장음표시 사용
171쪽
Sit ratio A. primae ad B.secundam composita ex rationibus C. tertiae ad DH. quartam, & E. quintae ad F. sextam. Fiat ut E. ad F. ita DH. ad alia . ill quampiam DG. Dico esse ut A. ad B. ita C. ad Da Ratio Θ, . enim A. ad B. composita est ex B μratione C.ad DH.& E.ad F.sed C , ut E.ad F. ita C. ad DG. ex hypotesi, ergo ratio A.ad B. com-
ponitur ex ratione Gad DH.& E -- DF .ad DG. Ergo, Vt A.ad B. e sita C.ad DG.Quod demonstr oportuit.
COUM etiam ,positis quae in propositionr , es ut primam ad secandam ita quintam ad aliam is quam in sextave sertia ad quartam. Nam quoniam rario A. ad B. composta est ex rationibus C. ad DH. se E. adF. erit sine discrimine composta ex rationibus E. ad F. o C. ad DH. eritque E. terna quantisas , ct F. Paria C. quinta ΠΗ. sexta M-betque DΗ. sexta ad DG. eandem rationem suam E. tenta ad A quartam. Eo autem osten π esse ut AE ad B. ira C. aut DG. Igitur me prima A. ad secundam B. ira quinta C. ad BG. ad uamDH. sexta ita se haber ut E. tertia ad qua ram F.
THEOREM A XI. PROPOS. XI. S I primae quantitatis ad secundam ratio corru
i ponatur ex ratione tertiae ad quartam,& quintae ad sextam.: eiusdem primae ad secundam ratio componetur ex ratione terris ad sextam , quintae ad quartam in Sit
172쪽
et co Curvi ac recti proportio promota
Sit ratio primae quantitatis A.ad secundam B. composita ex ratione tertiae C.ad quartam D. & quintae E. ad sextam .p.sintque ordine ut sex datae magnitudines inter se,ita linea A.B.C.D. E.F. Fiat ex duabus C. rectangulum GHI. ex duabus DF. rectangulum LI M.tta vi GH.HI.ipsis C.E.& ΗM. HL. ipsis DF. sint aequales erit ratio rectanguli GI. ad re-
sita ex rationibus GH. ad HM. id est C. ad D.& IH. ad HL. id est E. ad F. Sed etiam ratio
ex ijsdem rationibus C. ad D. & E. ad F.eadem igitur est ratio A. ad B. rationi rectanguli GI. ad rectangulum LM. at vero ratio re anguli GI. ad rectangulum LM. etiam componitur eX ra tione GH. ad HL. id est. C. ad F. & ΙΗ. ad HM. id est E.ad D. Igitur etiam ratio A. ad B.componitur ex rationibus C. ad F.& E. ad D. Vt autem lineae A.B.C.D. E. F. ita ponuntur magnitudines A.B.C.D.E. F. Igitur magnitudinum A.
D.E. Quod intendebamus probare. Π . ..
SI p ximae quantitatis ad secundam ratio com
ponatur ex ratione tertiae ad quartam,& quiruta . ad sextam: etiam conuertendo ratio secula' dae ad primam componetur ex ratione sextae ad quintam,&quartae ad tertiam. la
173쪽
Sint omnia quae superiori propositione . Dico rationem B.ad A.componi ex rationibus F.ad E.& D.ad QErit enim conuertendo ut rectan- Igulum LM. ad rectangulu GI. ita B. ad A. est
autem ratio rectanguli LM. ad rectangulum GI. composita ex ratio
THEOREM A XIII. PROPOS. XIII. Si primae quantitatis ad secundam ratio com
ponatur ex rationibus tertiae ad quartan ,& quintae ad sextam : etiam ratio tertiae ad quartam componetur ex rationibus primae ad secundam , & sextae ad quintam.
H A BEAT A. prima ad B. secundam rationem compO- sitam ex rationibus. C. tertiae ad D. quartam, & E. quintae ad F. sextam. Dico rationem μ' E FC. ad D. componi ex rationi- - -
bus A. ad B. & F. ad E. Fiat enim vi E. ad F. ita D. ad G. QCum proportio A. ad B. sit . composita ex ratione C.ad D.& E. ad F. id est D. ad G. pro- G ,--δ . portio autem composita ex ra- IX tione
174쪽
16 1 Curui ac recti proportio promota.
tione C. ad D. & D. ad G. eadem est quae C. ad G. Nam totum suis partibus simul sumptis aequale est erit ut A. ad
B. ita. C. ad G. Rursus cum assumpta sit inter C. D. tertia G. Schol. in erit ratio C. ad D. composita ex rationibus C. ad G.& Gad. fu F-ο- D. sed ut C. ad G. ita A. ad B. & ut G.ad D cita F.ad E. cum enim posita sit D. ad G. vi E. ad F. crit conuertendo ut G.ad D. ita F. ad E. crit ratio C. ad D. composita ex rationibus A. ad B. & F. ad E. Quod demonstrare oportuit.
