장음표시 사용
191쪽
IT 'Sint eadem quae superiori propositione. Dico esse quadratum circulo inscriptibile ad quadratum cordae AF. arcus AF.quadrante minoris, ut est secans eiusdem arcus AF. ad GF.eiusdem secantis differentiam; aut ut est DF. sinus totus ad FE. sinum versum: Nam cum sit ut GF. ad FE.ita GA.ad Coroll. x. AE.& AD.hoc est FD. ad DE. & GD. ad DA. id est ad DF. :μ- erit ut FD. ad DE. ita GD.ad DF.& per conuersionem rationis ut DF. ad FE. ita DG.ad DF. Assumantur duae BF. BF. seu eadem BF. his,erit per primam terti j huius uti ectangulum sub BF. DG. ad rectangulu sub BF. GF. ita rectangulum sub BF. DF.ad recta gulum sub BF. FE. sed ut rectangulum sub BF. DG. ad rectangulum sub BF. GF. ita DG. ad GF. ergo ut DG. ad GF. ita rectangulum BFD. ad rectangulum BFE. at vero rectangulo BFD. M aequale est quadratum circulo instriptibilo 8.&ansicum utrumque quadrati DF.sit duplum,& rectangulo BFE. aequale est quadratum AF. Igitur ut DG. secans arcus AF.ad FG. secantis differentiam, ita Quadratum circulo inscriptibile, ad Quadratum chordae FA. Vt autem DG. ad GF. ita ostensum est paulo ante esse DF. sinum totum ad EF.sinum versum: ut ergo DF. ad EF. ita quadratum circulo inscriptibile , ad quadratum chordae FA. Quod erat &c.
Vadratum chordae ad quadratum tangentis eiusdem arcus est ut quadratum circulo inscriptibile ad rectangulum sub secante eiuLdem arcus , & secante cum sinu toto . Z a SINT
192쪽
18o Cures ac recti proportio promota. SINT eadem quae duabus superioribus propositionῖ
bus. Dico esse quadratum chordae AF. ad quadratum tan. gentis AG. ut quadratum circulo inscriptibile ad rectangu lum BGD.contentum secante DG. secante cum sinu toto, BG. Nam cum sit ut GF. ad FE. ita GA. ad AE. id est GD. ad DA. seu GD. ad ad DF. si assumantur BG.BF.crit ut rectangulum BG. GD. ad recta gulum BF. DF. ita rectangulum ii GD. DF. GF. M. BG. BF. BG.GF.ad rectangulum BF. FE. & conuertendo erit reetangulu D. ad rectangulum BGD. ut rectangulu BFE. ad rectangulum BGF. Sed rectangulo BFUI. aequale est quadradratum circulo inscriptibile,ut constat ex progressit luperio-11.ω ris propositora rectangulos Sest aequale quadratum 3ο- 3 FA.&rectangulo F. quadratum G A. Igitur erit ut quadratum circulo inscriptibile ad rectangulum BGD. ita quadratum AF. ad quadratum AG. Quod erat demonstrai
EX demonHratis confiat ese vi rectangulum EFD. ad rectangvium BGD. ita quadratum FA. ad quadratum GAENam probatum eis esse vi rectangulum BFD. ad rectanguia MD. ta rectangulum WE. id es quadratum AF. ad re et tum BGF.id Hi quadratum G.
193쪽
THEOREM A XXV. PROPOSITIO XXV. '
circulum complentium maius ad minus rationem habet quam sinus totus compo-- situs cum sinu complementi arcus cui minor chorda subtenditur, ad sinum versum eiuLdem arcus,&quam secans eiusdem arcus composita cum sinu toto ad differentiam secantis.
Supponantur adhuc superiora diagrammata. Dico quadratum BA. ad quadratum AF. esse ut BE. ad EF.& ut BG. Coroll. a. ad GF. Cum enim sit ut EF. ad GF. ita EA. ad AG. & peti 3- iv mutando ut EF. ad EA. id est EA. ad EB. ita FG. ad AG. sed est etiam ut FG. ad AG. ita GA. ad GB.erit ergo ut EA. ad EB.ita GA.ad GB. & permutando ut EA. ad GA. id est EF. ad FG. ita EB. ad GB. & permutando ac conuertendo ut BE. ad EF. ita BG. ad GF.Rursus cum quadrato BA. sit aequale rectangulum, FBE.& quadrato FA. rectangulum BFE. habeantque dicta rectangula communem basim BF. epunt ut altitudines BE. EF. Igitur ut BE. ad EF. ita rectangulum FBE. ad rectangulum BFE.id est quadratum BA.ad quadratum AF. sed etiam paulo ante ostensum est esse ut BE. ad EF. ita BG. ad GF. ergo ut BG. ad GF. ita quadratum BA. ad quadratum AF.Quod propositum fuit demonstrare.
