장음표시 사용
221쪽
ii o Curvi ac recti proportio promota.
les sint bases BC. MA. ex hypothesi, aequalia eruat latera FC. NA. & BF. MN. inter se. Iterum quoniam recta MC. secta est extrema ac media ratione in B. & A. erit tam MB. quam AC. nuius segmentum, & tam MA. quam BC. mui nus: detracto igitur MA. ex MB. remanebit maius segmentum MB. sectum extrema ac media ratione in A. eritque AB. minus, MA. maius segmentum. Quare cum aequales sint BC. BA. ipsis MA. AB. etiam AC. secta erit extrema ac media ratione in B. Igitur in triangulo rectangulo ADC. ipsi MEC. tintili similiterque posito basis A C. secta est extrema ac media ratione in B. ideoque erit DC. ipsi BC. id est ipsi MA. aequalis Nam cum similia sint triangula ADC. MEC. in quibus bases MC. AB. similiter sectar in A. B. sitque AC ipsi EC. aequalis, erit etiam BC. ipsi CD. aequalis eX regulis proportionum Erit igitur ut CA . ad AD. seu ad NE. it A D. seu NE. ad DC. cum enim similia sint triangula MEC. ADC. sitque ut CM. ad ME. ita ME. ad EC. erit etiam ut CA. ad AD. ita AD. ad DC.) nempe ad CB. id est ad AM. quae partim proba tae, partim sumptae sunt aequales: sed est etiam ut CA . ad AD. ita AM. ad MN. ergo ut EN. ad AM. ita AM. ad MN. probatum igitur est esse ut CA. ad NE. ita NE. ad A M. & A M. ad MN. Quare triangulum rectangulum constitutum est dec. Quod erat faciendum.
HInc moifestam ea ,s recta diuidarur extrema ac media ratrone , super qua conitituatur triangulum rectan-Plum a cuius angHo recro perpendicularis ad basim incidat in Fctionem , esse τι ba m ad maius,ita maius latus ad minus . Probatum enim es in propositione , in qua haec emccta sunt , esse H CM. ad ME. it a ME. ad EC.
222쪽
COR OLLARI VM. II. Constat etiam Urim positis matas Ameniam basi,
nori iateri es aequale. Demonstratum namque e g- mentum M. Duri m. esse aequale.
SI in triangulo rectangulo sit ut basis ad ma
ius latus, ita maius latus ad minus; demissa ex angulo recto perpendicularis in basim si Cat eam extrema ac media ratione & maius segmentum minori lateri est aequale.
Repetatur figura propositionis praecedentis ac in triangulo rectangulo ad E. sit ut CM. ad ΜΕ. ita ME. ad EC.si que EB. ex angulo recto E. perpendicularis ad basim MC. Dico MC. sectam esse in B. extrema ac media ratione segmentum MB. lateri EC.esse aequale. Cum enim sit ME. ad EC. vi CM. ad ME. ex hypothesi,& ut CM. ad ME. ita ME. ad MB. erit ut ME. ad EC. ita ME. ad MB. aequales igitur sunt EC.&MB. quod secundo proponebatur. Rursus quoniam aequales sunt EC. MB.ei it vi MC.ad CE. ita MC. ad MB. sed vi MC. ad CE. ita EC. id est MB. ad ' BC. vi igitur MC. ad MB. ita MB. ad BC Quod primo propositum fuerat.
