장음표시 사용
121쪽
LIBER IL. THEOREMA XXVII. PROpOS. XXVII.
SI fuerint qua tufr tangentes proportionales,
maiorque prima quam secunda & tertia , minor erit ratio primi anguli respondentis primae tangenti ad secundum,quam tertij ad quar
Sint quatuor tangentes E. G. I. Κ. sitque ut E. ad G. ita I. ad K. sitque E. maior quam G. maior item quam I.centro F. describatur circulus ABC. diam tro FA. &sit arcus AC. seu angu- Ius AFC. respondens tangenti I. arcus AB. seu angulus AFB.respon- Hdens tangenti Κ. hinc ducta CH. ad . perpendiculari, primi ansilico. D plementum sit ΗCD. erit ADC. pri- mus angulus, & cum angulus ADC. sit maior,quam HFC. nam maioris anguli maior tangens cadet punctum D. inter H. & F. si enim caderet in F. esset angulo AFC.aequalis, si infra minor &connectatur DB. quae secet I C. in M. & ducatur DN. secans FIC. in N. erit punctum M.inter Η.& M& angulus HDN. angulus secundus respondens ipsi G. Nam cum CH. sit tangens anguli AFC.& NH. tangens anguli BFA. item CF .langens anguli ADC. Nam est, vi I.ad Κ.ita CH.ad Η sed vi I. ad Κ. ita E. ad G. & ut E. ad G. ita CIq. tangens anguli I DC. adHN. utrobique enim est proportio aequalitatis tangentem anguli I DN. Dico minorem esse rationem CDΗ. ad NDIAE. quam C . ad BFA. Cu enim in superiori ex I 3. &37. a. huius ostensum sit, maiore esse proportionem anguli CFA.ad BFA. quam CDH. ad MDH. & CDH. ad MDH. maior sit ratio,quam CDΗ. ad NDH. maior erit proportio
anguli tertij CFA. ad angulu quartu BFA.qua primi CDΗ. ad secundum NDH. ideoq. minor ratio primi anguli CDHad
122쪽
iii Curvi ae recti proportio promota. , ad secundum MDΗ. quam tertij CFA. ad quartum BFA-
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXVIII.
SI sint quatuor anguli proportionales, sitque
primus maior secundo, ac tertio; minor erit
ratio sinus recti ac chordae primi ad chordam,& sinum secundi, quam sinus,& chordae tertij ad fia
num, & chordam quarti. imi Sint quatuor anguli proportionales dispositi, ut in figura penultima huius , sitque ut CDΗ. ad MDΗ. ita CFA. ad OFA. eodem modo quo vigesima sexta huius ostendemus punctum P. cadere inter N. 2 C. Centro D. distantia DB describatur arcus RBS. secans diametrum FA. in R.& DC. in S. Cum DB. sit minor quam DC. erit DS. illi aequalis minor quam DC.cadet punctum S. inter D. &C. Ducantur sinus B OT.SX.erit CF .sinus rectus anguli CFA. & BQ sinus rectus anguli BFA. respectu sinus totius FA. item SX. sinus rectus arcus RS. seu anguli CDA.&BQ sinus rectus arcus BR. seu anguli BDA. respectu sinus totius DB.seu DC. &OT. sinus rectus anguli OFA. respectu sinus totius FA. Ctun minor sit SX.quam CIq. minor erit ratio SX. sinus anguli primi CDA .ad B inum rectum anguli secundi BDA. quam CIq. finus recti anguli tertij CFA. ad B inum rectum anguli BDA. qui cum minor sit . quam OT. multo minor erit ratio SX. ad B quam CFl. ad OT. sinum quartum anguli OCR. Quod erat osten-
123쪽
II 3Idem ostendetur in chordis ,si cnim propositi sint quatuor arcus proportiCnales, accipiantur eorum dimidij tostendeatur minorem esse rationem sinus primi ad secundum, quam terti, ad quartum : ut vero dimidium ad dimidium, ita totum ad totu, quare minor erit ratio dupli sinus, id est chordae primae ad secundam quam tertiae ad quartam.
