장음표시 사용
181쪽
numeris insigniantur; ita ut in primo sit A. prima quantitas, B. secunda, C. tertia, &c. In secundo C. prima, D. secuti da, A tertia B. quarta F. quinta E. sexta, atque ita in reliquo , E. prima, F. secunda &c. Quoniam ratio A. ad B.componitur ex rationibus. C. ad D. ex E. ad F. etiam ratio A. ad B. componetur ex ration ibus C. ad F.&E. ad D. qui se 'in μ' η'cundus modus est; praeterea quia rati C. ad D.componitur exeationibus A. ad B. & F. ad E. etiam ratio C. ad D. com-i iuuiuui . ponetur ex rationibus A. ad E. &F. ad B. qui duodecimus modus est. Adhaec quia ratio E. ad F. componitur cκ rati nibus A. ad B. & D. ad C. eadem ratio E. ad F. componetur M M s.
ex rationibus A. ad Q&D. ad B. qui est modus decimus
A. B. C. F. E. D. a C. ad D. ex ratione A. ad E. & F. ad B. 12 E. F. A. C. D. B. a 8 Rursus in unoquoque horum modorum sex magnitudianes pro ordine quem habent ordinali numero affectae intelli gantur. Quoniam ratio A. ad B.constat ex rationibus Gad F. & E. ad D. etiam ratio C. ad F. conctabit ex nationibuSi 3.3.huius. A. ad B. & D. ad E. qui est modus I 3. Item quoniam ratio C. ad D. conflatur ex rationibus A. ad E. & F. ad B. Etiam)3 3 huius, ratio A. ad E. conflabitur ex rationibus C. ad D.&B. ad F. qui est modus quintus . Denique quia ratio E. ad F. componitur ex ratione A. ad C. & D. ad B. etiam ratio A. ad C. 33.3λuium componetur ex rationibus E. ad F. & B. ad D. qui constituit tertium modum tabulae.
Praeterea quia in proximis modis ratio primae & secum
182쪽
r o Curvi ac recti proportio promota.
dae , componitur ex rationibus tertiae & quartae, & ratione .3.huius.quintae & sextar;probabimus ex sexta propositione rei ij huius , quod ratio C. ad F. componitur ex rationibus A. ad L.& D. ad B. qui est modus decimus quartus. Item ratio A. 3 hyrim ad E. componitur ex rationibus C. ad F. & B. ad D. qui est 3 hrius modus sextus tabulae , denique ratio A. ad C. componitur ex rationibus E. ad D. & B. ad F. qui modus est quartus tria
C. F. A. E. D. B. A. ad E. ex C. ad F. & B. ad D. A. C. E. D. B. T.
3 3 mi* Eodem modo , quo supra, ex sepsima tertij huius , omisso primo trium posteriorum modorum, ex quo nihil noui amplius demonstrari potest, quoniam in secundo, ratio A. ii diuiu,-E. componitur ex rationibus B. ad D. & C. ad Ι. et lania ratio B. ad D.componetur ex rationibus A. ad E. & F.ad C. qui octauum modum tabulae constituit; praeterea quia in temtio ratio A. ad C. constituitur ex rationibus B. ad F. 6 33 3 iuris. E. ad D. etiam ratio B. ad F. constituetur ex rationibus
A. ad Q & D. M E. qui modus est decimus tabulae. B. D. A. E. F. C. ad ex ad & ad B. F. A. C. ' D. E.
M 3 in v Eadem ratione , ex 6. tertij huius ratio B. ad D. componitur ex rationibus A. ad C. & F. ad E. qui est septimus- i h dus,&ratio B. ad F. componitur eX rationibuS A. ad E- D. ad G qui est nonus modus. At vero ex 7. tertij huius. Quoniam ratio B. ad F. componitur ex rationibus A. ad C. h &D. ad E. etiam ratio D. ad E. componetur ex rationibus B. ad F. ερ G ad A. qui 16. modus est in
183쪽
Denique in ultima serie quia ratio D. ad E. constat m rationibus B. ad F.& C. ad A. ex propositione I 2.3. huius ret iso M.tio D. ad E. constabit ex rationibus B. ad A. & C. ad F. qinest et s. modul.
