장음표시 사용
81쪽
o Curui acrem proportio promota. E X trianguli ABC. angulo ABC. duobus inaequalibus
lateribus AB.maiori BC.minori contento,in basim AC. c dat recta BE. quae angulum ABC. bifariam secet, & basia 3. 6. AC. in E. Cum sit ut AB.l tus maius ad BC. minus,ita AE. ad EC. erit AE. maius is i scgmentum, EC. minus,&angulus C.maior, A. minor. Dico minorem esse rationem 3 6. AE. ad EC. quam anguli C. ad angulum A. Vt enim AE. δ ' μin uis EGita AB. ad BC. Sed AB. ad BC. minorem habet rationem quam angulus C. ad angulum A. Igitur AE. ad EC. minorem habet rationem quam angulus C. ad angi tum A. Quod erat probandum,
HInc conssat s ducatur ad basim AC. perpendicut ris
AD. punctum E. cadere in maius figmentum AD.3.i. hujus. nam s caderet in puncIum D. aut inter D. o C. maior esset proportio AE. ad EC. quam anguli C. ad angulum A. Pod es contra paulo ante demonNrata.
Colligitur etiam basem AC. in puncti inter E. D. d id,
pos , ita vi eadem si ratio anguli C. ad angulam A. quae sigmenti maioris ad minus. Non enim in D. aut puncto intra D.σC.nam ibi semper minor ect ratio anguli maioris ad anguum minorem , quam Amenti maioris, ad minu neque in E. aut puncIo inter A. o E. nam illic maior es rario anguli maioris, ad minorem , Pam segmenti maioris , ad
82쪽
HInc etiam efficitur se in triangulo , recta ex angulo in
basim protractam extra triangulum ducta, efficiat cum viciniori latere angulum, dicto angulo aequalem , maiorem esse rationem maioris angulis adiacentis, ad minorem quam basis , ad inter tam inter basim , se rectam ex angulo iactam. Si enim si triangulum AEB. in cuius basim AE. proirmctum , ducatur BC. faciens angulum EBC. angulo EBA.'ualem. minor erit ratio AE. ad EC. quam anguli C. ad angulum A. sd anguli C. ad angulum A. minor en ra- s. stio quam anguli A . ad eundem angulum A. minor enim I 6. I. es C. internus externo AEE. Igitur minor eis ratio M. ad EC. quam anguli AEB. ad angulum A.
SI ex trianguli Isoscetis angulo, recta in basim
demisia, eam in partes inaequales diuidat ;minor erit ratio maioris segmenti ad minus, quam anguli maiori segmento Oppositi, ad oppositum minori. EX trianguli AGH. aequalium angulorum ad G.& H. angulo A. ducatur in basim GH. recta AR secans eam ista partes inaequales ΗF. maiorem FG. minorem. Dico min rem esse rationem ΗF. ad G F BFG. quam anguli HAF.ad V- γ Hangulum FAG. Ducatur expuncto A. in GH. perpenta P
83쪽
Curui ac recti proportio promota.
KD. chorde, sumatur aequalis XL. diuidaturque angulusLΚD. bifariam recta AKF.& angulus CΚD. bifariam recta se iridi , FN. cum angulus DKC. maior ut angulo DKL. erit,& eius medietas DK N. maior medietate DKE. linea igitur KN. cadet inter E. & C. in N. erit igitur CN. minor quam CE. Quare maior erit proportio DN.ad NC. quam DE.ad EC. 3 si Sed vi DN. ad NC. ita DK. ad KC. maior igitur ratio est
Corori.,8. DK. ad A C. quam DE. ad EK. est autem etiam maior ratio nimis. arcus DK. ad arcum KC. quam chords DK. ad chordam KC. Igitur multo maior ratio erit arcus m ad arcum KC.
Mittit i, quam DE ad EC id est quam F F.ad FG. Nam recta AB.3. . arcum CD. bifariam secans secat CD. bifariam, quare , Q. ad angulos rectos in I. sed & recti sunt positi anguli ad B parallelae igitur sunt CD. GH. igitur ut DE. ad EC. Schol Α si ad FG. Quare si ex trianguli Isoscetis an gulo, &c.