I fuerint quatuor sinus proportionales imquadrante, maiorq; primus quam secundum, ac tertius; maior erit ratio anguli respondentis primo sinui ad secundum , quam tertij ad quam
A. quatuor sinus FN. EO. DP. CB. proportionaleS, ac quidem FN. maior quam EO. aut DP. quibus respondeat
Cineu anguli FAN.EA O. DAP. CAB. Dico maiorcm eL se rationemFAN. ad EA O.quam DAP. Ad CAB. Ad linea GH. quamcunque fiat angulus HGI.aequalis angulo DA Et cx H. in lineam GI. ducatur perpendicularis HI. Item ad eandem lineam fiat angulus ΗGK. aequalis angulo CAQs demittatur ΗΚ. perpendicularis ad GK. Rursus fiat angulus IH L. aequalis angulo NFA. complementi anguli FAN. secetque ΗΙ. productam G I. in L. Denique adH. fiat angulus ΚΗM. aequalis angulo OEA. complcmenti anguli EA O. secetque recta HM. productam GK. in M. erit
124쪽
ii Curui ac secti proportio promota.
ideoque aequiangula trianguli IIJL.NFA. & ΚΗM. OEA. ac proinde similia. Cumque aequi angula sint triangula rectangula HIG.DPA.& HKG. CBA. Nam praeter angulos rectos ad K. I. P. B. sumpti sunt anguli aequales HGI. ipsi 3'. 3- DAP.& ΚGK. ipsi CAB.quare&i eliqui anguli reliquis sui
. .. aequaleS erit vi I H. ad ΗG. ita PD. ad DA. & vi HG. adis. defin. ΗΚ. ita DA . id est A C. ad CB. igitur, ex aequalitate,erit ut IH.ad ΗΚ.ita DP. ad CB. sed ut DP ad CB. ita est ex hypo thesi FN. ad EO. vi igitur I H. ad ΗΚ. ita FN. ad EO. Clarieroo sit ut HL.ad I H. ita AF.ad FN.& ut IF .ad ΗΚ.ita FN. aci EO. & ut ΚH. adHM ita EO. ad EA. erit ex aequali ut HI .ad HM. ita AF.ad EA. aequales autem sunt AF. EA. igitur etiam aequales sunt HL.& HM. Cum igitur triangula GH L. GΗM. habeant duo latera GH. HL. in eodem vero triangulo inaequalia nam angulus I LG.ostensus est squalis ipsi FAN.& HGL. ipsi DAP. maior autem FAN. quam , DAP. igitur in triangulo ΗLG.maius latus HG. quam latus ΗL. &quam FIM. ipsi H L. aequale minorque sit angulus compraehesus GHL.quam GHM. ut paulo post ostendetur s. ivi maior erit ratio F LG.ad HGL. quam HMG. ad HGM.d permutando maior ratio HLG. ad ΗMG. quam HGL. ad
HGL. DAP. ipsi HGM. CAB. ergo maior est ratio FAN. ad EA O. quam DAP. ad CAB. seu maior ratio arcus PQ ad arcum Einruam arcus D d arcum Cin Quod erat pro positum. Quod vero GHL. sit minor quam GHM. probatur,
quia cum angulus I GH. sit maior angulo ΚGH. erit eius complementum GHI. minus complemento alterius GΗΚ.& cadet perpendicularis ΗΚ.supra ΗI.eritque LΗΚ. angulus pars ipsius LΗΙ. item cum angulus HLI positus sit maior
quam H MK. erit eius complementum IH L. minus quan
ΚHM. Quare cum LΗΚ. sit minor quam LHI.&LHI. mi nor quam MΗΚ. multo minor erit L ΗΚ. pars ipsius LΗLquam M HK. Cadet igitur HM.supra HL. ideoque angulus
125쪽
Si fuerint quatuor anguli proportionales sin
guli minores recto, ac primus maior secun- . do, ac tertio ι maior erit ratio secantis primi,
ad secantem secundi, quam secantis tertij , ad se
cantem quarti . Sint omnia,quae in a6. theoremate huius,erit FC. secans anguli CFA.& PF.seeans anguli PFA.respectu simis totius FH. item CD. secans anguli CDA. &MD. secans anguli MDA. posito sinu toto DH. Dico maiorem esse rationem CD. ad DM. quam CF. ad PF. Quoniam minor est DB.qua DC. eodemq; minor quam FA. id est quam FB. aut FC.&aequales sunt FB. FC. a centro ad circumferentiam, minor erit ratio DB. FB. quam DC. ad FC. & permutando minor DB. ad DC. quam FB. ad FC. Rursus cum in triangulo FHN. angulus FHN. sit rectus erit FNH. acutus, & MNB. obtusus ideoque MB. maior quam BN. Quare cum minor sit ratio 19. i. primς quantitatis DB. ad secundam DC. quam tertiae FB. ad quartam FC. sitque prima DB. minor tertia FB. si ex prima , & tertia demantur ex illa maior MB. cx ista minor NB. s. i. huius. minor erit ratio MD. residui primae quantitatis, ad secundum DC. quam NF. residui tertiae quantitatis, ad quartam FC. & conuertendo, maior ratio DC.ad MD. quam FC.ad NF. at vero FC. ad NF. maior est quam FC. ad FP. nam . s cum in triangulo rectangulo FHN. angulus FNH. sit acutus , erit FNP. obtusus, ideoque FPN. acutus, & FP. main is, a.
ior quam FN. Igitur ratio DC. ad MD. maior est quam CF. ad FP. Quod erat &c.