D. ad E. ex B. ad F. & C. ad A. t et s. Atque ita datis sex quantitatibus, quarum primae ratio
ad secundam componatur ex rationibus tertiae ad quartam ,& quintae ad sextam,omnes modos necessat ios directos quiabus ratio duarum quarumlibet ex aliarum rationibus componitur demonstrauimus . Conuertentes autem superiorum modorum, ex II. h ... ius aperte demonstrantur; nam in omnibus si merit prima ad secundam ratio composita ex rationibus tertiae ad qua tam , & quintae ad sextam, etiam ratio secundae ad primam componetur ex ratione quartae ad tertiam, & sextae ad quintam . Quare etiam superiorum modorum conuertentes demonstraui mus; Quod propositum fuerat. SCH OLIV M. HInc patet quam facilius, sen sium modi omnes in Prolomes prima coniugatione sex quantita um , et uapr postione demonBrent- , quam infinitis , ὰ Rainholdo comment. in c. II. primi maegnae constructionis a sed reliqui reiquarum quinque coniugationum modi, de quibus in Scholio praecedem ris propositionis, ac omnino omnes compositisues rationum ne cessariae , quae inter sex quaslibet quantitates existant: quod ingens compendium en , ac ni fallor magnum in Geomesricis m
184쪽
1 1 Carui ac recti proportio promota. THEOREM A XVII. PROPOS. XVII.
SI prima recta dia secunda angulum faciant 2
quarum etremitatibus ducantur tertia ab extremitate primae , & quarta ab extremitate, secundae in punctum eoncurrentes, & in oppositas
rectas quae angulum prius faciebant , incidentes, ita ut quarta primam bifariam diuidat: erit ut prima incidentium ad segmentum superius cita incidentium secunda ad medietatem segmenti infe
F A C I A T prima AG.cum secunda AB.angulam ad A..di ab extremitatibus primae & secundae G.&B. ducantur GD. tertia & BE. quarta concurrentes in puncto. Z. & secet GD. oppositam rectam AB. in , D. & BE. oppositam AG. bifa- riamin E. Dico esse ut GD. ad DL. ita EB. ad medietatem ipsius BZ. Vocentur autem A prima quantitas AB. secunda A, GD. incidentium prima: BE. incidentium secunda.Z. punctu concursus. EA. DA. LE. ZD- segmenta superiora. ZG. ZB. EG. DR segmenta inferiora. Quoniam ratio GA. ad AT. coponitur ex rationibus GD ad DL. & BL.ad BE. ut ex Pt Sc Lis. lemaeo probauimus in Scholio IS auius,etiam ratio GD. ad ruin Wβ DL. componetur ex rationibus GA. ad AE.& EB. ad BZ.id' ' est ex rationibus EB. ad BZ &GA. ad AE. Igitur cum primae GD. ad secundam Dia ratio componatur ex rationibus tertiar ER ad qiuartam BZ. & quintae AG. ad sexta AE. eritio. .huius.Vt GD. ad DE. ita EB. ad aliam ad quam sit quarta M. ut
. quinta ad sextam AE. SMGA. ad AE. ex hypothesi
185쪽
473 habet ratione duplam , ergo ut GD.ad DZ.ita Elaad aliam ad quam BZ. habet proportionem dnplam , id est ad dimia .diam ipsius M. Quod erat propositum.
THEOREM A XVIII. PROPOS..XVIII. Kci . Iisdem positis: erit ut segmentum secundaequantitatis superius, ad inferius, ita segmentum superius secundae incidentium ad medietate
inferioris. tSINT eadem quae superiori propositione. Dico ego xt AD. ad DB. ita ZE. ad medietatem ipsius M. Quoniam xatio AG. ad GE. constat ex ratione Au ad DB..& BZ. ad ZE. Quod demonstrat Theon sexta prop. in I a. caput I. Almagesti,&Erasmus Rainholdus in idem caput quod
ipse undecimum statuit proposit. 2.&nOS sequenti Sch lio ex illis authotibus demonstrabimus ἱ erit etiam ratio AD. ad DB. composita.ex ratione AG. ad GE. & ZE. . iad BZ. seu quod idem est ex rationibus ZE. ad BZ. &ΑG. ad GE. Igitur ut AD. ad DB. ita ZE. ad aliam ad 3 3 hvia quam M. habeat rationem quam AG. ad GE. sed AG. ipsius GE. ponitur dupla. Igitur ut A D. ad DB. ita ZE. ad eam cuius BZ. sit dupla, id est, ad dimidiam M. Quod st
186쪽
- h Curui ac recti proportio promota.
. eadem raritans M. M o. vis NM M. eris νatis o ad Eg. hoc est. AG. ad GE. composita ex rationibus M. MEZoo. ad O. es autem ratio M. ad BZ. earim rationi AD. ad DB. Igitur ratio AG. ad GE. conctat ex rationibus o. a.
