장음표시 사용
91쪽
8 o Curvi ac recti proportio promota .
AEL. ad ELA. paulo ante ostensa sit maior quam ratio AIL. ad ALI. & ratio AIL. ad ALI. maior, quam ratio AOL. ad rationem ALO. erit ratio AEL. ad ELA. maior ratione AOL. ad ALO. Igitur si duo triangula. M. Quod
THEOREM A XI. PROPOS. XI. SI duo triangula duo latera aequalia habueriuri
utrumq; Vtriq; , in eodem Vero triangulo inς- qualia, & angulum ijs compraehensum angulo inaequalem: complementa angulorum aequaliabus lateribus comptaehensorum, ad duos rectos, maius ad minus, maiorem quidem rationem habet,
quam angulus sub minori basi, & maiori latere ita uno triangulo , ad angulum sub maiori basi & ma
iori latere in altero triangulo, minorem Vero,quam
angulus sub minori bas,& minori latere in uno triangulo, ad angulum sub maiori bas ,& minori
latere in altero triangulo. Ijsdem positis, quae superioribus propositionibus secet
diameter BD. circulum in D. erunt KAD. OAD. compi menta angulorum aequalibus lateribus compraehensorum KAL. OAL. ad duos rectos ,& angulus OL A. contentus minori basium OL. & maiori laterum LA. Angulus KLA. contentus maiori basium LK. & maiori laterum I A. Angulus autem LOA. contentus minori basium LO. & minori laterum AO. & angulus LΚΑ. contentus maiori basium LK. & minori laterum KA. Dico primo,angulum OAD,ad angulum ΚAD. maiorem habere rationem quam OLA. ad η ' ΚLA. minorem quam LOA. ad LΚA. Nam cum maior sit ratio
92쪽
ratio AOL .ad AI o. quam AKL.ad AI K. erit componendo maior ratio utriusque AOL. ALO. simul id est ipsius DAO. externi illis aequalis,ad ALO. quam AKL. AI K. Qmul, id est ipsius DAK. ad ALΚ. Rursus cum minor sit ra- Io.2.himis..tio OLA. ad LOA. quam KLA. ad AKL. erit componendo minor ratio utriusque OLA. LOA. idest DA O. ad LOA.
Sint secundo triangula AFL. AEL. in quibus compis menta angulorum aequalibus lateribus compraehensorum, sint EAD. FAD.& angulus ILA. contentus minori basium EL. & maiori latere I A. angulus autem FLA. contentus maiori basium FL. & maiori latere LA. Rursus angulus LEA.contentus minori basium LE.& minori lateru EA.&angulus I FA.contentus maiori basium I F.& minori latere . Dico angulu EAD. ad angulu FAD. minorem habere rationem quam angulum LEA.ad angulum I FA. maiorem vero quam ELA. ad FLA. Nam cum maior sit angulus AEL. an illo AFL. si utrique addantur anguli illi quidem
minor ELA. isti maior FLA. maior erit ratio anguli AEL. huius.
ad angulum AFL.quam duorum AEL.ALE.simul ad duos AFL. ALF. simul. Sed duobus AEL. ALE. simul aequalis est angulus externus EA D. & duobus itidem AFL. ALF. i aequalis est cxternus FAD. Igitur maior est ratio AEL. ad AFL.quam EA D.ad FAD. ideooue minor EAD. ad FAD. quam AEL. ad AFL. Quod vero maior sit ratio EA . ad FAD.quam ELA. ad FLA. paret,quia illic est ratio maioris inaequalitatis , hic vero minoris. Idem ostendetur in omnibus casibus in quibus triangulum AEL.cadet intra triangulum , ut intra triangula AOL. AKL. nam eodem modo probabimus maiorem esse rationem AEL. ad AOL. aut AKL. quam EA D. ad OAD. vel ΚAD. Sed sint tertio triangula AEL. LXA. secetque LX.ipsam AF. Dico minorem este rationem FAD. ad XAD. quam AFL. ad AKL. maiorem vero quam FLA. ad ΚLA. Nam L .
93쪽
8 L Curui ac recti proportio promota.
ex secunda parte huius, maior est ratio AFL. ad AOL quam FAD. ad OAD. & ex prima parte huius, maiorcst ratio AOL. ad AKL. quam OAD. ad KAD. Igitur ex aequalitate, maior est ratio AFL. ad AKL.quatri. FAD. ad KAD. ideoque minor D. ad ΚAD. quam AFL ad AKL. Denique cum maior sit ratio OAD. ad ΚAD. quam FLA. ad KLA. vi constat ex prima parte liti ius propositionis, at vero multo maior sit latio FAD. actΚAD. quam OAD. ad ΚAD. manifestum est maiorem esse rationem FAD. ad KAD. quam FLA. ad KLA. Quod rui dem demonstrandum fuerat . .