126쪽
116 Curui ac rem proportio promota. THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXI. C I sint quatuor secan res proportionales ,rma torque prima quam secunda, ac tertia; mInor erit ratio primi anguli respondentis primae secanti ad secundum, quam tertij ad quartum-
vide ista Sint quatuor secantes proportionales in quadrante BN. 9-bu s. cuius centru A. videlicet AV. AT. AS. AR. sitque A V maior quam AT. aut AS. quibus respondeant arcta S
Dico minorem esse rationem anguli FA ad angulum EAQ quam anguli DA ad angulum CAQ Ad lineam quamcunque GH. fiat angulus GHI. aequalis angulo FAB.& IHM. aequalis angulo EA & ducatur GI M. perpendicularis ad ΗΙ. Hinc fiat angulus GΗΚ. aequalis angulo DA & ΚΗL. aequalis angulo CA & ducatur GKLia perpendicularis ad ΗΚ. erunt HG. HM. secantes angui rum FAB. EAB. &HG. Hia secantes angulorum DAB-CAB. illae respectu sinus totius ΗΙ. istie respectu sinus totius u ΗΚ. erit igitur ut GH. ad HM. ita AV. ad AT.& ut GH. ad HL. ita AS. ad A R. cum igitur sit ut GH. ad HM.ita AV.ad AT. & ut A V. ad AT. ita cx hypothesi AS. ad AR. ut AS. ad A R. ita GH. ad HL. erit ut G H. adHM. ita GH. ad
ΗL. aequales igitur sunt HM. HI . sed& maiores sunt anguli GHI. IH M. id eli FAQUEA angulis GHΚ. ΚΗL-
127쪽
HK. erit, per I4. secundi huius, minor ratio anguli GHI. M. x. hu
ad angulum IIJM. id est FAR EAB. quam anguli GΗΚ. ad ψε aragulum ΚΗL. id est quam in ad CAM. Quod erat
THEOREMA XXXII. PROPos. XXXII. SI puncto in quo semidiameter quadrantis
peripheriam secat duo arcus inaequales accipiantur, ad quos, ex quibuslibet punctis eius dem diametri productie duae rectae ducantur, facientes duos sectores: sectores quos rectae ductae expunctis remotioribus ab extremitate diametri cum arcubus quadrantis essiciunt, minorem habent inter se rationem, quam quos ericiunt ductae ex punctis propinquioribus, si maiores cum minoribus com- ut i
parentur. Sit Quadrans circuli FAK. cuius centrum E semidiame ter FA. secans peripheriam in A. puncto,a quo sumantur in Quadrante duo arcuS maior AG minor AB. Hinc in diametro AF. producta sumantur quotlibet puncta D.
H. extra quadrantem I. E. intra quadrantem ac ducantur tam eX centro , quam
ex singulis punctis, duae r ctar ad puncta B. C. Dico si ctorem DCA. ad sectorem, DBA. minorem habere r.
128쪽
1 r 8 Curui ac recti proportio promota.