IIsdem positis: erit ut secunda quantitas ad segmentum inferius, ita segmentum inferius prumae incidentium ad superius.
SINT eadem quae I . huius. Dico esse ut BA. ad DB. ita GZ. ad ZD. Quoniam ratio M. ad EA. componitur rationibus GL ad Z D. & DB. ad BA. ut ex Ptolemaei c. I a. magnete syntaxeos probauimus schol. I F. huius, etiam ratio,i huici GL ad ZD. componetur ex rationibus GE. ad EA.& BA. ad BD. seu quod idem est ex rationibus BA. ad DB. & GE.1λ3.huius. ad EA. Igitur ut GZ. ad ZD. ita BA. ad aliam ad quanta DB. habeat eam rationem quam GE.ad EA.sed GE.ponitur aequalis ipsi EA. Ergo ut GZ. ad ZD. ita BA. ad aequalem ipsi DB. nimirum ad ipsam . Quod concludere v
IIsdom positis, sint praeterea anguli BE A. BDG.
aequales : erit ut prima quantitas ad secus dam, ita incidentium prima ad incidentiunia
SINT eadem omnia quae in schemate I7.huius,& pia terea sint anguli BEA. BDG. aequales: Dico esse ut GA. ad AB. ita GD. ad BE. Ducatur EI. ipsi GD. parallela. Hinc ad duas GD.BE.constituatur tertia IE.crit ratio GD.ad IE.
187쪽
composita ex rarionibus GD. adi BE.&BE. ad IE. Rursus inter GA. AE. ponantur duae intermediar BZ.ZD.erit ratio GA.ad AE. coposita ex tribus rationibus GA. ad BZ. &BZ. ad Z D. & ZD. ad AE. ut vero GA. ad AE.ita GD.ad IE. aequiangula enim sunt triangula GAD. EAI. ob parallelas IE.GD. quae essiciunt angulos externos IEA.
EIA. aequales internis AGD. ADG. Quare ex dua bus '' proportionibus aequalibus GD.ad IE. & GA. ad AE. prima
ex duabus rationibus GD. ad BE. & BE. ad IE. composita est, *cunda ex tribus GA. ad BZ.& BZ. ad ZD. & ZD. ad AE. composita est, aequales igitur sunt duae rationes GD.ad BE.& BE. ad IE.tribus rationibus GA.ad BZ.& BZ.ad Z D.& ZD.ad AE. aequalium enim quantitatum aequales sunt omnes partes simul *mptae. Igitur ex duabus primis rationibus auferatur ratio BE. ad IE.&ex tribus posterioriabus ratio BZ. ad ZD. quae aequalis seu eadem est rationi BE. ad IE. aequiangula enim sunt triangula BEI. BZD. ob communem angulum ad B.& ob duas paeallelas DZ. I .
quae essiciunt angulos externos BDZ.BZD. aequales internis 1s. r.
BIE. BEI. remanet ratio GD. ad BE. aequalis rationibus GA.ad BZ. & ZD. ad AE. Cum igitur ratio GD. primae ad BE.sec dam sit composita ex rationibus GA.tertiae ad BZ.
tionibus GA. tertiae ad AE. sextam,& ZD. quintae ad BZ. quartam , seu quod idem est ratio GD. ad BE. componetur ex rationibus ZD. ad BZ.& GA. ad AE. Igitur vi GD. ad δ' i hvin 'BE .ita ZD. ad aliam ad quam BZ. sit ut GA. ad AE. ex I o.
tertij huius. Sed GA.est ipsius AE.dupla, seu AE. est ipsus GA.dimidia: igitur ut GD.ad BE. ita ZD.ad dimidiam ipsius BZ. Sed ut ZD.ad dimidium BZ.ita EA.ad dimidium AB. aequiangula enim sunt triangula BDZ. BEA.ob com- δ'
188쪽
,σ Curvi aerecti proportio promota.
munem angulum ad B. & aequales ad D. E. ideoque ut DZ. ' ad ZB. ita EA. ad AB. &consequentium dimidia ut DZ.ad dimidium ZB.ita EA.addἰmidium AB. Igitur ut GD.adis. s. BE. ita EA. ad dimidium AB. & posteriorum terminorum dupla est GA.ad AB. ut GD.ad BE. Quod &c. r
THEOREM A XXI. PROPOS. XXI. ira
IIsdem positis, sint praeterea anguli BEA. BDG.