THEO REMA III. PROPOS. IV. SI in triangulo rectangulo tria latera sint continue proportionalia , basisque secetur extre- Dd a ma
223쪽
Σ 1 1 Curui ac recti proportio promota. ma ac media ratione, sitque maius segmentur maiori lateri contiguum recta: ex angulo recto im
sectionem demissa est ad basim perpendicularis
SIT in triangulo rectangulo ad E. vi CM. ad ME. ita . ME. ad EC. I diuisa MC. in B. extrema ac media ration ducatur EB. & sit MB. maius segmentum maiori lateri ME contiguum. Dico EB. ad MC. esse perpendicularem. Si 3. huilis. enim non, sit quaepiam alia EA. perpendicularis ad basim MC. erit ex praecedenti CM. secta in alio puncto ut in A. eXtrema ac , - - media ratione , sed etiam secta est
go vi CM. ad MB. ita MB. ad BC. cstque quadratum MB.Tectangulo MCB. aequale eodem modo erit quadratum MA. recitangulo MCA. aequale, sed rectangulum ΜCA. maius est rectangulo MCB. ergo quadratum M A.quadrato MB.ciit maius,pars toto. Quod est absur
PROBLEMA II. PROPOS. V. 1 TM ngulum rectangulum constituere cuius tria latera , & basis ab angulo recto ad b sim sint continue proportionalia.
Ducaturrceta MC. utcumque qhi diuidatur in B. extre- ma ac media ratione; eadem bifariam diuisa in G.describa- ' tur semicirculus MEC. ad quem ducatur ex B. perpendicu-
224쪽
proponebatur, nempG esse ut CM. ad ME. ita
ME. ad EC. &EC. ad EB. Ac primo quidem esse ut C l. ad ME. ita ME. ad EC. patet eXCorollario primo praecedentis. Quod vero sit ut ME. ad EC. ita EC. ad EB. probatur , est enim vi ME. ad EC. ita CM. ad ME. ex dicto Corollario , sed ut CM. ad ME. ita CE. ad EB. ergo ut ME. ad EC; ita EC. ad EB. Igitur triangulum rectangulum constituimus,&c. Quod erat faciendum.
MAmfenum etiam en in eodem triangulo minus Amentum BC. esse quatuor rectis CM. ME. EC. EB. quin-ra loco proportionale e Cum enim triangulum EEC. triangulo CME. si iis , Atque vi CM. ad ME. ita ME. ad EC. erit s. etiam ut CE. ad EB. ita EA. ad BC.
Si trianguli rectanguli cuius tria latera sunt
continue proportionalia latus maius pro portionaliter se Bam fuerit: erit maius segmentum perpendiculari ab angulo recto ad basim ducta aequale.
225쪽
H Curui ac recti proportio promota.
Trianguli MEC. rectanguli ad E. tria latera CM. ME. mil. i. ECrint continue proportionalia, a cuius angulo E.in basima. .nulas. Of. perpendicularis ducta sit EB. erit Cu. in B. secta proportionaliter, seu extrema ac media ratione , minusque segmentum erit CB. maius B U. sumatur MA. aequalis ipsi CB. erunt CA. MB. aequales ideoque AC. maius segmentum MA.minus linear MC. proportionaliter diuisae. Ducatur AN. parallela ipsi CE. cum sit ut CA .ad AM.*- γε- ita EN. ad NM. erit EM.fecta in N. pro- s. s. portionaliter, cuius maius segmentum EN. minus NILDico EN. esse aequalem ipsi EB. Nam ut ME. ad EB. ita Maad CE. & vi MC. ad CE. ita MC. ad MB. aequales enim 3.Α-huius, sunt EC. MB. ex Scholio a. q. huius & MC. ad AC. nam aequales ostensae sunt AC. MB. & vi MC. ad AC. ita ME. ad EN. ergo a primo ad ultimum vi ME. ad EB. ita M E. ad μ s. EN. aequales igitur sunt EB. EN. Quod erat demonstra
COROLLARIUM. E V diciis facile dem Erari pote is rectas etiam O. AB.
esse aequales. Ducta enim ad EC. perpendiculari EA si cum duo triangula CEM. EBC. milia snt, se militer secta in p. B. tque ME. ἀ- qualis ipse EC. erit EF. aequalis iis BC. sigitur ex aequalibus LC. CA. auferantur ἀ- quales EF. CB. remanent aequales FC. M.
226쪽
LIBER IIII. γ z I FTHEOREM A V. PROPOS. VII.
