장음표시 사용
211쪽
Loo Curvi ac recti proportio promota.
IE. cadat primo punctium I. inter A. & F. & connectatur Coioli. i. IF. Constat primo angulum FIB. in semicirculo rectum xs..huius. esse, Deinde manifestum est ex Corollario a. et s. huius esse. ut BE . ad EF. i ta BG. ad GF.& permutando ac conuerten-3 y 3J- ' do ,-aci BE. ita GF. ad EF. Igitur, ex proposit. 31. 3. s. huius, erit angulus GIF.aequalis angulo FIE. Ergo ut GI.CQ li ad I E ita GF. ad FE. sed etiam ex Coroll. a. 22. huius 'φ h μγ' est ut GF ad FE ita GA ad AE Igitur ut GI ad IE. ita est.GA. ad AE. Quod primo propositum erat. Sed punctum assumptum in peripheria non sit inter F.&A.sed cadat interA.& B.ut in K.& ducant*r ΚΕ. ΚG.Ite . que connectatur ΚF.Eodem modo quo prius, ostendemus cum angulus FKB. in semicirculo sit rectus, & sit ut GB. ad BE. ita GF. ad FE. angulum GKE. bifariam diuidi recta KF. erit igitur ut prius,ut GK. ad KE. ita GF. ad FE. & ut . ad FE. ita GA. ad AE. ac proinde ut GK. ad KE. it GA. ad AE. Cadat denique punctum assumptum in punctum , ubi diameter circululum secat, ac primum quidem in B. ac du- Coros. i. cantur BG. BE. Dico esse ut BG. ad BE. ita GA.ad AE. Est
c. bii GF- S permutando Vt BG. ad BE. ita GF. ad FE. sed viri. ciuiuL FE.ad FE.ita GA.ad AE.ex Coroll. 2.22.3.huius. Igitur ut BG. ad BE. ita GA. ad AE. Quod si punctum assumptum sit B. Iam probatum est Coroll. 2. 22. 3. huius esse ut GF. ad FE. ita GA. ad AE. Quare si ex punctis diametri &c. Quod erat demonstrandum.
HInc sequitur esse vi EI. ad IG. ita Ex. ad KG. nam dua illae proportiones , proportioni ΣΑ. da AG. eadem sani demonstrata.
212쪽
THEOREM A XXXVII. PROPOS. XXXVII.
SI ex quolibet puncto peripheriae ad puncteta
diametri in qua incidunt tangens ac sinus dati arcus, duae rectae ducantur circuli periph riam in duobus punctis secantes sinterceptae inter puncta assumpta in peripheria & diametro , ad interceptas inter punctum diametri , & punctum, sectionis in peripheria sunt in eadem ratione.
SIT circulus FAB. in quo arcus Ap. cuius tangens GA. sinus rectus AE. incidentes in diametrum BF. productanta ssumatur quod libet punctum K. in peripheria , eX quo ad puncta G. E. ducantur rectae KG. KEM. l. isecantes, peripheriam illa in I.haec in M.Erit KG.
intercepta inter punctum assiimptum K. &punctu G. in diametro; IG. Vero intercepta inter punctum sectionis I.&punctum G. in diametro , recta Vero KE. erit intercepta. inter
punctum assumptum K. & punctum E. in diametro, & EM. inter M. punctum sectionis,&punctum E. Dico esse ut KG. ad GI. ita ΚΕ. ad EM. Cadat primo punctum assumptum inter puncta A. B. ilia' Cc Κ.
213쪽
1ox Curui ac recti proportio promota
'eb-; Κ.&iungantur IF. pM. EI. Quoniam aequales sunt angm' 'μ ' li GKF. FKE.aequales erunt & arcus I F.FM.quibus insist ut, aequales igitur & chordae IF. FM. & aequalia complementa IB. MB. arcuum IF. FM. quare aequales quoque IFE. EFM. illis insistentes cum igitur duo triagula IFE. MFE. habeant circa angulos aequales IFE. EFM. duo latera EF. FI. dum bus EF. FM qualia,erunt & bases IE. EM.aequales. In M. t 1. per cum sit ut GK. ad KE. ita GI. ad ΙΕ. ex Coroll. a. pr 36 Miu cedentis , erit permutando ut GK. ad GI. ita EE. ad IE. id est ad EM. quae ipsi IE. ostensa est aequalis. Sit secundo punctum assiamptum interpuncta AF videlicet in I. & ducantur GIK. IEL. Dico rursus esse ut IG. ad GK. ita IE. ad EL. Nam cum aequales sint anguli ad verticem E. in triangulis IEK. MEL. & anguli ΚIE. I ME. ei dem arcui ΚL. item anguli MLE. ΙΚΕ. eidem arcui I M. in sistentes ; itemque aequalia latera IE. EM. ut modo probatum est, aequalia erunt & latera KE. EL. Iam vero cum sit Co l. r. vi IG. ad I E. ita GK. ad ΕΚ. ex Corollario 1 praecedentis si hμ- propositionis, erit permutando vi IG.ad GK. ita IE. ad ΕΚ. id est ad EL. quae ipsi EX. probata est aequalis. Sit denique punctum assumptum in diametro,ut in B. vel ' - F. ac primo in B. Constat ex Coroll. 2.2 3. huius esse ut BG. i 3 im H ad GF ita Quod si punctum assumptum sit in F. manifestum est , pe rationem identitatis esse ut FG. ad GF. ita FE. ad EF. Quod erat &c.
