장음표시 사용
161쪽
- rationem Arithmeticam. Quoniam tres magnitudines AB.DE. GH. sunt in proportionalitate Arithmetica, erunt AB GH. duplo ipsius DE. aequales ut ostendemus in secuenti Scholio) item BC. HI. si- Imul duplae erunt ipsius EI.&CN. I P. ipsius FO. Igutur omnes simul AB. G H. BC. HI. CN. I P. id est tota AN. & tota GP. crunt simul duplar.omnium DE. EF. FO.id est toti DO. Igitur in ratione Arithmetica sunt AN. DO. GP. ut sequenti Scholio probabimus. Sed contineat qua libet series magnitudines plures tribus ut prima contineat magnitudines AB. DE.GH. KL. secunda magnitudines BC. EF. HI. LM. tertia magnitudines CN. FO. I P. Min Habeantque AB. DE. GH. X L. rationem Arithmeticam continuam, ut & alia series, singulae eandem, aut pe c liarem. Probabimus eX prima parte huius propositionis, tres AN. DO. GP. esse in proportionalitate Arithmetica. Rursus ex eadem ostendemus, tres magni tudines DO. GP. ΚQcesse in ratione Arithmetica. Igitur ex definitione, ipsarum AN. DO. & DO. GP. eadem est differentia. Item ipsarum DO. GP. & GP. Κ eadem est differentia: Quare aequales sunt differentiae magnitudinum AN. DO. GP. Κ Sunt igitur in continua ratione Arithmetica . Quod erat demonstrandum. aT
Vod vero duae magnitudines AB. m. sini dulae ipsusT E. Ur reliqua quae in propositione supponantur veraAnta
162쪽
x 1 o Cu rui ac recti proportio promota.
sint, demonstrauit prae caeteris luculentissime Clodius Caspisγ chetas , vir non in mathematicis solum, sed in omni genere literaturae vel antiquis conferendus in absolutis is com mentardis quae in Diophantum edidis, cuius aliquot propo=ι nes quia in nostris operibus Uuueniens , a numeris ad quis libet quantitatem transferemus , ut ijs consulamus Pibus Io re nobilissimus hic author non innotuit.
DEFINITIO. P Roportio Arithmetiea e B cum in tribus aist quatuor funumeris seu magnitudinibus eiusdem generis , eadem , aui nulla es di erantia primae, o secundae, quae sicundaeo tertiae; aut quae tertiae se quartae : ita tamen vis primi
cum secώnda comparetur ac secunda cum tertia ,aut tertia camqvaria gulae singulis vel aeqkales vel maiores vel minores exi nant. dem vero proportio sin tribus terminis comat μεσήτυ seu medietas ac anologia sin quatuor analogia tantum ac proportionalitas Arithmetica dicitur. Euod vero id nominis non tantum quantitati discretae ined etiam continuae tribui possI,am thorem habemus praeter alios luculenium Panum Alexandrinuqui libro 3. collecI. mathem. illud in quantitate continua
SI fuerit eodem differentia primae magnitudi
nis ad secundam quae tertiae ad quartam, seus si fuerint quatuor magnitudines Arithmetice proportionales ; summa ex extremis conflata crit mediarum summae aequalis: & si extrema simul sumpta fuerint aequalia medijs simul sum ptis, erunt dictie magnitudines Arithmetice proportiouales.
163쪽
IJ ISINT quatuor magnitudines AB.CD. EF. GH. sitque eadem differentia AB. &CD. quae EF. & GH. quod est esse Arithmetice proporti nates Dico duas AB. GH. simul duabus CD. EF. esta A.