THEOREM A VII. PROPOS. VII. SI cx angulo trianguli in aequalibus lateribus contento in oppositam basim demissa perpen
dicularis intra triangulum cadat, & alia tria maius segmentum ex eodem angulo ducatur: recta interductam,& angulum minorem contenta, ad reliquam partem basis, maiorem habet rationem , quam angulus oppositus, ad reliquum angulum. SIT triangulum AUG. cuius latus AH. minus AG.
maius,basis HG. in quam ca- schol 47 I dat perpendicularis AB. qua basim diuidet in duo segmenta maius BG. minus BH. & in maius ex A. ducatur recta AF. Dico maiorem efferatim .
84쪽
nem GF. ad FH. quam anguli GAF. ad angulum FAIq. Quoniam minor est HB. tangens anguli HAB. quam BG. tangens anguli BAG. minor erit ratio HB.ad BG. quam an- guli HAB. ad angulum B AG. & componendo, minor ratio HG.ad GB.quam HAG.ad BAG. sed BG. ad GF. minor est ratio quam BAG. ad FAG. cum enim maior si ratio tan- Σ6.I. lituus. gentis maioris GB. ad minorem BF. quam anguli BAG. ad angulum BAF. erit per conuersionem rationis minor ratio BG.ad GF.quam BAG. ad FAG. Igitur ex aequali minor est ratio HF. ad FG. quam HAF. ad FAG. &conuertendo maior ratio GF. ad FH. quam anguli GAF. ad angulum FAH. Quod erat &c.
THEO REMA IIII. PROPOS. VIII. IN omni triangulo amblygonio , si ex angulo
acuto in latus protractum , perpendicularis ducatur, & ex eodem angulo oppositum latus recta secetur ; segmentum vicinius perpendiculari, ad remotius, minorem habet rationem, quam angulus oppositus, ad oppositum.
SIT triangulum ABC. amblygonium ad B. in cuius la tus protractum CB. cx angulo acuto A.perpendicularis ducatur AD. & ducatur AE. si canS BC. utcumque. Dico B minorem esse rationem seg- linenti BE. vicinioris ipsi AD. lad EC. remotius quam an-
li BAE.ad angulum EAC. simi enim BE. E C. differentiae tangentim CD. ED. BD. estque EC.remotior a puncto contactus D.quam BE. Igitur minor est ratio BE.ad EC. quam anguli BAE. ad angulum 7' h EAC. Quod erat probandum.
85쪽
7 Curui ac recti proportio promota.
ostenditur si ex trianguli rectangob angulo . acuto, rectam oppositum latus ducarur ; minorem es irationem segmenti vicinioris perpendiculari , remotiusquam anguli oppositi viciniori figmento, oppositum rem lsori . In triangulo evim rectangulo ADE. DucIa utcumque BF.man r est ratio DB. BE. quam anguli DAB. ad angulum
APpG-imrei in propositione Atima huius hanc conditio-
armeti , ut ducZa AF. cadat in maius figmentum FG. quias caderet in minus HB. poser contingere ut proportio HF. - .modo es et minor,modo maior,quam anguli oppositi ad on stum. Ducatur enim in minus Amentum. HB. recta AF. ficans an um YB. bifariam in L. se rectae H F. taccipiatur aequalis FI. IM. MG.or arcus BM. NO. t aequales θ' sis ML. LI. Erit GF. maior quam FB. maior enim es ratio HR ad FB. quam KL.ad LE.aequalis autem est VL. ipse LB. igitur maior es HF. quam FB. ct CP. quam CB.Cum imi r tangentiam di mentia: resondentes arcubus V L.LB. BN .vO.componentes res Iam H C. aesint aequales ipse H F.videlicet u F.PC. duae minores FR.BP. componentesvero HG. omnes aequales usi HF. erit Istr.L HG.maior toti HC agitur puncZum O. cades inter S. K .es punctum C. inter G, sue. ducatur Asscans circulum in S. Cum sit vi OK. adra. ita . aMF. virobique enim ratio en quadruplaberit maior ratio SK. ad KL. quam GH. ad HF. Ita inter puncta H. F. accipiatur punctam T. ad quod ex cenire δε- catur AT. scans cir-
86쪽
culum in R. moniam GH. ad se. minstrem habet rationem quam M. ad UL. o HF. ad HT. minorem quam μ. ad ' KR. erit ex aequati minor ratio GH. ad H T. quam SV. ad KR. Rursus cum sit minor ratio SB. ad M. quam GR. ad ΒΗ. se componendo minor ratio M. ad UB. quam GH. ad HB. erit eadem ad minorem , sit - ω. ad HB. ita SK. ad Uratas ducatur A. 2M Iusniam maior ect ratio ἡ . ad ΗV. quam GH. ad HB. vi autem GH. ad HB. ita 8. m. ad Γα maior erit ratio GH. ad se. quam SV. ad Ostendimus igitur maiorem posse esse rationem SK. ad XL. quam GH. - ΗF. minorem autem μ. ad quam GH. ad HV. ideo conuertendo , o diuidendo , maiorem es se rationem se. ad FG. quam XL. ad LG. minorem amrem HV. ad UG. quam Κα ad .. quod ostendere volebamus. l b : a