THEOREM A XXXVIII. PROPOS. XXXVIII.
Iisdem positis: si circa EG. circulus describatur
secans citculum FAB. in I. & ducantur IG. I F. IE. IB. Dico tres angulos Gl F. FIE. LIB. esse inter se, ac singulos aequales semirecto.
214쪽
2O3 Rectus enim est uterque angulorum BIF. GIE. in semicirculo raequalis item est GIF. angulo FIE. ex 3 6. huius , uterque igitur semir eius est, ergo & semirectus reliquus EIB. anguli recti FIB. Igitur ar- . aequales ac semirecti sunt tres anguli GIF. FIE.EIB. Quod erat proposi
THEOREMA XXXIX. PROPOS. XXXIX.
Q dr tum rangentis arcus quadrante mi
noris , ad quadratum sinus totius rationem
habet quam rectangulum sab aggregato - sinus totius & secantis, & sub aggregato differentiae secantis & dupli sinus versi , ad rectangulum sub aggregato sinus totius & dupli λnus complementi, & sub sinu toto. SINT eadem quae superiori
propositione. Sed ipsi ED. nimirum sinui complementi arcus AF. aequalis sumatur EM. versus G. di sinui verso EF. aequalis EN. versus D. erit GN. aggregatum ex differentia secantis GF. duplo sinus versi FE. EN. MN. aggregatum eX sinus complementi ME. id est ED. & λnu verso EF. ideoque MN. et qualis sinui toto DF. & BG. aggregatum ex sinu toto BD. C e secanis
215쪽
ro Curui ac recti proporitopromota.
secante DG. Denique BM. aggregatum ex BD. smi tota to & DEO EM. duplo sinus complementi . Dico esse ut quadratum GA. ad quadrat 'ADo ita rectaugulum . BGN. ad rectangulum BMN. Quoniam rcctangulum GED. est aequale quadrato AE: & rectangulum BEReidem quadrato AE. aequalia erunt rectangula GED. BEF. ut in progressu. 22. huius demonstratum est, id est rectangula GEM. BEN. ergo ut BE ad Eta ita ME. ad EN. & sumptis antecedentibus , simul & consequemlibus simul , ut tota BM. ad totam GN. ita ME. ad EN. & conuertendo ut GN. ad BM. ita EN .ad ME- Rursus quoniam rectangulum BEN. rectangulo GEM--. 6. aequale est, erit ut BE. ad EM. ita GE. ad EN. sumptis antecedentibus simul ,& consequentibus simul, ut tota BG. ad totam NM. ita GE. ad EN. erat a tem ut GN. ad BM., ita EN. ad Mi. Quare propomtio composita ex rationibus BG. ad N M. & GN. ad -- eadem est ei quae componitur ex rationibus GE. ad EN. & EN. ad ME. Igitur ex 3. huius ut GE.. ad
ME ita rectangulum BGN. ad rectarigulum BMN. Sed ut GE ad ME. ita GEi ad ED. cum positae sint aequales EM. ED & ut GE. ad ED. ita quadra
tum GA. ad quadratum A D. nam quadrato AG. a a. quale est rectivagulum DGE. & quadrato A D. rectangulum GDE. & posita communi basi DG. rectangula . M DGE; GDE. sunt ut altitudines GE. ED. Quare etiam Quadrata AG. A D. sunt ut GE. ED. Igitur ut Quadratum AG. ad quadratum A D. ita roctangulum
BGN. ad rectangulum BMN. Quod erat proposit9m
216쪽
Sla pinicto in quo diameter, pli etiam Ur
culi secat in ipsa diametro aequales partes sumantur baltera extra circuliam , altera intra ; & a puncto extra circulum in periph riam tangens, a puncto intra sinus ducatur arcum
secans ; Quadrata tangentis , & sinus posterioris arcus simul sumpta sunt dupla quadrati
chordae eiusdem arcus. Circulum FAB. secet diameter in F. puncto, a quo aequales sumantur FE. FK. illa intra , laaec extra circuislum , & tangat ΚI. circulum in I. & EA. perpendiacularis ad BF. seu sinus arcusFA. secet circulum in A. ducatur chorda A F. Dico quadrata P I. & AE. simul esse, dupla quadrati AF. AEquale, enim est quadratum K I. re ctangulo BGF. & quadratum FA. rectangulo BFE. & quadratum EA. rectangulo BEF. rectangulorum aute BKF.BFE. BEF. aequalis est altitudo FK. FE. FE. ex hypothesi , sunt igitur inter se ut bases BK. BF. BE. quare etiam quadrata KI. FA. EA. ordine sunt ut recta BK. BF. BE. Sed rectae ΒΚ. BF. BA. sunt in proportionalitate Arithmetica , cum aequales sint earum disse
217쪽
CVRVILoc Curui ac recti proportio promota.