SI duo triangula duo latera aequalia habuerinn,
utrumq; viriq; , in eodem vero triangulo in p. qualia, & angulum ijs compraebensum angu- Io inaequalem : anguli aequalibus lateribus comptaehensi, maior ad minorem , maiorem habentiationem , quam habeat complementum anguli sub maiori basi, & minori latere contenti , ad duovreistos, in uno triangulo, ad complementum anguli subminoii basi, & minori latere in altero tri
' gulo. SINT eadem quae superioribus propositionibus, sin que anguli KAL. OAL. aequalibus lateribur compraehensi , ille maior ,hic minor :& sit primo LOA angulus contentus r. s. minori base LO. & minori latere Ao. Item angulus LXA. sub maiori basii LA.& minori latere ΑΚ.em angulus AFO aeciliatis angulo AOF. angulus A ΕΚ. aequalis angulo AICE. Angulorum auicni AFO. AEO. complementa audii reetos sunt AFL. AELAgitur angulorum AOL. ΑΚ
94쪽
complementa ad duos rectos sunt AFL. AEL. Dico malo rem esse rationem anguli KAL. ad angulum OAL. quam anguli AE L. ad angulum AFL. productis enim OAM. KAM. maior crit angulus externus OAD. angulo interno LOA. Item ΚAD. maior, quam LΚΑ. & LOA.qua LXA.ille enim maiori arcui MF. insistit, hic minori NE. & arcus OK. differentia angulorum OAD. KAD. maior qua differentia angulorum LOA. I KA. Nam eorum differentia est medietas arcus MN. seu Κο. & medietas arcus EF . qui minor est quam ΚΟ. vi constat si ducatur ipsi KL.parallela OS. erit enim EF. minor qua ES. quae aequalis est ipsi XO.'uare etiam medietas ipsius EF. erit minor medietate reliqua ipsius VO: Quare si per I . primi huius, statuantur duo recti prima quantitas, & duo itidem recti
secunda quantitas , tertia autem quantitas sit an oulus O . quarta UAD. quinta L . id est Am. & sexta LVAE seu AEM. ac ex prima quantitate, nempe ex duobus rectis auferantur anguli OAD. V . ex secunda autem, nimirum ex duobus rectis, demantur anguli AFO. AEO. cum angulus O . siit maior angulis V . AFO'. dc Am. major quam AEM & differentia angulorum OA D. XAD. in ior disserentia angulorum AJ O. AEO. erit ex dicta pios ' δ h V sitione I . i. huius ratio anguli UAL. qui complementum
est quartae quantitatis A m. ad duos rectos ad angulum L a OAL.
95쪽
r Cunii ac recti proportio promota.
L. qui est complementum tertiae quantitatis OAD.)maior quam anguli AEL. complementi sextae quantitatis AEV. ad angulum AFL. qui est complementum quintae quantitatis AF O. Quod primo probandum erat.
Sint secundo anguli LM. LAE. aequalibus lateribus co- praehensi, ille maior, hic minor, & sit LEA. angulus contentus minori basi LE. & minori latere EA. Item angulus ' i' LO. contentus maiori base LF. & latere minori FA. erunti, da ti anguli AEU, AFO. aequales ipsis ASE. F. complemens. i. ta angulorum AEL. AFL. ad duos rectos. Dico anguli L. ad angulum OL. maiorem esse rationem,quam an
' hvim gul: AOL. ala angulum AKL Nam cum probata sit 9. huius, minor ratio anguli ALF. ad FAL. quam ELA. ad EAL. erit componendo minor ratio utriusque ALF. FAL. id est 3 a. r. O AFO: seu AOL. ad FAL. quam utriusque ELA. L. id est Τ AEX. id est. AXE. ad EAL. Quare conuertendo & permutando , maior est ratio FAL. ad OL. quam AOL. ad AXL.
