장음표시 사용
111쪽
1 oo Curvi ac recti proportio promota.
33. 6, ad duos rectos id est arcus DH. CH. ma lorem habent ratio- δι- huiuβ- nem qua angulus sub minori basii DB.&maiori latere BA. ad angulum CBA. sub maiori basi BC.& maiori latere BA. contentum. hoc est quam arcus FG. ad arcum EG. & diu dendo maior ratio DC. ad CH. quam FE. ad EG. Denique in ijsdem triangulis , maior est ratio auguli c praehensi CAB. ad compraehensum DAB. id est arcus CI. ad arcum DI. quam complementi anguli CBA. ad eomplementum anguli DBA. ad duos rectos , id est quam angulus EBL. ad angulum FB L. id est quam arcus EL.ad arcum FI ut 13. huius demonstratum est, diuidendo, maior ratio CD. ad DI. quam EF. ad FL. Quod fuit ultimo loco probandum.
manifessum My. I Sisini duo circuli eccentrici quorum maior minor in contineat , semper contingere , ut dua recta ex minoris rem reo ductae , ex viroque circuis arcus abscindant, quorum eriterior inter miramuis rectorum , o semidiametram maioris circuli, in qua en centrum circuli minoris , compraehensus, maiorem rationem habeat, quam interior ad suum , ad complementum vero minorem. Nam in primis Auris I9. 22.2I- huius demonstratum ea flevetuo , maiorem esse rationem FE. ad EG. quam DC. ad CG. minorem vero EF. ad M. quam CD. ad DI. Ii em possis in duae rectae ex maioris circuli centro aemcta, arcus ex utroque circulo abscindant , semper exterioria arcum sui circuli virauis ductar m rectarώm, o semidiame-rro maioris circuli, in qtia non eis centrum minoris , compr hensum , minorem habet rationem, quam interior ad arcum ι eodem modo compraehensum. Nam in secundis Auris I9. ao a I. hui s probatum eis semper minorem se Oiuxem Q. Me
112쪽
3 Adhuc i fidem po tis , si duae rem ex maioris centro δε-nae aros ex utroqae circulo abscindant, qui comparentur cum arcnsus inter utramuis rectarum , se semidiametrum maioris circuli in qua eis centrum minoris , contentis: s quidem cen-rram maioris i intra circulum minorem , maior es ratio a
cus exterioris ab si ad sum arcum , quam interioris ad δε- ωm; si idem centrum s intra peripheriam minoris , eari es ratio arcus exterioris ab sor ad nnm arcum , quae interio ris ad suum: denique s idem centrum fueris extra ambitam minoris , arcus exterior abscissus ad suum arcam mihorem ha- έer rationem, quam interior ad suum. Probatum enim es in secunda figura I9. maiorem esse rationem FE. ad EG. quam DC. ad CH. In secunda a o. eandem esse rationem FE. ad m. quae DC. ad CH. Menique in secunda et I . minorem esse rationem FE. ad EG. quam DC. ad Cm
SI circulus circulum contineat, parallelae re
ctar lineae utrumque circulum secanteS, maio- res in interiori circulo proportione arcus compraehendunt quam in exteriori. Contineat circulus NS. circulum LM. & parallelar RT.
m. secent utrumque circulum , cxteriorem in T. S. interiorem tria LM. Dico arcum LM. interiorem dictis parallelis compraehensum , Proportionem maiorem esse arcu TS.compraehenso ijsdem parallelis in circulo exteriori. Connectatur QT. & OL. quae produc tur dum circulum exteriorem secet in L. manifestum est punctum N. cadere supra punctum I .ideoque lineas O QS.se se inuicem secare inter punct N. O.
