장음표시 사용
71쪽
co Grui ac recti proportio pmmota PROBLEMA VI. PROPOS. XXXXVIII.
dx ntem ita secare, ut secatis arcus malo
ris, ad secantem minoris, maiorem habeat rationem , quam arcus maior, ad arcunta - minorem. l. iQUADRANS ABI. diuidatur bifariam in G. & arcus G. B. rursus bifariam in F,&ducatur tangens infinita BE. ac per puncta GF. secantes AC. vi
A D. fiatq; ut BC. ad BD. ita secans AD. ad aliam quai piam, quae transferatur ex A. in E. ita ut AE. secans arcus ΒΗ. quartae proportionali sit aqualis. Dico maiorem esse Grationem secantis AE. ad se- Acantem AD, quam arcus ΗΒ. ad arcum BGo maiorem autem: esse AE. quam AD. & ideo arcum ΗΒ. quam GB. constat quia BD. maior est quam BC. quare cum maior sit ratio tangentis DB. ad tangentem BC. quam arcus GB. ad arcum BF. maior etiam erit ratio secantis A E. ad secantem AD, quam arcus GB- ad arcum BF. sed ut arcus GB. ad BF. arcum, ita arcuSIB. ad arcum GB. utrobique enim maior minoris duplus est,& Illo ad BG. maiorein habet rationem quam HB. ad BG e go secans AE. ad secantem A D. maiorem habet rationem quam arcus HB. ad arcum BG. Igitur Quadrantem ita sec uimus, ut secans arcus maioris,&c. Quod erat faciendum.
I ex puncto diametri productie extra circulum
rectae ducantur . quae in conueram, & cauam; peri
72쪽
Peripheriam incidentes semicirculum secent,iam secantis maioris ad minorem, quam incidentium i Conuexam peripheriam maioris ad minorem, minor est ratio, quam maioris arcus ex ijs quos abscindunt, ac subtendundi ad minorem.
SIT circulus CDE. in cuius diametro cxtra circulum producta, sumatur punctum A. aquo in semicirculum CB. di Cantur quotlibct rectae AD. AE. quae Couexam peripheriam secent in puctis F. G. concauam in D. E. Dico mino- , rem esse rationem AD. ad AE. itemAG. ad AF. quam arcus DEF. ad a cum EG. Nam quoniam rectangulum DAF. aequale est rectangulo EAG. erit ut DA. ad EA. ita AG. ad AF. Rursus quoniam chordae minori EG. additur tecta GA. & maiori DF. additur recta FA. minor quam GA. minor erit proportio DA. ad EA. quam chordae DF. ad chordam EG. sed chorda DF. ad chordam EG. minorem Corota.18. habet rationem quam arcus DEF. ad arcum EG. Igitur DA. Miua ad EA. minorem habet rationem, quam arcus DEF. ad arcum EG. Igitur DA. ad EA. minorem habet rationem quam arcus DEF. ad arcum EG. sed ut DA. ad EA. ita ostensum est esse AG. ad AF. Igitur minor est ratio AG. ad AF. quam ar- a3. s.cus DEF. ad arcum EG. Igitur si ex puncto, &c. inod erat ostendendum .
THEOREM A XXXXIV. PROPOS. L. SI a centro , atque ab extremitate diametri ci culi , duae rectae ducantur ad idem circumferen
73쪽
c, Curui ac recti proportio promota.
tiae punctum, quae chordam , & arcum , cui subtenditur, in partes inaeo uales dividant: arcus maior,ad minorem maiorem habet rationem , quam segmen
tum chordae maius, ad minus. SIT circulus ABC. cuius centrum E. diameter FC. ab E. & F. ducantur duae re FB. EB. ad idem circumferentiae punctum B. quae chordam quam piam AD. secent in partes inaequales recta quidem FB. in H. & EB. in I. Item arcum DA.
BA. Dico minorem esse rationem DFq. ad HA. itemque minorem rationem DI. ad IA. quam arcus DB. ad arcum BA. Ex A. & D. du- . cantur perpendiculares ad EB. recti DL. AK. erunt haere sinus arcuum BD. BA. Item ex E. ad AD. per schol. 27.3. pendicularis EG. secans ta a chordam AD. quam arcum
AC D. & AFD. bifariam in G. C. & F. manifestum est marcus DB. maior sit quam arcus BA. ideoque maior dimidio totius DA. quod punctun B. cadet inter A. & C. ideoque pu m I. & H. inter puncta G. & A. Quare segmentum DI. maius est segmento IA.&DH.maius quam HA. Quoniam aequiis. i. angula sunt triangula rectangula DLI. ΑΚ I. ob aequales an- . 6. gulos ad verticem I. erit ut DI. ad IA. ita DL. sinus rectus a ζὼ4, 8 cus BD. ad AK. sinum rectum arcus AB. sed DL. ad ΑΚ. mianorem habet rationem quam arcus DB. ad arcum BA. Igitur segmentum DI. ad segmentum IA. minorem habct rationem , quam arcus DB. ad arcum BA. Rursus cum duo anguli ABH. i. DBF. insistant arcubus aequalibus AF. DF. ideoque sint aequa-ii ,' ' les, erit ut DTq. ad HA. ita chorda DB. ad chordam BA. at chorda DB. ad chordam BA. minorem habet rationem, quam
74쪽
arcus DB. ad arcum BA. Igitur DIJ. ad HE. minorem habet rationem , quam arcus DB. ad arcum BA. Quod erat , &c.