HInc patet esse ut gnaria/um sinus utias ad quadrarum tangentis arcus , ita sinum complemensi dicti arcus adae erantiam sinus complementi se secantis. Nams ponainr
194쪽
tgί Curui ac recti proportio promota.
BA. sinus totus in triangulo rectangulo AER. eris M. et gens anguli ABF. o BF. secans eiusdem anguli, o BE. sinus rectus angula BAE. qui eis complementum anguli ABF. o EF. disserenita secantis BF. o snus complementi BE. eis aurem probatum esse ut quadratum BA. ad quadrarum M. ita Erad Q.
Consar etiam esse ut BE. ad EF. ita BG. ad GF. hoc Gnim in progresia demon II rationis ostendebamus.
r xum tangentis arcus madrante mi
noris ad quadratum sinus totius ratione habet quam rectangulum sub aggregato sinus totius , & secantis ac sinu verso, ad rectangulum sub sinu toto , & sinu complementi.
SINT eadem omnia quae superioribus propositionibus. Dico esse quadratum AG. ad quadratum A D. ut rectangulum sub BG. FE. ad rectangulum BDE. Quoniam est ut GF.ad I E.ita GA ad AE. id est A D. rd DE. id est
Coroll. 2.22.3. huius. 8. s. 13. s.
195쪽
gulo B .est aequale quadratum AG. & rectagulo sub BD. FD. quadratum AD. Vt igitur quadratum AG. ad quadratum AD. ita rectangulum BG. EF . ad rectangulum BDE. Quod intendebamus demonstrare.
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXVII. SInus versus ad sinum totum cum secante rati ne habet, quam rectangulu sub sinu compi menti & sub sinu versis, ad rectangulum sub sinu toto , & sub aggregato sinus totius & sinus
complementi. In sche nate superiori.Dico esse ut EF. ad BG. ita rei tim-gulum DEF.ad rectangulum DBE. Cum enim sit ut EF.ad FG. ita EA. ad AG ia est ED. ad DA. seu ED. ad DB. erit ut EF. ad FG. ita ED. ad DB. & cum sit ut BG. ad GF. ita BE. ad EF. erit ratio composita ex EF. ad FG. & FG.ad BG. eadem . quae compositae DE. ad BD. &EF. ad EB. Igitur ex 3. 3. huius ut EF. ad BG. ita rectangulum DEF. ad rectangulum EBD. Quod demonstrare oportuit.
THEOREMA XXVIII. PROPOS. XXVIII.
dx x sinus totius,chordae arcus quadran
te maioris chordae arcus qui prioris sit complementum ad duos rectos ordine - coniuncto habent eam rationem quam
tria rectangula, primum sub secante & sinu toto; secundum 1ub diametro & secante cum sinu toto ;
196쪽
: 1 3 Curui ac recti proportio promota tertium sub differentia secantis & diametro. Ac
ram quadrata quam rectangula ordine, ac coniun-
chim se habent ut sinus totus; duplum compositi ex sinu complementi & sinu toto; & duplum sinus
versi minoris arcus: aut etiam ordine haec teria
rationem habent quam secans , duplum secantis cum sinu toto, & duplum differentiae secantis .
Repetantur figurae praecedentes cum ειθέσει prop. 22. huius. Dico quadrata rectarum BD. BA. AF. eam habere ordine rationem,quam habent tria rectangula GDF. GBRGFB. Item quam tres rectar DF. duplum BE. duplum FE. Item quam tres rectar DG. duplum BG. & duplum FG.
. I. si sim FB. erunt ordine ut altitudines FD. duplum BE& duplum FE. sed rectanguli sub FB FD. dimidium est quadratum FD, & rectanguli sub FB. ac duplo M. dimidium est rectangulum FBE. ac denique rectanguli subduplo FE. & FB. dimidium est rectangulum EFE.quae omnia ,s. s. se habent ut sua dupla; ergo quadratum FD. rectangulum . FBE. & rectangulum BFE. inter se sunt ordine, ut tres rectae FD; duplum BE. & duplum FE. Rectangulo autem FBE. est aequale quadratum AB. & rectangulo Bra. quadratum AF. nam cum in trianguli rectanguli Bo. bassim BF. ex angulos.& .s. recto A. demissa sit perpendicularis AE. erit ut FB. ad EA. 37- 6. ita BA. ad BE. ideoque quadratum AB. aequale rectangulo FBE. & ut BF. ad FA. ita FA. ad M. ideoque quadriitum FA. aequale rectangulo ByE. Igitur quadrata FD; BA; AF; inter se ordine sunt, ut tres rectar FD.dupla BE.& dupla FE. Coroll. 1. Rursus cum octensum sit superius esse ut GF ad M. ita 3 huius, GA. ad AE. id est GD. ad DA. seu GD. ad DF. erit ut GF.ad. M. ita GD. ad DF. & conuertendo, ut FE. ad FG. ita.DF. g A ad BG. Item cum sit ut CF. ad . ita GA. ad A E. id est
197쪽
DE. id est AD. ad DE. id est GA. ad AE. id est GF.ad FE. Quare ut
CF. ad FE. ita GR. ad BE. & conuertendo ut FE. ad GF. ita RE. ad GR. sed etiam paulo ante ostensum est esse ut FE. ad GF. ita DF. ad D G. erit igitur ut DF. ad BG. ita ZE. ad G B. . ad GF. & permutando, ut DF. ad RE. ita DG. ad GR est autem Vt BE. ad FE. ita GB. ad GF. idem . que ut DF. ad duplum BE. ita I G. ad duplum BG.&vidu μ'μ-
plum BE. ad duplum FE. ita duplum EG. ad duplum FG.