THEOREM A XIV. PROPOS. XIV. SI duorum rectangulorum ratio componatur ex rationibus primae rectae ad secundam, &tertiae ad quartam, rectangula sub prima &tertia, & sub secunda & quarta, erunt datis re9angulis proportionalia. . . D V O R V M rectangulorum E. F. ratio componatur ex rationibus A. primae ad IM
secundam B. & C.tertis ad quartam D. fiatque rectangulum G I. sub rectis G H. HI. aequalibus primae A. & tertiae. C.&rectangulum LM. subrectis I M. HL. aequalibus secundae B. quartae D. Dico rectangula GI. LM. ipsis E. F. esse proportionalia. Rectangula enim GI. LV. habent rationem compositam, ex ratione laterum GH. HM. id est A. B. & ratione laterum ΙΗ. HL. id est C. D. sed etiam rectangula E. F. habent rationem commpositam ex rationibus A. ad B & C. ad D. igitur ratio rcta guli E. ad rectangulum F. composita ex ijsdem rationibus cx quibus ratio rectanguli GI. ad rectangulum LM. eadcin .
175쪽
est quae rectanguli GI. ad rectangulum LM. Quod probandum susceperamus.
THEOREM A XV. PROPOS. XV. SI duorum rectangulorum ratio componatur ex rationibus primae rectae ad quartam, Qtertiae ad secundam e rectangula sub prima & tertia, & sub secunda & quarta erunt datis rectaugulis proportionalia.
D V O R V M rectangulorum E. F. ratio componatur ex rationibus A. primae ad D. quartam,& C.tertiae ad B.secundam, fiatque rectangulum GHI. sub rectis GH. HI quae primae A. & tertiae C. sint aequales, & rectangulum LIqM. subrectis I H. HM. quae B. secundae & D. quartae sint aequales. Dico rectangula GI. LM. rectangulis E. F.esse proportionalia. Rectangula enim GI. LM. habent rationem compositam ex ratione G H. ad HL. id est A. ad D. &ex ratione IIJ. ad HM. id est C. ad B. sed etiam rectangula E. F. ponuntur habere rationem compositam ex rationibus A. ad D. & C. ad B. Eadem igitur est ratio rectangulorum GI. LM. & rectangulorum E. F. Quod a nobis probandum fuerat.
P Tolemaeus lib. r. magnae eonctructionis capite apud Theone, es Trape antium I 2. apud Ramholdum undecimo, regulam , quam vocant sx quantitatum, ingeniose admodum , Urcliqua omnia , excogitauis :, qnae non iam in demonstrarioniabus sphaericis , sd etiam Geometricis magnum momentum DILnere potesῖ ut exsequentibus patebit. Cum tamen harum quantitarnm plures connexiones e coniugationes es pessint, ipse ultra aereas progresese s non eis, quarum alteram vocat κα- τα νωισὶν, suscundum compositionem, alteram κατα
176쪽
i 6 4 Curtii ac recti proportio promota.
id eis, sicundum diuisionem. Primae huiusmodi ea apud Theonem, ex versone Io.Baptistae Portae , vi quidem reor non admodum bonam ;Si in duas rectas finitas angulum continentes, ab emremis producantur dua rectae secantes se inuicem , se quae angκlam continent , ratio unius rectarum , qυ ὐ principio angulum centinent , ad ipsam qua intercipitur ad angulum a producta,con- iuncta eis , ae componitur, se ex rarione prodi Lia ab extremo Hriu renae , sir interceptae usus excessus alterius producta, ad alteram rectam continentium angulum , o praeterea ratione interceptae , se a sectione productarum ad rerminum alterius angulum continentium , o Vsus productae. Sed breuius , se clarius Regiomontanus Epitomatis lib. I, propositione nona. Si a terminis diarum linearum ab angulo aliquo descen-ἀentium , duae lineae sese secantes , seper defendentes mutuo res ae fuerint e erit lineae descendentis ad partem suam supe- norem proportio, ea duabus proportionibus , quarum una es a termina halus descendentis reflexae , ad pariem eius supra sectionem , alia est partis infra sctionem alterius reflexae , ad
totam eandem referam composta. Εκθε σιν ac δε-ισμον habent Ptolemaeus , se Theon quae intelligi nonpossunt ne ocώlari inscctione diagrammatis, magis ad a-musim Regiomonianus. Ab angulo A. descendat duae lineae AB. .a termInis earum B.G. ae resectantur mutus si
per defendentes , quae pni TE. GD. x cantes se in Z. Dico quod proportio GA. ad AE. csimpo Ia es ex duabus scilicet proportione GD. ad DZ. ct B
- ῶ. D catur per ρα I E. linea EI. aequi dictans lineae GD. Euoniam igitur lineae GD. EI. sunt quid stantes , rario laneae . s. GA. ad AZ- eadem est quae lineae GD. ad lineam EI. Amtimae
177쪽
ior duum de is linea O. Erit igitur composita ratio linea
. ad lineam EI. ex ratione . ad tineam nZ.-or ex ratione linea ,
BZ. ad lineam ELGare se ratio linea GA. ad lineam AE. composita es ex ratione lineae GD. ad lineam DZ. se ex ratione linaea Da. ad lineam EI. En aurem o ratio Iinoae DX. ad EI. eadem rationi linea ZR. ad lineam M. e mquidictores ni lineae EI. o ZD. Ratio igitar lineae GA.ad lineam AE. composita exlas ex ratione lineae GD. ad lineam DZ. o ex ratione lineae ZE. ad lineam M. God erat δε- mon Irrandum . Eodem modo demonstrabitur quia es scundae, Qui nemratio lineae GE. ad lineam EA. composia in eA ratione lineae . HZD. or ex ratione linea DE. ad SA. Dacta per A. punctum lia Anea M. aequidis ante lineae EB. orprotracta in eandem GDI. Rufus enim quoniam linea AI. quid, nses lineae EZ. es scut GE. ad EA. Sic . ad ZI. Assumpta aurem dein foris linea ZD. ratio lineae in. ad
ZI. componitur ex ratione lineae Ga.
