sed minor quam dupla. Quod proba
THEOREMA XXXVII. PROPOS. XXXVIII
SI duo quadrata inaequalia simul dupla sint alia
terius quadrati, & alia duo inaequalia simul jetiam dupla eiusdem quadrati, habeat autem ex duobus prioribus quadratis aequalibus latus maioris,ad latus minoris maiorem rationem,quam ex duobus posterioribus latus maioris ad latus minoris, habebunt latera priorum simul ad latus alteriuscuius quadrata sunt dupla minorem rationem,qua latera posteriorum simul ad idem quadratum. Sint
138쪽
11s Curei ae recti proportio promota.
Sint duo quadrata inaequalia A. maius B. minus quae si mul sint dupla quadrati L. Item alia duo C.Maius D. nus simul dupla eiusdem quadrati L.FIabeat aute A.quadratum ad B. Quadratum maiorem rationem quam C. quadratum ad quadratum D. Dico latera A. B. simul ad latus L. G-norem habere rationem tuam latera CD.simul ad idem Ia
tus L. Describatur semicirculus GKE.centro Lex quo edu-ει. huius. catur ad angulos rectos semidiameter IX.& fiat ut A.ad B.ita EG.ad GH.& ut C.ad D. ita EG. ad GF. & con nectatur ΕΗ. EF.Erunt tam quadrata GF .HE. simul,quam GF.FE.simul dupla quadrati GΚ. ut ad 3 7.huius ostensum est . Quare ut quadrata A.B. ad quadratum L. ita quadra ta GH. HE. ad quadratum GK. & ut quadrata CD. ad idequadratum L. ita quadrata GF. FE. ad quadratum GK. 11. 6. ut ergo latera A. B. ad latus L. ita latera GH. HE. ad latus GK. atque ut latera CD. ad latus L. ita latera GF. FE. ad latera GK. Cum vero ponatur ut A. ad B. ita EG. ad GH. & ut C. ad D. ita EG. ad CF. maior autem sit ratio A. ad B. quam C. ad D. maior erit ratio' EG. ad GH. quam EG. ad GF. minor igitur est GH. quam 3 s. huius. GF.ergo minores sunt GΗ. ΗΕ.simul quam GF. FE. simul, maior igitur ratio est GF. FE.simul ad GΚ. quam GH. ΗΕ. simul ad GΚ. quare C. & D. simul maiorem rationem habeabunt ad L. quam A.B. simul ad eandem L.
139쪽
LIBER II. ir THEOREMA XXXIX. PROPOS. XXXIX. SI prima quantitas ad secundam; item tertii
ad quartam habeat rationem maiorem data, habebunt compositae antecedentes, ad consequentes simul, rationem maiorem data .' Sit ratio data AB. ad BC. sit autem maior ratio DE. ad EF. quam AB. ad BC. & maior ratio GH.ad ΗΙ quam AB. ad BC. fiat ut AB. ad BC. ita DE. ad ΕΚ. quae maior erit ipsa EF. Item fiat ut AB.ad AEC. ita GΗ. ad HL. quae G-tiain maior erit quam HI..Dico maiorem esse ratio
rem, ipsorum DE. GH. simul , ad ipsas EF. ΗΙ. simul quam AB. ad BC. Quoniam est ut DE. ad G- ΕΚ. ita AB. ad BC. &vi AB. ad BC.ita GH.ad HL. erit exaequalitate, ut DE. ad ΕΚ. ita GH. ad ΗL. Igitur DE. GH. simul ad ΕΚ ΗL. simul sunt ut DE. ad ΕΚ. Abia tis igitur ex consequentibus duabus quantitatibus , partihus FK. IL. maior erit ratio ipsarum DE GH. simul ad minores EF. ΗΙ. simul quam earumdem DE. GΗ. simul ad maiores ΕΚ. I . simul: sed ut DE. GH. ad ΕΚ. ΗL. ita AB. ad BC. maior igitur est ratio ipsarum DE. GΗ. simul sehaia.
ad EF. ΗΙ. simul quam datae AB. ad datam BC. COROLLARIUM. I.
I Dem sequitur se quantitates habeant rationem minorem data, nam etiam compositae antecedentes ad consequenines simul habebint rationem minorem data.
140쪽
iis Curvi ae recti proportio promota. COROLLARIUM II. .
NEqu hoc tantum inquatuor, sed in quotcumque magnialaiau,κs demonstratur , semper enim ostendetur compositas antecedentes , ad compositas consequentes habere rati nem maiorem, aut minorem data.
Atque in duobus hisce libris uniuersam proportionum inaequalitatem, qua ad rem nostram facere videbatur , complexi sumus, cuius quidem insignem usum, non in hoc opere sis , sed in pluribus alys quae luci desinamus , utinam mihi ossendere, tibi intueri, mi lector, tardiora nant fata. Sequitur tertius ober, in quo proportiones ferme omnes ad
aequalitatem reducuntur, ae materiam continent earum praesertim demonBrationum quae δικτικαι graecis, Eris octensivae,
dicuntur, ut seperiores libri ad eas praesertim quae ad abs dum abducunt ,praecipue conferunt. Hunc sperlegeris, Io se eris De quo utilitatem captas non vulgarem.