aequalis, cum nulla sit diffe- Ε, i Frentia inter AB.& CD.etiam nulla erit inter EF. G H. ex G --,-. Hsuperiori definitione, aequa- lites igitur sunt EF. GH. Si igitur arqualibus AB. CD.addantur aequaIes EF.GH. nempe GH. ipsi AB. & EF. ipsi CD. erunt AB.GH. simul aequales ipsis CD. EF. simul. Quod primo probandum erat. Sit secundo maior AB. quam CD.quorum differentia sit 1B. & duarum EF.GH.differentia sit ΚF.manifestum est AI. CD. esse aequales cum ab ijs pars IB.qua differunt sublata sit et Item
EΚ. GH.ob eandem rationcm sunt aequales : aequales autem etiam sunt IB. KF. ex hypothesi . Igitur exprima parte huius erunt duae AI. GH. duobus CD. EH. mquales, quibus si addantur aequales IB. KF. erit tota AB. cum GH. aequalis toti EF. cum CD. Quod secundo loco erat ostendendum. Tandem in uertatur ordo magnitudinum; ita ut prima sit GH. secunda EF. tertia CD. vltima AD. eodem prorsus d monstrandi modo ostendemus duas GH. AB. duabus ERCD. esse aequales. s a
Sed sint duae magnitudines AB. GH. ipsis CD. EF. ae quales. Dico, differentiam AB. & CD. esse eandem dii. serentiae EG
164쪽
i 1 α Curui ac recti proportio promota.
ferentiae EF. & GH. seu quatuor AB. CD. EF.GΗ. esse Arithmetice Aproportionales. Sint rursus primo caequales AB.&CD. Quoniam a Equales sunt AB. GΗ. ipsis CD. EF. si aequales auferantur AB. & CD. remanebunt aequales EF. GH. nulla igitur est differentia inter EF. GH. sed Mnulla est inter AB. CD. Igitur ex supcriori definitione Arithmetice proportionales sunt AB. CD. & EF. G H. Sit vero maior magnitudo AB. magnitudine CD. excessu IB.&sint aequales AB. GH. simul ipsis CD. EF. simul rerunt igitur AI. CD. sublata differentia IB. aequales. Quare, si ex aggregatis AB. GH .il' , ι&CD. EF. quae supponuntura qualia, auferantur aequales, lillinc AI. hinc CD. remane- -ν Dbunt IB.GH. ipsi EF.aequales. E - - FRursus detracta ΕΚ. aequali -- Lipsi G H. ita ut supersit ΚF. si
ex aequalibus IB. GΗ. & EF. auferantur aequales ΕΚ. GH. remanent IB. KF.aequales , est autem KF. differentia ipsaruEF. GH. Igitur IB. differentia primae,& secundae, aequalis est ipsi KF. differentiae tertiae & quartae,sunt ergo , eX definitione praecedenti AB. CD. EF. GH. Arithmetice proportionaleS.
Sed sit minor prima magnitudo GH. quam secunda EF. excessu ΚF. &sint aequales GH. AB. ipsis EF. CD. erunt igitur GH. ΕΚ. aequales. Quare si ex aggregatis aequalibus G H. AB. & EF. CD. auferantur aequales illinc GH. hinc ΕΚ. remanebunt ΚF. & CD. ipsi AB. aequaleS . Iterum sumpta AI. aequali ipsi CD.erit IB.disserentia ipsarum CD. AB. Quare si ab aequalibus ΚF. CD. & AB. auferantur m quales, illinc CD. hinc AI. remanebunt, ut prius, dis rentiae KF. IB. aequales, ideoque erunt praedictis quatuor magnitudines Arithmetice proportionales. Quod crat ultimo loco demonstrandum. Si .
165쪽
SI fuerint tres magnitudines in medietate Arithmetica: erit prima cum tertia dupla secundae . Et si prima cum tertia fuerit dupla secundar, erunt tres magnitudines in medietat
SINT tres magnitudines A. C. E. in medietate Arithmetica. Dico duas A. E. ip sius C. esse duplas. Accipiatur G. aequalis ipli. C. Erit ipsa OA rum A. C. & C. E. eadem differentia , sed ipsarum CE. & ce G. E. etiam eadem est differentia , ergo ipsarum A. C. & ipsarum G. E. est eadem dii --rentia. Igitur per praeceden'. tem duae A. E. simul duabus, l. C. G. simul sunt aequales: sed C. G. simul sunt duplae ipsius C. cum inuicem sint aequales C. &G. ergo A. E. ipsius C, sunt duplae. Quod effcere prim' loco VolebamuS. Sed sint A. E. duplar ipsius. C. Dico tκ4 magnitudines A. C. E. esse an medietate Arithmetica. Sumpta snim rursus G. aequali ipsi. C. Cum A. Et sint duplar ipsius. C. erunt duabus C. G. aequales. Igitur per praecedentem , erunt quatuor A. C. G. E. ides: A. C. C E. in proportione Arithnaetica, ideoque A. C. E. in medietate Arithmetica. Quod secundo loco probandum fuerat. Priorem patrem huius propositionis aliter demonstrat Clauius Schol. in I 7. 6. propositione I. ,
166쪽
1s Curui ac recti proportio proi nota. III.