HIης patres angulus quemd subiens efficiunt, recta ab
externitate diametri ducta diuidatur , bifariam etiam diuidi; nam probatum eis angulum ABD. bifariam secari , a re
Co ut etiam, sin chordam recta ex centro ducatur, qua ιhordam arcum subtensum diuidat habere sigmenta chorda proportionem eandem, quam Musarcuum i Nam demon- statum es, esse, ut DI. ad IA; ita DL. Anum arcus DB. ad AU. Anum arcus AB.
THEOREM A XLV. PROPOS. LI. SI puncto in quo diameter circulum secat, ex ipsa diametro dematur duplum sinus recti ar
cus Quadrante minoris , & ex termino lineae abscissae alius sinus rectus ducatur: arcuum inter sinus , & extremam diametrum interceptorum maior est ratio, quam dupli sinus ad sinum; minor autem quam dupli sinus recti, ad sinum versum arcuS minoris .
IN semicirculo ABC. sumatur arcus AB. a puncto A. in Io diameter AC. circulum secat, Quadrante, minor, & duo sinu recto BE. ipsius BE. a puncto A. sumatur dupla AF. Sc ex puncto F. ducatur FD. suus rectus arcus M. Dico mai rem esse rationemarcus M. ad arcum BA. quam redue FA.ad sinum
75쪽
c Curui ac recti proportio promota.
snum BE. minorem autem quam FA. sinum versum amcus DA. ad AE. sinum ver sum arcus AB. connectantur
- AB. CD. BC. & in chorda BC. sumatur BH. aequalis
3δ' i trum AC. perpendicularis ΗΚ. & connectantur HA. HG. ΗF. BD. Quoniam angulus ABH. in semicirculo rectus est , I rectus etiam HKA. ex hy- 0xo S pothesi , erunt puncta A. B. Η. K. in circulo. Igitur anguli BHA. BKA. in eodem segmento existentes aequales sunt Ised BHA. est semirectus nam sumpta sunt duo latera BA. BH. - Ι- aequalia igitur equales anguli B AH. BHA. & semirecti cum . , , , ABC. in semicirculo sit rectus. Igitur ΕΚΑ.est semirectus, ac . , proinde cum rectus sit angulus ΚEB. semireetns est ΚBE. ae- , qualia igitur sunt latera ΕΚ. EB. cum igitur AF. sit dupla i sus BE. ex hypothesi , id est,ipsius ΕΚ. erit reliquum AE. KF. aequale ipsi EK. Si igitur aequalia demantur AE. EG. remanebunt GK. KF. aequales. Cum igitur duo triangula ΗΚG. ΗΚF. habeant duo latera HΚG. HΚF. circa angulos rectos' ' aequalia , habebunt & angulos HGΚ. ΗΙΟΚ. aequales , ideO-i . 3. que complementa HGA. H FC. aequalia. Item quia CAE.r
elangulum aequale est Quadrato AB. est enim ut CA.ad BA ita BA. ad AE. ideoque proportionales sunt CA. BA. AE. , ό. AG. est d, la ipsius A E. ex hypothesi crit rectangiuum . 67- a- CAG. duplum Quadrati AB. sed AH. cst duplum Quadrati
AB. cum si t aequale Quadratis rectarum AB. BH. quae ponun-ι ὸ tur aequales ; igitur rectangulum CAG. aequale est Quadratoi . o. AH. Quare ut CA. ad AH. ita AH. ad AG. aequiangula igitur sunt triangula CA H. HAG. Igitur angulus AHG. angulo HCA. est aequalis. Cum vero ostensi sint aequales anguli
HFC. HGA crunt reliqui anguli HAG. CHF. aequales,aequiangulum igitur est triangulum HI C. triangulo HAG. scd
76쪽
triangulo HAG. ostensum est triangulum CA H. esse aequia angulum , aequiangula igitur sunt triangula ACH. ΗCF. . δIgitur ut AC. ad CH. ita CH. ad CF. aequale igitur actu ret. 6. Quadratum HC. rectangulo ACF. sed etiam rectangulum 84 ir. 6. ACF. aequale est Quadrato CD. aequalia igitur sunt Quadrata HC. DC. aequales igitur sunt rectae HC. DC. Quare cum recta BΗ. sit sumpta aequalis ipsi BA. & HC. ostensa sitaeo ualis ipsi CD. crit tota BC. aequalis duabus simul DC. ΒΑ.sed CD. DB.maiores sunt quam CB. Igitur sunt etiam 1 o. i. maiores quam CD.B .demptae igitur communi CD.remanebit DB. maior quam BA. Igitur arcus DA. maior est quam ut sit duplex arcus BA. dupla antem est m. ipsiusEB. maior igitur ratio est arcus DA. ad arcum AB. quam rectae in. ad rectam EB. Rursus quoniam arcus BA. est Quadrante minor maior erit ratio in. sinus versi arcus DA. ad AF. sinum versum arcus BA.quam DA. ad BA.