Poterat haec secunda pars ex principijs primae partis huius deduci,sed ut breuitati consideremus, eam aliunde dedu
Sint tertio anguli FAL. KAL. aequalibus lateribus com- praehensi ille minor, hic maiora cadantque puncta F. S. illud sub punctum contactus, hoc supra, & sit L . angulus contentus sub bas minori LF. & minori latere FA. item angulus LXA. contentus sub basi maiori Lx. & latere minoriRA. Erit angulus OD. complementum anguli FAL. ad duos rectos,& angulus XAD. complementu anguli AKL. ad duos rectos minus complemento ipso FAD. ut pote pars toto, quorum differentia est angulus XAF. quae maior est differentia angulorum Lo. & LXA. Nam ex prima parte huius propositionis constat , differentiam angulorum MOF.NSE. nimirum medietates arcuum MN. EF.esse minorem angulo SAO. Rursus angulus LO. aequalis estruo. s. duobus internis I OA. O. id est arcui OF.&dimidio a
cui. PM. & angulus NAE. dimidio artaui NE. Quare diffe-Ientia
96쪽
rentia angulorum LO & LSA. id est ESN. erit totus arcus CF. una cum medietate arcuum MN.EF. Sed medietas a cuum MN. EF. minor est angulo SAO. Id est arcu X O. Igitur si communis addatur arcus OF. erit arcus KF. maior arcu OF. una cum medietate arcuum MN. EF. at vero arcus KF est differentia angulorum FAD. X AD. & arcus OF. una cum medietate arcuum MN. EF. est differentia angulorum
LFA. LX A. Igitur maior est differentia angulorum FAD.& SAD.quam angulorum I FA. LX A. Quare rursus si per 1 . primi huius statuantur duo recti prima quantitas, duo itidem recti secunda quantitas , tertia autem quantitas sit angulus FAD. quarta ΚAD. quinta LFA. sexta LΚΑ. ac eX prima quantitate , nempe ex duobus rectis auferantur tertia FAD. & quarta κ . ex secunda autem,videlicet ex duobus rectis demantur quinta L .& sexta I KA. sitqui , ὸ iFAD.maior quam LFA.& quam KAD.& LFA. maior qua pronunc.LΚΑ. Nam LFA. maior est quam LO A. &LOA. maior quam I KA. ut supra ostensum est & differentia angui rum FAD.ΚAD. maior differentia angulorum LFA. LΚΑ. erit ex dicta propositione 14. primi huius maior ratio angu- ita It KAL. ad angulum FAL. videlicet complementi quartae KAD. ad complementum tertiar FAD. quam complementi anguli LA A.qui sexta quantitas est, ad complementum anguli LFA. qui quinta quantitas , positus est. Atque itai ruolibet alio situ ostendemus, quod propositum est. Quare duo triangula M. Quod fuit demonstrandum &c. Hanc propositionem,etiam in sequenti,quam multo a Pliorem reddidimus, facilius, ac breuius demonstrabimus , ut inde variae probandi rationes,in una, c eadem materiata, Clucescant, quod a veteribus Geometris, ac Pappo praest sertim , in collectionibus mathematicis , factitatum legimus.
97쪽
8ς Curui ac recti proportio promota
SI duo triangula duo latera aequalia habuerint,
utrumq; viriq; , in Codem vero triangulo inaequalia, & angulum ijs comprςhensum angulo inaequalem : anguli aequalibus lateribus con praehensi, maior ad minorem, maiorem habent rationem, quam complementa angulorum reliquorum ad duos rectos si basibus, ac maiori laterum , item basibus ac minori laterum contenti, maiorcuque cum minoribus conferantur. IN figura nonae huius, habeant duo triangula LAQLAΟ.duo latera I A. ζ.duobus LA. AO.aequalia utrumq;
utrique, & angulus compraehensus LAIC. maior sit compraehenso LAO. Dico maiorem esse rati nem anguli LAI . ad angulum LAO. quam complementi anguli AKL. ad duos rectos, ad complementum anguli AOL. Item quam complementi anguli ALV. ad complementum anguli ALO. producantur AL. in T. AO. in V. AU. in X. erunt anguli TI K. TLO. complementa angulorum ALV. ALO. ad duos rectos,& tanguli XAL. . VOL. . complementa angulorum AKL. AOL. Quoniam maior est ratio an uti LA T. ad angulum AKL. quam anguli LAO. ad angulum AOL. erit componendo,& permutando maior ratio angulorum I ΑΚ.