SI duo triangula duo latera duobus lateribu
aequalia habuerint, utrumq; viriq; , in eodem vero triangulo inaequalia, & angulum dictis lateribus contentum angulo inaequalem: maior an- .gulus compraehensus, ad utrumlibet reliquorum maiorem habet rationem , quam minor comprehensus,ad reliquos, si maiores unique trianguli cum maioribus, & minores cum minoribus compare
Sint duo triangula LA F. LAE. quae duo latera LA.AFι duobus lateribus. LA. AE. aequalia habeant, sit vero. I A. maius tam latere. AF. quain AE. & angulus LAI i aequalia. - Κ a bus
87쪽
6 Curui ac recti proportio promota.
bus lateribus compraehensus, maior angulo LAE. aequalibus item comprehenso. Dico maiorem esse rationem a
guli FAL. ad angulum FLA. quam EA L. ad ELA. Item maiorem esse rationem anguli FAL. ad AFL. quam EA L. ad AEL. Componantur duo latera maiora in unam lineam rectam A L. & per reliqua duo AE. AF. aequalia, centro A. describatur circulus CEF. secans A L. in C. ductaq- recta LI. tangat circulum in I. ac primo cadant puncta EF. inter C. & I. Item centro L. distantia LE. describatur circulus HEG. secans AL.in II. & L F. in G. & per puncta FE.ducatur FB. secans AL. in B. Secabit autem,
cum angulus. LAF. recto minor sit , nam cum rectus
sit LIA. erit LAI. ac multo magis eius pars LA F. acutus, & in triangulo Isoscete AFE. angulus ad b sim AFE. acutus , quare angulis AFB. FAB.existentibus minoribus duobus rectis,concurrent AB. FB. ad partes B. maior erit ratio sectoris AFE. ad tri gulum AEB. quam trianguli AFE. ad idem triangulum. AEB. sed sector AFE. ad sectorem AEC. adhuc maiorem habet rationem, quam ad triangulum AER igitur sector AFE. ad sectorem AEC. id est arcus FE. ad arcum EC. maiorem habet rationem, quam triangulum AFE. ad triangulum AEB. id est , quam FE. ad EB. & conuertendo, minor est ratio arcus CE. ad arcum CF. quam BE. ad EF. Eodem prorsus modo ostendelnus , maiorem esse rationem se
ctoris HLE. ad sectorem ELG. id est arcus I E. ad arcum
88쪽
m. quam trianguli BLE. ad triangulum ELF. id est,quam
BE. ad EF. quare minor erit ratio BE. ad EF. quam arcus HE. ad arcum EG. cum ergo minor sit proportio CE. ad EF. quam rectae BE. ad rectam EF. & BE. ad EF. minor quam arcus HE. ad arcum EG. erit ex aequali, minor ratio arcus CE. ad EF. id est, anguli LAE. ad EA F. quam arcus HE. ad EG. id est anguli ALE. ad angulum ELF.& permutando , conuertendo , ac componendo, maior erit ratio FAL. ad FLA. quam EAL. ad ELA. Quod vero maior sit ratio FAL. ad AFL. quam EA L. ad AEL. Ita ostenditur. Quoniam maior est angulus L EA. angulo LFA. & minor angulus EAL. angulo FAL. maior erit ratio LEA. ad EA L. quam LFA. ad FAL. ergo maior ratio FAL. ad I FA. quam EA L. ad LEA. Idem ostenditur si alterum horum punctorum cadat in punctum contactus I. Cadant secundo puncta. E.F.supra punctu contactus I.in puncta Κ. O.habeantq; duo triangula KAL.OAL.duo latera KAL. OAL. aequalia, & sit angulus KAL. maior angulo OAL.secentq; bases LΚ. LO. circulu in punctis E. F. inter puncta G. I. Constat angulu KAL. csse m iore angulo OAL.& angulum OLA. maiorem angulo KLA. totu parte:scd &angulus LOA. maior est angulo LΚΑ. cum enim angulus
KAE. maior sit angulo O AF.erunt reliqui duo. A XE. AEK. reliquis duobus AOF. AFΟ. minores, ideoque dimidium AKE. dimidio AOF. minus. Igitur rursus maior erit ratio anguli KAL. ad angulum ALK. quam ΟAL. ad ALO. item maior ratio KAL. ad AKL. quam OA L. ad AOL. Idem probabimus, si altera dictarum linearum transeat per punctum I. Cum mani sestum sit angulum LAI. esse partem cuiuslibet angulorum superiorum ad A. & angulum LIA. rectuin esse maiorem acutis AKL. AOL. deniq; ALI. esse maiorem singulis ALE. ALF. Deni-
89쪽
τ 8 Curui ac recti proportio promota.