77쪽
N omni triangulo angulorum in- .a qualium, maior est ratio anguli maioris ad minorem,quam lateris oppositi maiori angulo , ad latus oppositum minori. IN triangulo ABG sit angulus B. maior angulo C.
Dico angulum B ad angulum CIa iiiisp. i. C.maiorcm habere rationem, de triangulis quam latus AC. ad latus AB. Nam ea est proportio lateris AC. adlatus AB. quae est sinus recti anguli B. ad sinum coroll. 1.28. rectum anguli C. At sinus rectus anguli B.ad sinum rectum λ h in M' anguli C. minorem habet rationem, quam angulus B. ad angulum C. Igitur latus AC. ad latus AB. minorem habet rationem quam angulus B. ad angulum C. ideoque maior
est ratio anguli B. ad angulum quam AC ad AB. Quod
78쪽
, LIBER II. c THEO REMA II. PROPOS. II.
SI ex trianguli angulo, in basim perpendicula
ris demittatur, ex angulis quos cum lateribus facit, maior ad minorem , minorem habet rationem , quam, aut maius segmentum basis ad minus , aut composita ex basi, & assumpta inter per
pendicularem , & basim , ad ipsam assumptam.
SIT triangulum quodcumque ABC. ex cuius angulo B.in basim AC. perpendicularis demittatur A D. quae cadat primo intra triangulum, faciatque cum lateribus angulus ABD.CBD. sitq; ABD. maior, DBC. minor. Dico ma- B iorem esse rationem A D. ad DC. quam anguli ABD. ad angulum DBC. Vt enim AD. ad DC. ita tangens anguli ABD. ad tangentem anguli DBC. at tangens anguli maioris ABD. ad tangentem minoris DBC. maiorem habet rationem,quam angulus maior ad minorem, Igitur AD. ad DC. maiorem habet rationem , quam angulus ABD.ad angulum DBC. Sit secundo triangulum ABC. obtusangulum ad C. statuatur AC.basis , in quam productam cadat perpendicularis BD. Dico maiorem esse rationem AD. ad DC. quam anguli DBA. ad angulum CBD. Sumatur enim ipsi DC. aequalis DE. &connectatur DE. Quoniam duo triangula circa angulos re- Ketos ad D. habent latera BD. DC.a qualia lateribus BD. DE. aequiangula erunt, &angu-gulus EBD. erit aequa lis angulo DBC. Cum igitur AD. sit
79쪽
s 8 Curui ac recti proportio promota .
tangens anguli DBA. &DE. tangens anguli DBE. maior crit proportio AD.ad DE. idest DC. quam anguli ABD. ad angulum EBD. idest CBD. Quod lecundo ostendendum
SI ex trianguli angulo, in basim perpendicula
ris demitatur, reliquorum angulorum maior ad minorem minorem habet rationem,quam maius segmentum ad minus. SIT triangulum ABC.in quo ab angulo ABC. perpendicularis demittatur BD. quae cadat intra triangulum, in basim AC. sitque angulus BAC. maior angulo BCA. Dico minorem efferationem anguli BAC. ad angulum BCA. quam CD.maioris segmenti ad DA.minus. Ducatur AF. Fparallela ipsi BD. quae occurrat protractae CB.in F. &ipsi AC.sit parallela BE. erit AE. tangens anguli EBA. idi δ' est anguli BAC. &EF. tanas. I. gens anguli FBE. id est an cguli BCA. posito nimirum eodem sinu toto BE. Et AE. quidem maior erit quam EF. cum angulus BAC. id est, EBA. ponatur maior, quam angulus BCA.i dost, EBF. 16.r.huius. igitur maior est ratio AE. ad EF. id est, CB. ad BF. id est, CD. ad DA. quam anguli BAC. ad angulum BCA. Quod probandum erat.
80쪽
SI in trianguli obtusanguli latus ex angulo
acuto demissa perpendieularis cadat extra triangulum, sitque anguli obtusi complementum maius reliquo angulo : maior erit ratio lateris, in quod cadit perpendicularis, cum assumpta inter latus & perpendicularem, ad assiamptam; quam anguli complementi,.ad reliquum angu
SIT triangulum ABC.obtusangulum ad C. & in protractum latus AE. cadat Perpendicularis BD. & sua matur DE. aequalis DC. ac connectatur BE. Dico maiorem esse rationem AD. ad DC. quam anguli BCD. qui complementum est obtusi ad angulum reliquum BAC. Rursus enim BED. BCD. anguli sunt aequales,ob ' latera BD. DE. aequalia lateribus BD. DC. circa angulum reditam. Igitur,ex praecedenti,maior erit ratio AD. ad DE. s. i. hilius.
id est, DC.quam anguli BEA. id est, BCD. ad reliquum angulum BAC.
SI xxj nguli angulum inaequalibus lateribus
contentum, bifariam diuidens recta in basim intra triangulum cadat s segmentum maius ad minus, minorem habet rationem,quam reliqum rum angulorum maior ad minorem.