I intra triangulum rectangulum rectae ab eodem puncto basis ad utrumque latus perpendiculares ducantur, circa quas descriptus circulus in basi aequalem minori perpendicularium
interius compraehendat , exterius duas partes a quales rlinquat: secabitur basis a circnto extrema ac media ratione , eruntque tria latera trianguli imcontinua ratione. Intra triangulum rectangulum MEC. a puncto basis A. ducantur duae AN. AD. perpendiculares ; illa ad maius latus ME. ista ad minus EC. descriptus circulus NAB. centro P. circa parallelogrammum NADE. abscindat ex basi MC. interius rectam AB. aequalem ipsi AN. dcreetae A M. BC. sint aequales. Dico basim MC. s ctam esse , tam in A. quam in B.
extrema ac media ratione: Iteque esse ut .ad ME. ita ME.ad ' i. EC. Connectantur BD. AE. Quonia aequales sunt NA.ED. item NA. AB. ex hypothesi , aequales erunt ED. AB. parallelae igitur sunt AE. BD. Nam cum aequales sint arcus ED. AB. addito communi BD. aequales erunt arcus EB. AD. 17. 3. ideoque aequales anguli AED. EAB. & eodem modo anguli EDB. ABD. probantur aequales,sunt autem anPuli AED. ABD.aequales duobus rectis , 'itur AED.EDB. sunt aequa leS duobus rectis, ac propterea AE. BD.parallatae igitur ut δ' r.
AB. ad AC. ita ED. ad EC. aequales igitur sunt AC. ECO
227쪽
11s Cumi ac recti proportio promota. sed ipsi CA. est aequalis BM; cum enim positae sint aequales
- . . . MA. BC. addita communi BA. erunt aequales CA. BM.
' aequales igitur sunt CE. MB. Rursum cum semicirculus fit
ADE. continens angulum rectum EDA.erit etiam ABE.ai gulus rectus. Quare cum latus minus EC. sic aequale mal .. huiu,. ri segmento MB. erit , ex demonstratis in superioribus propositionibuε CM. secta in B. aut A. extrema ac media rati Coroll. ne, ideoque etiam ex dictis erit ut CM. ad ME. ita ME. aga q- uuix EG Quod fuit demonstrandum.
THEOREM A VI. PROPOS. VIII. SI in triangulo rectangulo cuius tria lateraci sunt continue proportionalia a puncto basis in quod ex angulo recto perpendicularis demissa est, in latus maius perpendicularis ducatur erit illa segmento minori basis aequalis.
In triangulo rectangulo MEC. sit ut basis CM. ad latus ME. ita ME. ad EC. & ex angulo MEC. ducatur EB.ad ba- . sim MC. perpendicularis, & cx B. ad latus maius ME. perpendicularis BO. Dico BO. ipsi BC. esse aequalem . Sumatur ut in secunda
huius MA. aequalis ipsi CB. &ducantur perpendicularcs AN. ad ME. & AD. ad EC. secans OB. in S. Item ducatur perpendicularis BF.ad EC. Cum OS. NA. sint aequales itemque
NA.&FC. ut a. huius ostendimus erunt OS. FC. aequales, additis igitur aequalibus aequales erunt OB. DC. at vero aevi a. & tertia huius ostensum est, ae a BC. Quod erat demonstrandum.
228쪽
SI angulum obliquum maiorem in triangulo
rectangulo cuius latera continue proportionalia diuidens recta secet oppositum latus e trema ac media ratione, secabit dictum angulumbifariam di & si secet bifariam secabit extrema ac
media ratione. ιSIT rursus trianguIum MEC. in quo ut CM. ad ME. ita ME. ad EC. & recta CO. diuidens angulum maiorem MCE. secet oppositum latus ME. in O. extrema ac media ratione, ita ut OM. st maius segmentum OE. minus. Dico ilangulum ECO. esse aequalem angulo OCM. Ducatur OB. parallela ipsi EC. erit ut MO. . ad OE. ita MB. ad BC. secta est
autem ME. in o. eXtrema ac inaedia ratione ; igitur etiam MC. in B. eodem modo sectata
est, aequalis igitur est EC. ipsi MB. ex 3. huius. Vt igitur MC. . ad CE. ita MC. ad MB. id est EM. ad MQ. id est MO. ad defin.3. 6. OE. aequalis igitur est angulus ECO. angulo OCM. Quod μprius erat ostendendum.