ε 3 lini ' differentiaeEF. FK. Igitur etiam, ex s. 3. huius quadrata KI. FA. EA. sunt in proportionalitate Arithmeticata, quare quadrata KI. EA. simul sumpta sunt duol:
218쪽
'I trianguli amblygonij angulum
obtusum duas tertias duorum rectorum continentem recta secans faciat cum minori latere angulum rectum, & ex basi auferat partema aequalem minori lateri: erit maius latus maior duarum mediarum proportiona
lium , quae inter minus latns de eius duplum sumi possunt.
SIT triangulum amblygorium FIDC, cuius maius Iatus DC. minus DH. quibus contentus angulus obtusus ΗDC. contineat duas tertias duorum rectorum, & dure ex D. recta DG. ad ΗD. pcrpendicularis auferat ex basi ΗC. rectain GC. aequalem rectae DH. Dico latus DC. esse maiorem duarum mediarum proportionalium quae inter latus DΗ. & eius duplum duci possunt. Producatur Cinquamlumlibet in K. &ducta ex D. ad CD. perpendiculari
DA. quae sit dupla ipsius DH. Item DE. aequali ipsi DHad
219쪽
io 8 Curui ac recti proportio promota.
compleatur parallelogra NE . diuisoque latere EN. bifariam in L.ducta ALK. secet CD. productam in K. & connectatur ΚH. Denique ex H. ad CH. perpendicularis ducatur HI. Cum angulus H DC. sit duae
tertiae duorum rectorii, erit reliquus ΗDI. una tertia duorum rectoru,
id est duae tertiae unius recti . ideoque HD. id est DE. dupla ipsius DI. Itemque cum angulus I DC. sit duae tertiae duo rum rectorum id est quatuor tertiae unius recti , dempto ΗDG. recto id est tribus tert ijs unius recti remanet GD C. Vna tertia unius recti. Rursus cum in triangulus ΚEL. A LN anguli ad E. N. sint recti , item anguli ad verticem L. & latera adiacentia EL. I N. sint aequalia , aequalia erunt laterata. NA. id est KE. ED. est igitur ΚD. dupla ipsius ED iaest ipsius DH. quae posita est ipsi ED. aequalis. Cum ergo sit etiam H D. dupla ipsius DI. erit ut KD. ad DH. ita H D. ad DI. aequiangula igitur sunt triangula KDH. ΗDI.angulus igitur DHΚ. rectus est , aequalis nempe angulo HID. &angulus ΗΚ D. aequalis angulo IH D. est una tertia recti, ideoque aequalis angulo GDC. qui ostensus est una tertia .recti: parallelae igitur sunt ΚΗ. DG. Quare ex ijs quae dena onstrara sunt a Nicomede apud Pappum Alexandrinum lib. I. collectionum mathematicarum prop. I. & Eutocium i . de sphera & cylindro Archimedis patet latus maius DC. esse maiorem ex duabus medijs proportionalibus positis inter DH, minus latus,& rectam DA. duplam laterisDH. Quod erat demonstrandum. THEO-
220쪽
LIBER IIII. ' LoqΡROBLEMA I. PROPOS. II.
TRiangulum rectangulum constituere , ac
parallela ad minus latus ita secare ut quatuor segmenta sint in continua ratione.
. Ducatur recta MC. utcumque, quae diuidatur in B.extre ma ac media ratione reademque diuisa bifariam in G. de scribatur semicirculus MEC.ad quem ducatur eX B.perpendicularis BE. secans semicirculum in E. & connectantur ME. CE. ipsique BC. accipiatur aequalis MA.&ex A. ad ME.ducatur perpendicularis A N. Di co factum esse quod propon batur ἱ nempe triangulu MEC. rectangulum ad E. ita diuisum recta NA. parallela ad EG. quod minus esse latus mOX Ostendemus ut sit velut A C. ad NE . ita NE. ad A M. & A M. ad MN. Ducantur ad EC.perpendiculares A D. BF. Quoniam est ut C M.ad MB. ita MB. ad BC. erit MB. media proportionalis inter CM. BC. sed e- s. s. tiam CE. est incilia proportionalis inter C M. BC. aequalcs igitur sunt CE. MB. Q revi EM. ad MB. ita EM. ad EC. 10. . sed ut EM. ad 34B. ita CAq. ad ME. vi igitur CM.ad ME. ita
ME. ad EC. maior autem est basis CM. latere ME. igitur e δ is tiam maius est latus ME. latere EC. Rursus quoniam acceptae sunt aequales MA. BC. addita communi AB. erunt MB. AC. aequales, aequalis autem est MB. ipsi EC.ut modo probatum est: igitur etiam aequalis est AC. ipsi EC. Et MC. etiain A. secta est extrema ac media ratione , cum sit ut C M. ad 7 MA. ita CM.ad CB.quar quidem CB. minus est segmen tu in ex hypothesi. Cum vero in triangulis MNA. BFC. rectan