Denique secet altera basium dictorum triangulorum;ci culum in puncto o. supra punctum contactus I. altera infra, sit in puncto E. habeantq; rursus triangula OAL. EAL.duo latera OA. AL. duobus lateribus EA. AL. aequalia, & sit angulus OAL. maior angulo EAL. Quoniam ex prima par te huius maior est ratio anguli OAL. ad ALO. quam IAL. ad ALI.& IA L. ad ALI. maior, quam FAL. ad ELA.eκ prima parte huius propositionis, maior erit ratio OAL. aclALO. quam EAL. ad ELA. item quia maior ratio OA L. ad AOL. quam IAL. ad AIL. & IAI .ad AIL.maior,quam EA L. ad AEL. erit OAL. ad AOL. maior ratio,qua EA L. ad AEL. Quare si duo triangula &c. Quod erat demo-
SI duo triangula duo latera aequalia habuerint,
utrumq; viriq; , in eodem vero triangulo inae qualia , & angulum ijs comprehensum angulo inaequalem. In triangulo in quo angulus com- praehensus minor est, reliquorum angulorum ma- ior ad minorem, maiorem habet rationem, quam in altero. Sint duo triangula LAO. LAX. eodem modo disposita, quo Iuperiori propositione, & sit angulus LAX. compra
hensus maior angulo compraehenso OAL. Dico in triangulo . LAO. angulum AOL. maiorem , ad angulum OLA. minorem , maiorem habere rationem, quam in triangulo Ι ΑΚ. angulum maiorem AKL. ad angulum minore ALL. Cadat primo uterqiangulus. O. K. supra punctum coni eius I. & secentrinae L K. LO. convcxain peripheriam ilia . punctis E. F. & ducantur ex centro A. recta AE. AF. Quo. niam
90쪽
niam maior est ratio anguli FAL. ad angulum FL q. quam E A L. ad ELA. cx prima pa te praecedentis propositionis
angulorum FAL. FLA. ad angulum FLA. quam angulorum EAL. ELA. ad ELA. sed angulis FAL. FLA. simul est
AFO. id est AOF. & angulis EA L. ELA. simul aequalis est angulus externus AE K. id est AKE. Igitur maior est i ratio anguli AOF. seu AOL. ad angulum ALO. quam anguli AKE. id est, AKL. ad angi tum ALK. Idem eodem ferme modo demonstrabitur si alterutrum punctorum ut F. cadat in punctum contactus. I. Cum enim superiori propositione probata sit maior ratio IAI .ad II A. quam EA L. ad ELA. erit componendo maior ratio dii rum I A L. ILA. simul, i l est anguli AIL. qui rectus est, ideoq; aequalis duobus reliquis IAL. ILA. ad II A. quam duorum EA L. ELA. simul, id est externi AEK. ac proinde aequalis AKL. ad KL A. Cadat secundo utrumque punctum E. F. sub punctum ,
contactus I. cum angulus L EA. sit maior angulo LFA. is angulus ELA. minor angulo.FLA. maior erit ratio anguli LEA. ad angulum ELA. quam anguli LFA. ad angulum FLA. Neque alitςr procedet demonstratio, si punctum F. cadat in punctum contactus I. Denique cadat alteruter angulorum supra punctum contactus,& alter E. infra, ille minor, hic maior: cum ratio '