tionem, quam sectorem ΗCA. ad sectorem ΗBA. hunc minorem, quam sectorem FCA. ad sectorem FB A. Denique hunc minorem quam quemlibet superiorem ., Superiores autem, eo minorem, quo magis puncta IE a puncto A. remouentur. Ducantur sinus recti BY. CX. Quoniam triangula DCF. DBF.eandem basim habent DF erunt s. inter se ut altitudines. CX. BY. Eodem modo cum triangula I CF. ΗBF. habeant eandem basim ΗF. erunt ut ea dem altitudines CX. BY. Quare erit ut triangulum DCI ad triangulum DBF. ita triangulum I CF. ad triangulumi HBF. maius autem est triangulum DCF triangulo DBFc ut ad fine huius ostendemus & triangulo HCF. & sector FCA. maior sectore FBA. Quare si ad primum trianguIum. DCF. &ad tertium HCF. addatur eadem quantitas, nimirum sector FCA. componetur duo sectores DCA.ΗCA. si vero ad secundum triangulum DBF. & quartum ΗBF. addatur sector FBA. constabuntur sectores DBA. HBA. ''y'hμψ' Igitur,perdecimam propositionem primi huius, minor erit ratio sectoris DCA.ad lectorem DBA.quam sectoris HCA. ad sectorem HBA. Rursus,ut prius,ostendemus esse ut triangulum HCF. ad i. . triangulum H . super eadem basi ΗF. constituta, ita al- corol. i. titudines CX. BY. At vero sinus CX. ad sinum Bri mi- - hu' norem habet rationem, quam arcus CA ad arcum BA. id is s. est, sector FCA. ad sectorem FBA. Igitur minorem habet rationem triangulum H CF. ad triangulum ΗBF. quanta sector FCA. adsectorem FBA. & permutando , ac componendo & iterum permutando, minor erit ratio sectoris ΗCA. ad sectorem ABA. quam sectoris FCA. ad sectorem FBA. Praeterea cadat punctum I inter F. & A. Eodem modo quo insuperioribus partibus, ostendemus minorem esse ra- , tionem trianguli FG. ad triangulum FBI. quam sectoris FCA. ad sectorem FBA. cum igitur maior sit ratio totius
FCA. ad totum FBA. quam partis FCI. ad partem FBI. reliqui
129쪽
quam totius FCA. ad totum pBA. Denique sumpto puncto E inter I. & A. cum ostensum sit saepe superius,minorem esse rationem trianguli ECI. ad triangulum EBI. quam sectoris FCA. ad sectorem FBA &in tertia parte huius demostratum sit , minorem esse rationem sectoris FCA. ad sectorem FBA. quam sectoris ICA. ad sectorem IBA. minor erit ratio trianguli ECI. ad triangulum EBI. quam sectoris I A. ad sectorem IBA. Cum igitur maior sit ratio totius sectoris ICA. ad totum sectorem IBA. quam partis ECI. ad partem EBI. erit reliqtii sectoris ECA. ad reliquum EBA. . maior ratio quam totius ICA. ad totum IBA. Quod erat demonstrandum Quod autem triangulum DCF. sit maius triangulo DBF. perspicuum est s Ducta enim ipsi AD. parallela .LCM. producatur DB. dum concurrat in M.& ducatur FM. perspicuum est quod punctum M. cadet LXtra circulueritq, triangulumDBF pars trianguli DMF ideoque minus , aequale autem est triagulum DMF triangulo DCF. IJ minus igitur est triangulum FBD. triangulo DCF.
Smorem hic vocamus, proprio nomine riangulum ex Δε-bus rectis circulari conPitutum, qualis est figura DCA. duabus rectis DC. DA. o tertia qualibet circulari AC rem nata o quo militudine verumpectorem referat,ab Euclidcob. 3. definitione nona, defriptum, qui angulam rectilineum, aut in centro,aut in peripheria circulisbundentis condirutum habet; qualis in hic figura LCB, cuius rei lectorem admonitam e volaimus e ambiguitatem riat
130쪽
rio Curvi ac recti proportio promota. THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXIII. SEgmentorum in semicirculo, maioris ad mi
nus maior est ratio, quam arcus maioris ad
Sit circulus ABC. cuius centrum E. diameter HD. ac in semicirculo HAD. sumantur duo segmenta FAB. GAC. illud minus, hoc maius. Dico maiorem esse rationem sese menti GAC. ad segmentum FAB. quam arcus GAC. ad arcum FAB. Secent duae chordae BF. CG. diametrum AR ad angulos rectam in punctis M. K. & ducatur ΚΒ. maior erit ratio sectoris seu figurae CKA. ad sectorem BKA. quam sectoris CEA. ad sectorem BEA. id est quam arcus CA. ad arcum BA. hoc enim in superiori propositione demonstratum est. ideoq; minor est ratio arcusCA. ad BA. quam CKA. ad BKA.. . minor autem est etiam ratio CKA. ad BKA. quam CK A. ad B MA. id est quam totius segmenti CAG. ad totum segmentum BA F. Igitur minor est ratio arcus CA. ad arcum BA. id est dupli CAG. ad duplum BA F. quam segmenti CAG. ad segmentum B F. Eodem modo ducta semidiametro P ED. ostendemus minorem esse rati nem arcus semicirculi DA H. ad arcum CAG. quam segmenti seu semicirculi DAH. ad segmentum CAG.
THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXIV.
IN omni triangulo rectangulo inaequalium laterum lateris minoris ad basim minor est ratio , quam basis ad utrumque latus , & maioris lateris