SI sint quodlibet magnitudines iis proportione
Arithmetica continua, extremae simul sumptae aequales sunt duabus ab extremis aequaliter remotis, & duplo mediae in multitudine magnitudinum impari.
Sint quotlibet magnitudines A.B. C. D. E. multitudine, impares aequaliter differentes, seu in proportionalitate Arithmetica continua. Dico extremas A. E.esse aequales ipsis B.D. quae ab extremis aequaliter remouentur &tam A. E simul λι-----.
quam B. D. simul, esse duplas ip- sius C. Nam cum sese aequali B ---- excessu superent A. B. & D. E.eX c iahypothesi & definitione ue erunt A. E. ipsis B. D.aequales,per pria Dmam huius Scholij: & quia B-C- Ε - D. sunt Arithmetice proporti nates,etiam ex hypothesi, erunt B. D. ipsius C. duplae, per secundam huius Scholij. Sed duabus B. D. aequales sunt duae
A. E. Duplae igitur suntdive A. E. mediar. C. Quae omnia erant demonstranda.
I quatuor magnitudines fuerint Arithmeti
ce proportionales, etiam conuertendo crunt Arithmetice proportionales. V. SI enim quatuor magnitudines fuerint Arithmetice proportionales, aut superabunt prima secundam & tertia quam tam eodem excessu, aut ab ijs deficient,aut prima, & secunda , item secvada & tertia erunt aequales. Si prima superet
167쪽
secundam eodem excessu quo tertia quartam, secunda eo dem defectu deficiet a prima quo quarta a tertia, eadcm enim est differentia qua minora maiori deficit, & qua maior minorem superat.Igitur ex definitione huius Scholij,secunda ad primam, & quarta ad tertiam eandem habent ratione Arithmeticam .,Si prima eodem defectu deficiat a secunda quo tertia a quarta , secunda eodem excessii superat primam, quo quarta tertiam. Atque ita rursus habebunt secunda ad prima,& quarta ad tertia proportionem Arithmeticam . Denique si prima & secunda, item tertia & quartata sint aequales, constat nullam esse differentiam inter secunda& primam, item nullam inter quartam & tertiam et Quare secunda ad primam, & quarta ad tertiam habebunt proportionalitatem Arithmeticam, ex eadem definitione. Quod
SI quatuor magnitudines fuerint Arithmetice
proportionales,& vicissim erunt proportionales .
Haec propositio demonstratura Federico Commandino , & Christophoro Clauio Lemm . in 8 o. proposit. lib. Io. elementorum : sed breuius hoc
modo. SINT quatuor magnitudines A. B. C. D. Arithmetice proportionales. Dico quod per mutando A. ad. C. S B. ad D. ha Ahent rationem Arithmeticam. Naquoniam A. B. C.D.sunt in ratione Arithmetica,erunt per primam partem primae huius Schol ij, extremae A. D. medijs B. C.ce-qualas. R ursus statuantur es in magnitudines ordine per-
168쪽
rs 6 Curtii ac recti proportio promota.
mutato A. C. B. D. erunt m dem extremae A. D. ijsdem in dijs C. B. aequales. Igitur per secundam partem primae pro bpositionis huius Scholij erunt A. C. B., D. in ratione Ariti, metica. Quod erat probandum . .: .
b. THEOREM A VIII. PROPOS. VIII.