aequales: etit ut secunda quantitas ad incidentium secundam, ita segmentum superius incidentium secundat ad dimidium segmenti superi
ris quantitatis secundae. riSINT eadem omnia quae superiori propositione. Dico esse ut BA. ad BE. ita ZE. ad medietatem DA. Quoniam parallelae sunt IE. DX. ex hypothesi, erit ut BZ.ad Z E.ita BD. ad DI.assumatur extrinsecus media DA.constabit ratio BD. ad DI. id est BZ.ad ZE. ex rationibus BD.ad DA.& DA.ad DI. ut autem AD. ad DI. ita AG. ad GE. Igitur ratio BZ. ad ZE. composita est cx ratione BD ad DA. &ex AG. ad GE. 4 3 mi inare per tertium modum I 6. huius erit ratio BZ. ad BD. composita ex rationibusios. huius. ZE. ad DA.&AG. ad GE. Igitur ut BZ. ad BD. ita ZD. ad medietatem DA. ad quam integra DA. rationem habet quam si AG. ad sui dimidium GE. Vt autem BZ. ad BD.ita BA. ad BE. aequiangula enim sunt triangulata BDZ.BEA.ob communem angulum ad B.& angulos BDZ.
BEA.qui aequales ponuntur. Igitur ut BA.ad BE.ita ZE. ad medietatem DA. Quod erat Sc. γ .
189쪽
C i x x duorum arcuum inaequalium semia
circulum compIentium , eamdem habent rationem quam secans arcus minoris cum sinu toto ad tangentem eiusdem arcus Mut quam tangens ad differentiam secantis.
SIT circulus FAB. cuius centrum D. diameter BF. a cus minor FA. maior semicirculum complens AB. Chorda arcui minoris AF. maioris AB. sinus totus M. Taugcns eiusdem arcus FA. recta GA. ducta ex puncto A. ad punctum G. in diametro producta; ideoque DG. secans arcus FA.& GF.eius disse rentia FE. sinus rectus AE. versus FE. complementi ED. & reeti BG. composita ex sinu toto BD. &secante DG. Dico eam esse rati nem BA. ad AF. quae est BG. ad GA. aut GA. ad GF. Erunt enim triangula BA F. & GAD. rectan-ula ad A. quae diuidentur perpendiculari AE. communi ad ιasim in triangula similia , critque ut BE. ad EA. ita EA. ad FE. ideoque quadratum AE. tam rectangulo BEF.quam re-e angulo GED. aequale est. Igitur aequalia sunt rectangit- c. pinnia BEF. GED. atque adeo ut BE. ad ED. ita GE. ad EF. & -- α
diuidendo ut BD. ad DE. ita GF. ad FE. sed ut BD. ad DE. ita A D. ad DE. quod aequales sint , BD. AD.&vt AD. ad ἡ ἈDE. ita GA. ad A E. crgo ut GF. ad FE. ita GA. ad AE. a P
permutando, ac conuertendo, ut GA. ad GF. ita AE. ad yy EF. sed ut AE. ad EF. ita BA. ad AF. ergo ut GA. tangens a arcus AF. ad GF differentiam secantis, ita chorda BA. ad chordam AF. Rursus cum rectangulum BGF. sit aequale 36 quadrato GA. erit ut AG. ad GF. ita BG.ad GA.ideoque ut i 3'' - .
190쪽
i 8 Curui ac recti proportio promota.
chorda BA. ad chordam AF. ita BG. composita ex sinu toto,& secante arcus AF. ad GA. tangentem eiusdem arcus A F. Quod erat propositum.
EX dictis manifessum in esse visinum totum ad suum complementi arcus , ita differentiam secantis ad num versum.probatum enim es esse ut ED. ad DE. ira . ad FA
COMIat praeterea esse G tangentem ad sinum rerum, ita disserentiam si antis ad num versum eiusdem arcus. Nam demonstratum est esse ut GF. ad . ita . --.
se COROLLARIUM. III. ADMe sequitur se ex eodem puncto circuli ad diametrum,
eiusdem arcus tangens, chorda , atque nus ducantari, gulum a tangente se sua recto consentum a chorda secari. bifariam. Nam cum ex eodem puncto A. ad diametrum ductae ni M. AE. AF. Atque ut GF. ad FE. ita GA. ad AE.angm 6- lus GAE. diuiditar bifariam a chorda M.
COROLLARIUM. IV. tque probatum es esse is m. ad GA. ita GA ad GATHEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.
di tum circulo inscriptibile ad quadra
tum chordae arcus Quadrante minoris r tionem habet quam secans eiusdem arcus ad suam differentiam , aut quam sinus totus ad sinum versum.