229쪽
x 18 Curtii ac recti proportio promota. THEO REMATVIII. PROPOS. X. SI in triangulo rectangulo perpendicularis exangulo recto in basim demissa auferat seg
mentum aequale minori laterit: erit basis socha extrema ac media ratione, & tria latera continue proportionalia.
IN triangulo rectangulo MEC. perpendicularis EB. ex angulo recto E. ad basim MC. ducta auferat segmentum MB. aequale minori lateri EC. Dico MC. esse sectam in B extrema ac media ratione;& esse Ut CM. . . ilad ME. ita ME. ad EC. Nam quoniam aequales sunt EC.MB.ex hypothesi erunt iquadrata EC. MB. aequalia,sed quadra- I. i , it & i 7 6- to EG est aequale rectangulum MCB. Z 6 Igitur quadrato MB. aequale est rectan- n ,ν. s. gulum MCB. vi igitur CM. ad MB. itata i3.desn. 6. MB. ad BC. quare MC. secta est innex- trema ac media ratione. Quod primo Cerat probandum. t.de 1 1. 6. Rursus quoniam quadratum EM. est aequale rectanguisCMB. ipsi autem MB. aequalis ponitur EC.'erit rectangulum MCB. aequale quadrato ME. Igitur ut CM. ad ME. ita ME. ad EC. Quod secundo efficiendum erat. THEO REMA IX. PROPOS. XI.
SI in triangulo inaequalium laterum, continue
proportionalium ex angulo in oppositum, latus recta ducatur illud secans extrema aC media ratione , ita ut maius segmentum maiori lateri adhaercns sit aequale minori laterum: angu-
230쪽
.s r. ynaei L I B E R IIII. P vi litam ex quo recta ducta est, quam quos cum la
tere occurente facit, recti sunt.
Sit triangulum MEC. inaequalium laterum, ita ut sit si-ciit CM. ad ME. ita ME. ad EC. & ex angulo E. duetii EB. in latus MC.illud secet in B.media & e trema ratione, sitque segmentum contiguum lateri M E. aequale la teri EC. Dico angulos MEC. EBC. esse rectos. Nam quoniam recta MC. secta est in B. extre ma ac media ratione, ex hypothesi, erit rectangulum MCB. quadrato MB. id est quadrato EC. ponuntur enim aequales Q E 37. e. MB EC. aequale. Rursus quia exsuppositione est ut CM. ad ME. ita ME. ad EC. erit quadratum ME. rectangulo MCE. U-CMB. ar 7 ο quale. Quare duo rectangula MCB. CMB. duobus quadratis CE. EM. aequalia sunt, at duobus rectangulis MCB. CMB. aequale est quadratum CM. Igitur quadratum CM. a. a. aequale est duobus quadratis CE. EM. Is itur rectus est an ' δ' gulus MEC. id primo probandum fuit. Sed dico etiam EBC. esse rectum, seu En esse perpendicularem ad MC. Nam cum in triangulo rectangulo MEC. ex angulo recto MEC. ducta sit EB.ad MC.secans illud e trema ac media ratione , sintque tria latera CM. ME. EC. continue proportionalia erit FB. ad MC. perpendiculari. . . Quod secundo demonstratione comprobandum erat.
PROBLEMA III. PROPOS. XII. TRj ngulum Isosceles describere ex cuius an . gulis ad opposita latera aequalia ductie perpendiculares ea secent propartionaliter. ill 1 - Ee a Du- . .