SI sint quotcumque magnitudines & aliae ipsis
equales a umero quae binς iii eadem 'ratione Arithmetica sumantur, & ex aequalitate ii
169쪽
EG. HT. & OQI S. sunt in ratione Arithmetica erunt diL ferentiae FG. P equales: ipsi autem FG.est aequalis CB. &ipsi PQ aequalis LM. Si igitur aequalibus DC. MN. a quaales addantur CB. ML. erunt totae DB. N L. aequales; est au tem ostensa DB. differentia primae AD.& tertiae H T.& N L. differentia primae IN.&tertiar RS. in secundis magnitudibus. Igitur AD. HT.& l N. RS. habentes aequales diffsrentias DB. N L. ex definitione sunt in ratione Arithmetica. Sed sint plures magnitudines tribus,ita ut sint etiam HT:&V.& RS. X. in proportione Arithmetica. Dico adhuc AD. V. & IN. X. eue in ratione Arithmetica. Ipsarum ea nimHT. V. differentia sit.YT. cui aequales sumantur FZ. ΒΚ. & ipsarum I S. X. differentia sit r S. cui aequales sumantur P Δ.L A. Eodem modo quo in prima parte huius propositionis probabimus DK.& NA. esse differentias ipsarum AD. V.& IN. X. easdemque esse inter se aequales. Igitur A D. V. & IN. X. erunt in ratione Arithmetica. Quod demon stratum csse volebamus.
THEOREMA IX. PROPOS. I X. Si sint quotcumque magnitudines in ratione
Arithmetica , δί totidem aliς sumantur quς eandem cum illis proportionem Geometricam habeant, singulae ungulis : habebunt etianti
posteriores rationem Arithmeticam.
SINT tres magnitudines DA. CA.BA .in ratione Arithmetica & ut DA. ad CA. ita GP. ad FP.& ut CA. ad BA. ita FP. ad EP. Dico etiam GP. FP. EP. cfie Arsthmetice proportionales . Cum enim sit ex hypothesi vi DA. ad AC. ita GP. ad PF. erit diuidendo ut DC. ad CA. ita GF. ad FP. Rursus cum sit v t CA. ad AB. ex hypothesi ita FP. ad PE . erit per conuersionem rationis ut CA . ad CB. ita FP. ad FE
170쪽
1 Curvi ae recti proportio promota.
Quare ex aequalitate, erit ut DC. ad CB. ita GF. ad FE.sed CD. CB. sunt differentiae triuquantitatum AD.AC. AB. vi- in. delicet CD. ipsarum AD. AC.& BC. ipsarum AC. AB.ha- A
bentium rationem Arithmeticam ex hypothesi et aequales P igitur sunt DC.CB. ex definitione , aequales igitur etiam . GF. FE. eandem cum illis ra- 'tionem habentes: Sed etiam FG.FF. sunt disierentiae trium magnitudinum PG. PF. PE. nimirum FG. ipsarum PG. PF.&EF. ipsarum PF. PE. Igitur etiam tres magnitudines PG. PF. PE. sunt in ratione Arithmetica. Sint vero plures magnitudines tribus A D. AC. AB. AH. in ratione Arithmetica & sit praeterea ut BA. ad HA.ita EP. ad I P. Dico etiam GP. FP. EP. I P. habere rationem Arithmeticam. Nam cum sint tres magnitudines CA. BA. HA. in ratione Arithmetica quibus Geometrice proportionales sunt tres FP. EP. I P. constat ex prima parte huius propositionis differentias HB. BC.tum inter se tum d ifferenti js I E. EF.esse aequales , aequales autem sunt BC. CD. & EF. FG.exprima parte iturus. Quare tres differentiar IE.EF. FG. a quales sunt , ideoque quatuor quantitates GP. FP. EP. I P. r tionem Arithmeticam habent. Quod erat,&c.
SI prim ae quantitatis ad secundam ratio coi
ponatur ex ratione terti ad quartam;& quin-tς ad sextam e erit ut prima ad secundam, ita tertia ad aliam ad quam quarta candem rationem habeat quam quinta ad sextam. THEO-