DF. Duplum BE. Duplum FE. DG. Duplum BG. Duplum FG.
Cum igitur quadrata DF. O. f. ordine se habeant ut DF; duplum BE; & duplum FE; &vt tres illae rectae ita . ordine sint DG. duplum m. duplum FG. habebunt quadrata DF. BA. FA. eam ordine rationem quam tres rectar DG. duplum BG. & duplum FG. Denique tria rectangula sub GD. FB; & sub duplo GR. Ff; & sub duplo FG. & FB; cum habeant eandem basim FB. erunt ordine ac coniunctim ut tres altitudines GD; duplum , GB; duplum FG. Sumpto autem in uno quoque rectangulo dimidio unius lateris, erit rectangulum sub GD.&FD. dimidio ipsius FB. &rectangulum lub GB. FB. medictas prioris rectanguli sub duplo GB. & FB. & rectangulum sub FG. FB. medietas rectanguli stib duplo FG.& FB. Eruntigitur Frcctangula GDF. GBF. GFB. unumquodque in ratiCne rectanguli dupli i sed rectangula dupla ostensa sunt esse in ratione rectarum DG. dupli GB. dupli FG. Igitur rectangula GDF. GDF. GFB. sunt ordine vi m. duplum BG. Duplum FG. sed eandem ordine ac coniunctim ratione habenti A a qua-
198쪽
BD. GH. aequales; est autem m. secans , igitur duae BD. GH. secanti sunt aequales; tota igitur BΗ. ex duabus secantibus constat,ideoque secantis DG. dupla cst. Rursus constat rectangulum BGA quadrato GA. esse ae- as. 3. quale; item rectangulum BF E. quadrato AF. & rectangulum BE quadrato AE. Nam ob similitudinem triangui si rum BFA. AIA. item BEA. AEF. est ut BF. ad M. ita FA. .. α ad FE. Item ut BE. ad EA. ita EA. ad EF. ideoque tam re- λ7. stangulum BOE. quadrato FA. quam rectangulum BEF. Quadrato AE. est aequale. Rectangula autem BGE. BFE. habent rationem compo- εsitam ex ratione GB. ad B F. & GF. ad FE. ut vero GF. ad .FE. ita GA. ad AE. ob angulum GAE. bifariam sectunia Coroll i. recta AF. &vt GA. ad AE. ita AD. ad DE. id est FD. ad χ - huius. DE. &vtFD. ad DE. sumpto terminorum duplo ita di ,. plum FD. ad dupIum DE. id est FB. ad duplum DE. Igitura primo ad ultimum, ut GF. ad FE. ita FB. ad duplum DE. Quare cum ratio B .BFE.sit composita ex rationibus GB.
ad BF. & BF. ad duplam DE. erit ut rectangulum BCF. ad rectangulum BFE. id est quadratum G. .ad quadratum FA. ita GB. ad duplam DE. Insuper rectangula BFE. BEF. posita communi altitudine E . inter se sunt ut bases FB. EB. vi igitur FB. ad BE. ita rectangulum BFE.ad rectangulum BEF. Quoniamivero est
ut BE . ad EF . ita BG. ad GF. id est m. ad GH. erit conuerutendo, & componendo , ut FB. ad BE. ita ΗΒ. ad BG. sed ut prep. 'FB. ad BE. ita modo probatum est esse rectangulum Bra. ad rectangulum BEF. igitur rectangulum BFE. ad rectangulum BEF. id est Quadratum FA. ad quadratum EA. r tionem habet quam HB. nimirum duplum secantis ad BG. compositam ex sinu toto , & secante. Cum igitur sit ut σου. quadratum , ad quadratum FA. ita . ad duplum DE. ut probauimus in prima parte huius; &vt quadratum FA. ad quadratum EA. ita HB. ad BG. Constat quod primoProponebatur. Et ex aequalitate erit ut BH.
