장음표시 사용
201쪽
xyo Curvi ac recti proportio promota.
faciet angui um rectum DAG. rectus autem est&BA F. quare si comunis auferatur anguluS FAD. remanebunt aequales GA F. DAB.
sed ipsi GA F. ponitur aequalis FAE. & ipsi DAB. aequalis est DBA. aequalis igitur est totus GAE. duobus DAB. DBA. id est angulo GDA. Cum igitur duo triangaea GAD. GAE. habeant
angulum communem ad G. & angulus GAE. aequalis sit angulo ADE. etiam reliqui GEA.
GAD. aeo uales erunt, rectus autem est GAD. igitur rectus est & GEA. Quare ex 2. Coroll. et s. huius erit ut . ad GR. ita BE. ad EF. Denique cadat angulus rectus sub punctum contactus,ut in K. & sit triangulum rectangulum BKF. cum cuius lateri ΚF. duae rectae KG. KE. faciant angulos aequales GKF.FKE. secentque dictae lineae circuli peripheriam in punctis I. N. & connectantur rectae FN. FI. ac ducatur
sumque connectantur ΚΒ. BL. Dico rursus esse ut GB. ad BE. ita GF.
ad FE. Quoniam aequales sunt anguli GKF. FKE. aequales sunt arcus I F. FN. aequales igitur rectae IF. FN. & anguli I . NFE. Quare cum duo triangula EFI. EFN. habeant duo latera EF. FI. duobus EF. FN. aequalia & angulos EFI. EFN. dictis lateribus contentos squales & basim IE. basi EN. aequalem habebunt angulum IEF. angulo NEF.Rursus cum in tria gulis ΚIE. LNE. angulus ΚIE. angulo LNE. utpote eidem arcui ΚL. insistens aequalis sit,& angulus IKE. angulo N . itidem eidem arcui IN. insistens aequalis , & aequalia
202쪽
atera IE. EN. aequalia erunt & latera ΕΚ. EL. Quare cum in triangulis EΚB. ELB. anguli B. LEB. aequales sint sunt enim aequales angulis ad verticem NEF. IEF.qui modo ostensi sunt aequalec&circa eos Iatera BE. ΕΚ.lateribus BE. EL. aequalia erunt anguli ΚBE.L .aequales:angulo autem Κυ. seu ras. est aequalis angulus GIF. ut prima parte huius propositionis probatum est, & angulo LM. angulus FIE. aequales igitur sunt anguli GIA FIE. sed rectius est FIR in semicirculo. Igitur per primam partem huius propositi nis vi m. ad GF. ita Eta ad EF. & permutando ut GR. ad BritaGA ad M. Quod propositum fuerat demonstrare.
aequales, angulos L . KBG. se arcus BL. BK. OLF. KF. etiam esse quales arcus . LA O M. BK. aut anguli L . USU. ponantis aequales qui angulos GIA FIE. esse aequales. Hoc enim in progressu prima partis demonstrari nis probatum est, nam semper angulus Enangasi FI se angulus Tm. angulo Im. eis aequalis:positis autem angulis L . ABG.qualibus quales sent arcus insectentes TRLF.o rarem complementa AB.LB.
Confrar praetereas anguli GYR 'E. ponantur aequales,
etiam arcus V.FMitem arcusRL.--eorum complementa Q. 0.esse aequalia. Ibyd ultima parte huius probatum e P.
203쪽
xyr. Curui ac recti proportio promota
sim .hoc enim secvnda parte huius probatum est, inque una
ex conuenentibus octaua sexti elemenuram.