113쪽
III Arallelarum rectarum, quae ex duobus puniactis diametri in circuli peripheriam ducuntur, quae perpendiculares sunt , maximum arcum comprehendunt,& reliquarum, quae perpendicularibus sunt viciniores maiorem quanta quae remotiores: Rectarum vero quae ex eodem puncto diametri utrinque circulum secant, perpendiculares minimum arcum subtendunt, reliquae autem eo maiorem, quo magis a perpendi
114쪽
1 o Curui ac recti proportio promota.
pendiculares ad AS. & duae BF. BG. viciniores dictis per pendicularibus, quam ΒΗ. CI. Dico arcuum qui dictis parallelis comprshenduntur maximum esse DE. hinc FG. m iorem quam HI.arcuum vero quos rectar CE. CG. CI. pro deuntes ex eodem puncto C. & productae in reliquam circumferentiam in puncta V.X. Z. subtendunt minimum es VAE.maximum ZCI.& XCG.maiorem quam VAE. Iteiri productis DB. FB. HB. in puncta T.Y. Κ. minimum esse arcum TAD.maiorem F. maximum KAH. Ducantur CM. CL. perpendiculares ad BF. BH. & secet CM. ipsam CIq. in R. Item ex centro S. ad easdem, perpendiculares SQ SO-x. secantes etiam rectas CG. CI.in punctis N. P. erunt etian δ' δ' anguli SNC. SPC.recti: minor igitur SN. quam SP. & SP. quam SC. Quare cum minor sit distantia chordae I CZ. a centro S. quam chordae GCX. & chordae GCX. minor qua 3 3- chordae ECV. maior erit ICZ. quam GCX. & GCX. quam '' -' ECV. Eodem modo cum minor sit So. quam SQI S quam SB. quae distantis sunt chordarum ΗΚ.FY.DT.a ccn- Schol. ira. tro S. maior erit ΗΚ.quam FY.& FY. quam DT. Igitur maior est arcus ZAI. arcu XAG. & XAG. maior ipso VCE. Ilcm maior est arcus KAH. ipso YBF. & YBF. arcu TBD. Quod secundo loco propositum erat. ry. r. Rursus quia in triangulo rectangulo CMB.maior est CB. is. quam C M.&CM.totum,quam pars CR.& CR. quam CL.
hoc est No ipsi CO. aequalis,dicterentiae sinuum versorum,
quarum maXime Vicina centro est No. remotior P 'emo-αρ. r. huius. tissma CB. ut paulo ante ostensum est , erit , ex 29. primi huius, minor ratio CB. ad PQ quam arcus DE. ad arcum
FG. Quare erit ut CB. ad minorem quam PQ id est quam
CM. ita arcus DE. ad arcum FG. maior autem est os cnsata. CB. quam CM. multo igitur maior erit CB. quam recta minor ipsa C M. ideoque maior arcus DE. quam arcus FG.A
que eodem modo cum maior sit M C. quam CL. id est PQUquam No. ostendemus arcum FG. esse maiorem arcu HI.
Quod primo loco propositum fuerat. SCHO-
115쪽
tionem arcus VAE. ad arcum TAD, quam arcus XAG. ad O arcum. SCHOLIV M. IN/elligenda essecunda pars lemmatis de arcubus minoribus semicirculo,nam si de maioribus firma sit manifesames a maiori chorda minorem arcum auferri, quam is minor n
ARςRV m , quos duae parallela: ex duobus
punctis diametri in circuli peripheriari ductae subtendunt, maximam habent inter se rationem quos perpendiculares , minimam quos remotissimae a parallelis subtendunt, si maiores cum minoribus comparentur, singuliques micirculo minores existant. IN figura superioris Lemmatis. Dico maiorem esse ra-
116쪽
i o 6 Curui ac recti proportio promota.
arcum Y AF. & arcus XAG. ad arcum YAF. maiorem, qua arcus Z AI. ad arcum KAH. Nam ut superiori Lemmatiostensuin est, minor est arcus TAD. arcu YAF. maior TV. quam XY. ideoque eius duplum TV.DE. simul maius s. s. quam XY. FG. simul. Igitur maior est ratio TV. DE. simul ad TAD. quam m. FG. simul ad YAF. & componendo , maior ratio VAE. arcus, ad arcum ΤAD. quam XAG. ad YAF. Atque eodem prorsus modo ostendetur maiorem esse rationem XAG. ad YAF. quam ZAI. ad ΚΑΙ . Quod
THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.