98쪽
AXL. ad angulum AOL. Quare cum maior sit ratio totius LAΚ ΑΚL.simul,ad totum LAO. AOL. simul,quam partis AKL. ad partem AOL. etiam reliqui LAK. ad reliquum ii LAO.maior erit ratio,quam totius LAΚ. AKL.simul,ad w- tum LAO.AOL. simul. ipsis autem LAX. AKL. simul aequalis est externus I LX. & ipsis LAO. AOL. simul aequalis est externus I LO. Igitur maior est ratio anguli LAK. ad angulum LAO.quam anguIi TLR .ad angulum TLO. Rursus quoniam maior est ratio anguli LAΚ. ad angulum ALΚ. quam anguli LAO. ad angulum ALO.ut constat eX nona si s. 1.huius.cundi huius, erit componendo, & permutando, maior ratio LA L. ALK. simul ad LAO. ALO. simul qua ALK.ad ALO. ideoque cum maior sit ratio totius LAX. AI K. ad totum , LAO. ALO.simul,quam partis ALS. ad partem ALO. etiareliqui LAS. ad reliquum LAO. maior erit ratio quam i litis LXA. AKL. ad totum LAO. ALO. sed toti LAS. ALX. est aequalis angulus XX L.& toti Lao.ALO.aequalis cst at gulus V OL. Igitur anguli LAX. ad angulum LAO. maior est ratio quam anguli XXL. ad angulum V OL. Idem, eodem prorsus modo, demonstrabitur in duobus triangulis quocumque situ collocatis; ut in triangulis LAE.LAF.item in triangulis LAO. LAE. Eadem enim ubiquGdemonstrandi forma, propositum ericiemus, ut inducenti manifestissime patet. Quare si duo triangula duo later aequalia habuerint &c. Quod fuit demonstrandum.
Vod si a Dii est raehens fini suis complementis ad
idem punctum maiores , minor erit ratio angulorare compraehensorum , quam suorum complementorum minores , maior , ex 2 2.primi suius: Vi minor es ratio LAX. ad LAO.quam D .ad DAX. maior vero ratio, LAF.adLAE.
in triangulis LM. LAE. quam EAD. ad FAD.
99쪽
s a Cures ac recti proportio promota.
THEOREM A XIV. PROPOS. XIV. SI duo triangula duo latera aequalia habue
rint, utrumque Virique, in eodem vero triari-gulo inaequalia, & angulum ijs compraehensum angulo inaequalem ; ex angulis autem aequalilibus lateribus copraebensis in oppositas bases perpendiculares demittantur: anguli, quos perpendiacularium maiorcum lateribus facit,in maiori sunt ratione, quam quos minor, si maiores ad minores
referantur, IN figura superiorum propositionum, sint rursus triangula,quorum toties facta mentio, LAK. LA O. & ducantur ex puncto A.ad bases LX.LO.perpendiculares 1'AR.haec maior illa minor. Dico maiorem esse rationem anguli LAR. ad angulum B . quam anguli LA ad angulum Angulus enim LOA. maior est angulo LXA. Eo quod arcui MF. insistat, qui maior est quam arcus NE. Idem angulus LOA. maior est quam OLA. ob silatus Ac. subtendens maius quam latus M. & angulus OLA. totum maius
100쪽
anguli insistunt.Differentia autem angulorum OLA.ΚLA. est angulus OLΚ.minor medietate arcus KO. na si duceretur recta ΚF.angulus ΚFO.externus, aequalis medietati a cus ΚΟ. est maior interno OLΚ. Igitur differentia angulo- io. a. rum ad O.& Κ.maior est differetia angulorum OLA. KLA. is. Quare si angulus rectus statuatur tam prima quam secunda quantitas; LOA tertia; LΚΑ. quarta; OLA. quinta; ΚLA. sexta. erit per I . I.huius,maior ratio coplementi ΚA id complementum OAR. quam complementi I A id complementum LAR. Quare & maior erit ratio LAR. ad LAας' vi quam OAR. ad ΚΑ & permutando maior LAR. ad OAR. quam LA ad KAQ Quod erat&c. Eodem modo sistatuantur triangula FAL. EA L. in quorum bases productas cadant perpendiculares eaedem taAR. Ain maior erit ratio LAR. ad FAR. id est,ad RAO. aequales enim sunt anguli FAR. RAO. quam LAQ ad 4ςh R EA qui ipsi QAΚ. est aequalis. Denique in triangulis LAF. LAX. in quorum bases I F. productam,& I K. intra triangulum , cadant eaedem perpendiculares AR. Ain eodem modo ostendemus,maiorem esse rationem LAR. ad FAR. quam LAi ad ΘΚ. Quod erat ultimo probandum . THEOREM A XV. PROPOS. XV. NIIsdem positis: Dico maio-
LAE. quam OAD. ad KAD. Nam probatum est maiorem esse rationem LAF. ad LAEquam AOL. ad AKL.& AOL. ad AKL. maiorem , quas OAD. ad KAD. Igitur LAF. ad LA E. maior est ratio , quam OAD. ad KAD. Quod fuit &c.