SI in triangulo rectangulo ex puncto ubi duo
latera angulum rectum efficiunt, duae rectae circa alterutrum laterum ducantur, quarum altera extra, altera intra triangulum basim secet, sitque ut composita ex basi & segmento exteriori ad sigmentum exterius, ita segmentorum interiorum remotius ab exteriori ad vicinius, essicient duae illa: rectet cum latere trianguli circa quod ducta sunt
SINT eadem quae priori propositione , nimirum sit
triangulum rectangulum BIF. cuius basis BF. latera circa angulum rectum I. sint IF. IB. & ex puncto I. in basim duarrectar ducantur IE. intra triangulum IG. extra,facientes a gulos EI F. FIG. & secantes basim productiun in tria segmeuta externum GF. interna vero BE. remotins ab externo,&EF. vicinius ac continguum , sitque ut BG. ad GF. ita BE. ad EF. Dico angulos GIF.GIE.esse aequales. Si enim non sint aequalcs , sit primum GIF. maior quam FIE. & fiat FI P. aequalis ipsi GIF. cadatque punctuin P. supra E. Quoniam rectus est angulus FIB. & aequales anguli GIF. FIB. erit per praecedentem ut BG. adi, GF. ita BP. ad I .sed etiam ex hypothesi est ur BG ad GF. ita BE. ad Q. vi igitur BE. ad EF. ita BP. ad PF- & componendo ut BF. ad FE. iti BF. ad FP. aequales igitur sunt P. PF. pars & totum. Quod
204쪽
I93 est absurdum. Idem sequetur si angulus Gu. ponatur munor angulo FIE. & punctum P. cadat infra E. Neque aliter procedit demonstratio in alijs casibus,ut in ducenti manifestissimum est. Igitur si in triangulo ex puncto &c. Quod oportebat demonstrare.
THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXII. SI ex duobus punctis circumferentiae circuli
aequaliter a diametro remotis duae rectae ducantur quarum prior diametrum intra circu
lum peripheriam secet; posterior per punctum ubi prior peripheriam secat transiens in diametrum
extra circulum incidat, ac ex puncto interno di metri ad diametrum perpendicularis ducatur peripheriam secans in puncto , recta ex hoc puncto ad punctum externum diametri ducta circuluma
tangit. SIT circulus FAB. cuius diameter BF.a cuius puncto B. aequaliter remota sint I. K. in peripheria cim culi , id est arcus BI. arcui BK. sit aequalis& ducta I L. secet diametrum intra circulum in E. & peripheriam in L.& ducatur per punctu L. recta ΚL.quae producta secet diametru pro ductam in G.denique exE.. ad diametrum BF. ducatur perpendicularis
EA. circuli periphetiam secans in A. & connectatur AG. Bb Dico
205쪽
1' Curui ac recti proportio promota.
Dico quod recta AG. circulum tangit in A. si enim AG.non sit tangens, sit quaepiam alia ut A M. Cum arcus KB. BI. sint aequales,constat ex 3 o. 3. huius Coroll. 1.& et . si ducatur LF. LB. angulo BLF. existente recto angulos ELF. FLG. esse aequales. Igitur ex 23. huius ut BG. ad GF. ita BE.ad EF. Rursus cum tangens sit, ex hypothesi,recta M A.& AE.sinus rectus arcus AF. patet ex Corol. 2.2 3. huius esse ut B M. ad MF. ita BE .ad EF. Igitur ut BG. ad GF. ita B M. ad MF. &diuidendo ut BF. ad FG. ita BF. ad FM. aequales igitur sunt GF. M F. pars & totum. Quod cst absurdum. Igitur si ex duobus punctis &c. Quod oportebat dei ibstrare
to puncto extra circulum, ut expuncto G. Ducatur Frinium diameter GR. hinc recra GLV. utcumque secans circulum in L. V. se auferens arcum KR. cui sumatur aequalis BI.σex I. ducatur IL. sicans diametrum in E.perpendicularas EAEata diametrum sicabit circulum in A. puncto consactus ex demonEratis in ipso textu aperae conuas.
THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXIII. SI ex puncto ubi duo latera trianguli angulum rectum faciunt ditista recta basim bifariam diuidat, &ex eodem puncto perpendicularis ad dictam rectam, basim extra triangulum secet, atque a scctionis puncto perpendiculari aequalis in basi sumatur versas triangulum datum, ea b sim trianguli in ratione laterum diuidet.
206쪽
SIT triangulum B AF. rectangulum ad A. unde demitatatur AD. basim BF. bifariam lecans in D. & ex A. ad A D. perpendicularis ducatur AG. secans basim productam in G. ac ipsi AG. aequalis sumatur GI. Dico est Gut BA. ad A F. ita BI. ad I F. Centro D. li- stantia DB. vel DF. describatur circulus qui transibit per A. & ducatur ex A. recta EA. perpendicularis ad BF. & connecta tur IA. Quoniam angulo DAB. aequalis est DBA.& angulo DBA. aequalis FAE. ob perpendicularem AE. in basim trianguli rectanguli cadentem, aequales erunt unguli DAB. FAE. At quia rectae GA .aequalis accepta est GI. ducta AI. angulum DAE. bifariam diuidet, ut propositione qo. primi huius demonstrauimus. Ergo si aequalibus BAD. FAE. aequales addantur EAl. DAI. erunt anguli BAI. FAI.aequales. Igitur ut BA.ad AF. ita BI. ad IF. Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXIV.
SI ad datam rectam infinitam a dato puncto
quod in ea non sit quatuor rectae ducantur, quarum prima & tertia , item secunda α quarta ad datum punctum angulum rectum eff-ciant, &cum partibus datae quas intercipiunt triangula rectangula; a puncto autem ubi tertia basim sccat quartae parallela ducatur primae occurrens :erit ut tota parallela ad segmentum inter basim& secundam, ita rectangulum sub utraque basium,
ad rectangulum sub segmento medio, & sὸgmen
to inter extremas comprehensum. B b a Datum
207쪽
i9 6 Curui ac recti proportio promota.
Datum sit punctum A. a quo in datam infinitam BG.ducantur quatuor rectae AB. A D. AF. AG. effciantque AB.AF. item A D. AG. angulos rectos BA F. . DAG. ad punctilin A. ita ut sint rectangillatriangula BAF. DAG. quorum bases BF. DG. latera exteriora AB. AG. interiora . FDA. AF.&ex puncto F. parallela ipsi G A. Εducatur FI. secans AB. in I. & AD. in H. Dico esse ut IF. ad FH. ita rectangulur BG. DG. ad rectangulum BG. DF. Quoniam angulus DAG. positione rectus est, erit etiam FHA. rectus , sed rectus 3 6. etiam est positione IA F. aequi angula igitur' sunt triangula IFA. AFH. estque ut IF. ad FA. ita AF. ad y7 FI. ideoque aequale quadratum A F. rectangulo lΓΗ. Rursus quia sisnilia sunt triangula GBA. FBI. ob angu- ' tum communem ad B. & externos BFI. BIF. aequales . o. internis BGA. BAG. erit ut GA.' ad FI . ita GB. ad BF. & conuertendo ut FI. ad GA. ita BF. ad G B. & ob eandem causam in triangulis a quiangulis L AG. DF F. est ut GA ad FH. ita GD. ad DF. Cum ergo sit ut FI. ad GA. ita BF. ad Gs. & ut GA. ad FH. ita GD. ad DF. erit ex 3. 3. huius ut FI. ad FH. ita rectangulum BF. GD. ad rectangulum GB. I F. Quod propositum erat demonstrare.