SI duo circuli sese interius contingant, atque
ex duobus punctis diametri communis dux
parallelae ducantur utrumque circulum secantes:duorum arcuum inter duas extremitates diametri, & parallelas compraehensorum , maior erit inter se ratio in interiori circulo , quam in ext riori, si maiores cum minoribus comparentur. Contingat se due circuli ABL. ADI. ille externus,hic in-
3 ternus, in puncto A. ex quo ducatur communis diameter A L. cuius extremitas in minori circulo sit . I. in maiori L. punctum, & ex duobus pundis C.F. in diametro sumptis ducantur dus parallelae CDB. FGE. secantes interiorem circulum in punctis D. G. exteriorem in B.
E.& auferentes ex utroque circulo duos arcus versus ext*rmitates I.& L. videlicet a cus DI. GI. in interno circulo, & arcus B L. EL. in externo. Dico maiorem esse rationem arcus DI. maioris ad minorem GI. quam arcus BL. materis ad minorem EL. Ducantur rectae AG.AD. & pro , ducam.
117쪽
ducantur , dum externum circulum secent in punctis M. N. manifestum est punctum M. cadere sub punctum E. cunia puncta G. E. sint in eadem recta FE. & cadat punctum M. sub punctum G. & punctum N. sub punctum B. maior igitur est arcus NA. arcu B A. & arcus M A. arcu EA. arcubus autem MA. NA. Proportione aequales sunt arcus GA. m. singuli singulis, ut constat ex Scholio a a. 3. Igitur arcus Mh l- ta, GA. proportione maior est quam arcus EA. & DA. quantia, BA. Cum autem aequales sint proportione semicirculi A L. Lemmate
Al. ablatis insqualibus AE. AG. remassent inaequales EL. :q, e .
maior GI. minor:minor igitur est ratio IG.ad GD. qua LE. 3. 1 ad GD. sed arcus LE. ad arcu GD. etia minorem habet rationem,quam ad arcum EB. qui superiori Lemmate probatus est minor arcu GD. Igitur minor est ratio IG. ad GD. quam LE. ad EB. & conuertendo, ac componendo, maior est ratio arcus DI. ad arcum GI. quam arcus B L. ad arcum EL. Quod fuerat dcmonstrandum . .
THEOREM A XXIV. PROPOS.oXXIV. SI sint duo Quadrantes concentrici, ac lateri
communi duς parallelς ducantur: arcus com- praesaensus aut latere, & una parallelarum ;aut utraque parallelas ad reliquum Quadrantis aracum magis a latere distantem, maiorem habet rationem in circulo interiori, quam in exteriori.
Sint duo Quadrantes ex eodem centro A. de scripti IFB.cXtern uS,LNO.internus, quorum commune latus AB. sc-cans externum in B. intcrnum in O.cui parallelae sint DC. FE. secantes reliquum latus in C.E. internu circulum in M. N. cxternum in D. F. sintque reliqui Quadrantis arcus magis a latere AB. distantes, interior NL.exterior FI. Dico ma-- N et iorem
118쪽
et o 3 Curuι ac recti proportio promota.
iorem esse rationem O N. ad Tun. niab. 4 NL. quam BF.ad FI .Item ma- iorem rationem MN. ad N L. aquam DF. ad FI. DucaturAN. quae producta secet e ternum circulum in G. erunt arcus N L. GI. proportion aequales, maior autem est FI. quam GI. Igitur arcus FI. proportione maior est, quam
N L. sed&ON. maior est proportione quam BF. & MN. proportione maior, quam DF. Quare cum maior sit proportione ON. quam BF.& NL.mi nor etiam proportione quam FL maior erit ratio ON. aclNL. quam BF. ad FI. Item cum maior sit proportione M N quam DF. & Nta minor proportione quam FI. eodem modo maior erit ratio MN ad NL. quam DF. ad FI. Quocifuit demonstrandum .