ad lineam ZD. o ratione linea Da. ad lineam ZI. o autem ratio lineae DX. ad lineam ZI. e dem quae es ratio DB. ad BA. eo quo in aequidinantes lineas AI. o ZB. ductae fini lineae SA. O ZI. diu ire ratio linea GZ. ad lineam ZI. componitur ex ratione seneae GZ. ad lineam ZD. or ex 'ratione ianeae DB.ad lineam EA.Porro ratio lineae .ad EA. eadem en quae lineae in. ad lineam XI. Ergo ratio lura . ad lineam EA. componitur ex ratione tineae GZ. ad lineam
178쪽
tς ς Curui ac recti proportio promota.
o. se ex ratione linea DP. ad lineam O. Euoddemonstram
Hacrenus Ptolemaeus a sed recte admonet Rainholdus poΗTseonem coniugationis συνθεσιν quadruplicem es e vari tate, κατιε διαιρεσιν, duplicem. Nam secundum compositionem,aus tota linea exterior confertur ad partem superiorem versas angulum, aut ad partem inferiorem ab angulo; aut tora intorior confertur ad partem vel superiorem, vel inferiorem . secundum diuisionem, tam exterioris, quam interioris pars inferior ad superiorem refertur. uibus omnibus gulae ανα παλιν seu conuersm respondent. Vt exterior GA. confertur aut cum AE. aut cum EG. se tota interior , . aut cum DX. aus cum . aut exterioris pars inferior GE. ad siveriorem EA. aut interioris pars inferior GZ. ad siveriorem ZD. se conuertendo . Singali aurem casus demonsZrantur direm quidem a Theone , etiam conuersi a Rainkoldo. Nempe I. Ratio GA. ad AE. componi se ex ratione GD. ad DZ. oo. ad BE.2 Ratio AG. - . componitur ex ratione o. ad DB. se . ad ZE.
rum 36. mydorum occtodecιm, esse reliquorum conuenentes,
Modi autem necessarii in sex qu, buslibet quantitatibus in quibus primae ad secundam ratio componarur ex rationibus rertiae ad quartam, se quin a ad Iam. hac tabula continenIur. Tabula
179쪽
XI V. X V. . XVI. XVII. XVIII. I. ad a. ex 3. ad A. & s. ad 6.
Ηorum autem modorum primum Ptolemeus in prima Gm- iugatione sex praedictarum quantitatum i septimum, octauum, Undecimum , decimum septimum Ramhoidas 3 reliquos omnes nos al quando totidem theorematis demon auimus , nunc,
quod mirum videri posit, o blari posse quis credat omnes sequenti propositione complexi sumus.
180쪽
16 8 Curui ac recti proportio promota THEOREM A XVI. PROPOS. XVI.
DAxis sex quantitatibus quarum primae ra
tio ad secundum componatur ex ration bus tertiae ad quartam, & quintae ad se tam; omnes modos necessarios, quibus ratio duarum quarumlibet, ex aliarum rationibus componutar, demonstrare.
Sint datae sex quantitates. A. B.C.D.E.F. in quibus ratio A. primae, ad B. secundam, sit composita ex ratione C.tertiς, ad D. quartam, & E. quintae, B, II ad F. sextam ; propositum sit demonstrare,proportiones sex illarum quantitatum , Octodecim modis, quos in tabulam Σ -- Vsuperiori scholio redegimus, N UIdirecte,totidemque conuersim componi posse. ι. Quoniam ratio A.ad B.componitur ex ratione C.ad D.&E. ad F. per primum modum datum, etiam ratio C. ad D. componetur ex ratione A. ad B.& F.ad E.qui undecimus modus est. Item quia ratio A. ad B. componitur ex rationibus E.ad F.& C.ad D.etiam ratio E. ad F. componetur eX rati ne A. ad B.& D.ad C. qui est modus decimus septimus, atq; ita existunt tres modi in quibus ratio
A. B. C. D. E. F. C. ad D. ex ratione A. ad B. &F. ad E. E. F. A. B. D. C.
17 componitur ; Iam vero in unoquoque horum modorum seX magnitudines pro ordine quem obtineat ordinalibus numeris