HInc etiam escitur esse τι rectangxtam Es D. ad rectangulum BFD. ita Euadratum G A. ad quAdratum FA. cum enim ex demonstratis in propositone su τι GA. ad FI. ita CB.ώ EF., vs GA.ad FH. ita . ad DF. erit proponio com postia ex GA. ad D. se ex GA. ad FH. eadem qua composita ex GE. ad BF. o GD. ad DF. sed ratio composita ex GA. ad
208쪽
ad yI.9GA.ad FH.en eadem quae quadrati GA. ad rectangu- tam IFΗ. id ea ad quadra tim FA. quod rectangulo IFΗ. in propositione demonstratum es aequale) composta vero ex ratione GB. ad BF. se ex GD. ad DF. ent eadem qua rectanguli BGD. ad rectangulum BFD. ut ergo rectangulum BGD. ad rectangulum BFD. ita quadratum GA. ad quadratum O.
QV- s DA. DF. fierint aequales defendat in BG.
perpendicularis AE.erit ut FB.- .ira rectangula a BF. GD.ad rectangulum GB. DF. Nam quia aequales sunt DA. DF .aequales erunt anguli EO.Η .recti axiem sent
es anguli ad in .igitur ilia sunt triangula F .id es AsB.
in datam BG. cadentes ex dato puncto A. angulos rectos BA F. DAG. & expuncto D. ubi secunda basim secat quartae parallela ducatur L. M. secans primam AB. in L. & tertiam A F. in M. Dico esse ut LD. ad D M. ita rectangnium BD. GF. ad rectangulum BG. FD.
NAM quia ob parallelas I D. AG. similia sunt triangula BL D. BAG. erit ut LD. ad AG. ita BD. ad BG. Ru sus
209쪽
1 9 8 Curui ac recti proportio promota.
sus quia ob parallelas AG. DM. similia sunt triangula DFM. GFA. erit ut AG.ad DM.ita GF. ad FD. cum igitur sit ut LD. ad AG. ita BD. ad BG. & ut AG.
BD. BG. F. FD. l3. huius ut LD. ad D M. ita rectangulum BD.GF. ad res tangu- tum BG. FD. Quod erat demonstrandum.
COR OLLARI VM. I. HInc facio deducitur esse vi quadratum G A. ad quari
tam DA. ita rectangulum BGF. ad rectangulum BDF. nam cum sensum is esse τι LD. ad Asi. ita BD. ad BC. erit conuertendo G AG. ad LD. ιta EG. ad BD. sed ect etiam is AG. ad DM. ita GF. ad M. erit ergo proportio composita ex Asi. ad LD. se AG. ad DM. eadem qnae csimposita ex EG. ad AD. se ex siF. ad FD. sed ratio composita ex Asi. ad LD. 9x3. s. AG. ad DM. est ratio quadrati AG. ad rectangulum LDM. se ratio composita ex EG. ad BD. se ex si F. ad FD. est ratio rectangati BGF. ad rectangatum BDF. igitur m quadratum AG. ad rectangulum LDM. Da rectangulum BGF. ad rectan-sulum BDF. rectangulo LDM. es aequale quadratum AD. Nam cum parallela sint DM. AG. se recitas ι angulus DAG. fpothesi rectus erit MDA. sed etiam positione rectus ect*- : LAM. Igitur simidia sunt triangula LDA. DAM . sevi LD.iν. o. DA. ita DA. ad DM. quare rectangulum LDM. quadraio AD. aequale es ut ergo quadratum AG. ad quadratum AD./ ita rectangulum BGF. ad rectangulum BDF.
210쪽
THEOREM A XXXVI. PROPOS. XXXVI.
SI Ox punctis diametri, ex quibus ad circum
rentiam tangens, ac sinus rectiis eiusdem arcus ducuntur , duae aliae rectae peripheriam ubilibet in eodem puncto secent: habebit ea quae ex puncto tangentis, ad eam quae ex puncto sinus recti ducitur eandem rationem, quam tangens ad sinum rectum.
SIT circulus FAB. cuius diameter BF. a cus quilibet AF. cuius tangens AG. secans diametru productam in G.& sinus rectus AE. secas diametrii in E. sumatur quodlibet punctum I. in peripheria , & ducatur GI. EI. Dico esse ut GA. ad AE. ita GI. ad Ita