. THEOREMA XXV. PROPOS. XXV. ΓSὶ duo circuli sese interius .contingant; duae
rectar ex puncto utriusvis peripheriae, in quo
non sit contactus, circulum utrumque secant , arcus compraehendunt, quorum inrerior ad arcum inter cinia praehcnium, S extremitatem comunis diametri puncto contactus oppositam maiorem habet rationem quam exteriorvi .. Duo circuli ADI. AHL. contingant sese interius in princto A. sitque interior AH L. cxterior ADI. ac primum expuncto B. in interiori circulo, ducantur duae rectae BC. BD secantes interiorem circulum in punettis G. H exteriorem in punctis C. D. sitque communis diameter ALI. secans inte- riorem
119쪽
ri rem circulum in L. exteriorem in I. IP . o. terit arcus HG. compraehensus inter rectas BD. BC. in interiori circulo, DC. in exteriori; & arcus GL. contentus inter arcum H G. & punctium, seu extremitatem diametri L. puncto co tactus oppositam: arcus vero CI. contentus inter DC. & similem extremitatem in circulo exteriori. Dico maiorem esse rationem Ida ad GL. quam DC. ad CI. Ducatur per punctum G. recta AG. quae producta secet cxteriorem circulum in puncto F. Erunt arcus GL. FI. proportione aequales, maior autem est arcus CI. arcu FI. Igitur proportione maior est arcus CI. quam arcus GL. Sed & ptoportione maior est ar- MOLcus HG. arcu DC. Igitur cum maior sit proportione F . p Lenim quam DC. maior erit ratio HG. ad GL. quam DC. ad G L. Id s. vi S cum maior sit proportione CI. quam GL. maior erit rata ς' ς ai00sitio DC ad GL.quam DC.ad CI Igitur maior est ratio HG. FU 'ad GL. quam DC. ad CI. Idem eodem modo demonstrabitur si punctum B. sumatur in exteriori circulo. Quare si duo circuli sese interius contingant &c. Quod erat demonstrandum .
ini THEOREM A XXVI. PROPOS. XXVI.
Si fuerint quatuor anguli proportionales sin
guli minores recto, ac primus maior secundo, ac tertios maior erit ratio tangentis primi, ad tangentem secundi, quam tangentis ter iij, ad tangentem quarti . Sint duo anguli quicumque minores recto CDA. DBA. item duo alii quicumque CFA. O in . sitque ΗDC. maior
120쪽
i 1, Curui ac recti proportio promota.
CFA. ad OFA. Dico maiorem esse rationem tangentis anguli CDA. ad tangentem anguli BDA. quam sit tangentis anguli Cin. ad tangentem anguli Ora. Contineat angu- Ius CDA. minorem BDA. & ex quolibet puncto Q rectar DC. ducatur CH. perpendicularis ad DA.fiatque angulus I CF.aequalis complemento ipsis CFA. erit
CFA. angulus tertius, qui cadet sub . punctum D. cum sit minor quanta ADC.& contineat angulum quam tum minorem AFO.& di stantia FC. describatur circulus FCA. secans priores lineas in C. O. B. A. & connectatur FB. quae secet CIq. in N. & DB. secet eandem in M. Item FO. secet eandem in P. cadet punctum O. inter B. & C.& punctum P. inter N. & C. Nam cum triangulaCFD .BFD.habeat circa angulos inaequales CFD. BFD. duo latera CF.FD. duobus lateribus BF. FD.aequalia vir que utrique,in eodem vero triangulo inaequalia; maior erit ratio CFA. ad BFA. quam CDA. ad BDA. ideoque habebit angulus CFA .ad aliquem angulum maiorem ipso CFB. eandem rationem, quam CDA. ad BDA. Igitur angulus AFO. ad quem eandem proportionem habet, est maior, quam AFB. cadet igitur punctum O. inter.B. & C. & punctum P. inter N. & C.,Iam dicta perpendicularis CIq. erit tangens tam anguli CFA. quam anguli CDA. recta NB. tangens anguli BFA. MΗ. tangens anguli BDA. PH. tangens anguli OFA. constat punctum N. cadere inter M.& C. item ostensum est punctum P. cadere inter N. C. quare multo maior est PH. quam MFl. Igitur maior erit ratio CH. tangentis anguli CDA. ad MΗ. tangentem anguli BDA. posito sinu toto DH. quam CIq. tangentis anguli CFA. ad PH. tangentem anguli OFA. posito sinu toto PH.