199쪽
18 8 Curui acrecti proportio promota . dupla secantis ad DE. duplam sinus complementi, ita Qu
dratum GA. ad quadratum EA. & priorum terminorum di midia, ut secans DG. ad sinum complementi .ita quadrintum O. ad quadratum EA. Quod erat propositum.
Si in triangulo rectangulo ex puncto ubi duo
latera angulum rectum es iunt, duae rectae circa alterutrum laterum ducantur, quarum altera extra, altera intra triangulum basim secet, efficientes cum dicto latere angulos aequales: erit ut composita ex basi&segmento exteriori, ad sese mentiam exterius, ita segmentorum interiorum remotius ab exteriori, ad vicinius. SIT triangulum rectangulum BID. cuius basis BF. lat ra circa angulum rectum I. siisl IF. IB. expuncto I. in basi
ducantur duae redis IE. intra triangulum IG. extra, facientes angulos EIF. FIG. aequales & secantes basim productam in tria segnienta, externum GF. interna BE. rcn tius ab externo, & EF. vicinius,ac contiguum. Dico esse ut M. ad GF. ita BE. ad EF. Di ametro BF. circa angulum rectum FIB describatur circulus FIB. cadatque angulus rectus supra punctum contactiis lineae ductae a puncto G. in circulum,& producantur GI. IE. quae primo circulum
secent in punctis KL. ac connectantur ΚΒ. . fiatquGangulus ΚBM. producta GK. in M. aequalis angulo Κω. Quoniam aequalia sunt rectangula BGF. ΚGI. erit circa angulum G. ut M. ad GI ita ΚG. ad GF.& permutando ut AG ad
200쪽
ad Κ ,. ita GI. ad GF aequiangula igitur sunt triangula GIF. ρ K. &aequales anguli GIF. GBΚ. & GFI. GKB. Item cum in triangulis LEF. EBL. aequales sint anguli ad E. verticem,& M. Lduo FIE. EBL. eidem arcui FL. insistentes, aequiangula sunt 7 3 tota triangula, sed angulo FIE. aequalis ponitur FIG. & ipsi i ' FIG. ostensus est aequalis ΚBG. aequales igitur sunt anguli Κα. LBE. sed angulo ΚBG.factus est aequalis ΚBM. Igitur ΚBM. aequalis est tam angulo LPE. quam GIF. & FIE. adi. que ideo totus Mn. toti GIF. aequalis est, communis autem est angulus ad s. aequalis igitur est reliquus I EF id est AEL. 3,. 1. reliquo BMK. Cum igitur duo triangula KEM. LRE. ha- F beant duos angulos M. BMΚ.aequales duobusLEE. BEL.& latera K27. BL. aequalia cum enim aequales sint anguli KEG. LEE. aequales erunt arcus FK. FL. ideoque , Q rh-
complementa ad duos rectos ΚΒ.LB. ac propterea etiam earum chordae ΚΒ. LB. aequales aequilatera erunt triangulata. 3.
M. BLE.& latus ΚM. aequale erit ipsi I L.&EBApsi BM. si Igitur cum angulus GIE. sit diuisus bifariam recta IF.ex hypothesi erit ut GF. ad FE. ita GI. ad I E. &vtGI. ad I E ita 3. 6.GB. ad BM. similia cnim ostensa sunt triangula GIF. GBM.& ut GBad BM. ita GK. ad ΚM. aequales enim positi sunt i anguli ΚBG. ΚBM. ipsi autem ΚM. aequalis ostensa est EL. erit igitur ut GF. ad FE. ita GK. ad EL. Rursus cum sit ut 3. LGI. ad IE. ita GF. ad FI . erit permutando ut G I. ad GF. id est ut BG. ad GK. ita IE. ad FE. id est BE. ad EL. & permu-. 4. 6. 'tando ut BG. ad BE. ita GK. ad EL. Cum igitur ostensum .st paulo ante esse GF. ad FE. vi GK. ad EL.& nunc esse ut GK. ad EL. ita BG. ad BE. erit ut FG.ad FE. ita BG.ad BE. 'Τ' se& permutando , ac conuertendo, ut BG. ad GF. ita BE. ad , EF. Quod propositum erat demonstrare. Quod si recta ducta ex G. circulum non secet, sed tangat .
in puncto A. sitque triangulum rectangulum BA F. cum cuius latere A F. faciant duae AG. AE. angulos aequales GAF- ρ
E. Dico rursus ut BG. ad GF. ita csse BE. ad EF. Ducta enim ex centro circuli D. iecta ad punctum contactus DA-facict